核心素養(yǎng)視域下的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的開(kāi)展
——以“家庭燃?xì)庠钚o的最佳角度”建模為例

安徽 王東旭 洪 亮

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)將數(shù)學(xué)建模上升到數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的高度，核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)建模要求建模以“活動(dòng)”的形式開(kāi)展，包括選題、開(kāi)題、做題、結(jié)題共四個(gè)環(huán)節(jié).筆者緊扣數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的過(guò)程，以四個(gè)環(huán)節(jié)為主線，設(shè)計(jì)并實(shí)施了“家庭燃?xì)庠钚o的最佳角度”建模活動(dòng)，以期提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn).《課程標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)學(xué)建模納為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)建模在學(xué)生發(fā)展中的重要地位.從核心素養(yǎng)視角提出數(shù)學(xué)建模是對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的重新規(guī)劃，是新舊版《課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于數(shù)學(xué)建模的最大區(qū)別.

《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確了數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的課程定位，指出數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程.這句話表明數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是一個(gè)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的綜合類實(shí)踐活動(dòng)，建模過(guò)程是“活動(dòng)”的過(guò)程，而不是應(yīng)用題教學(xué)，教師是建模活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者.活動(dòng)形式上，要求以課題研究的形式展開(kāi)，課題研究包括四個(gè)環(huán)節(jié)：選題、開(kāi)題、做題、結(jié)題.

按照《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，以核心素養(yǎng)為視角，筆者精心設(shè)計(jì)并實(shí)施了一次數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，與學(xué)生共同經(jīng)歷了建模活動(dòng)的全過(guò)程，深受啟發(fā)，筆者將課程設(shè)計(jì)思路、主要環(huán)節(jié)以及課程實(shí)施的主要過(guò)程、建模的感受，記錄下來(lái)，以饗讀者.

一、活動(dòng)選題

《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求在必修階段、選擇性必修階段各安排一次數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，2020年安徽省首次進(jìn)入新課程改革序列，開(kāi)始使用2019版新教材(人教A版).新教材的第一冊(cè)第四章章末要求開(kāi)展一次數(shù)學(xué)建模活動(dòng).根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于選題的指導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際，筆者自主選定了本次建模活動(dòng)的課題——“家庭燃?xì)庠钚o的最佳角度”.

二、活動(dòng)目標(biāo)設(shè)置

(1)要求學(xué)生能對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，準(zhǔn)確收集數(shù)據(jù)，正確分析數(shù)據(jù)，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，利用信息技術(shù)工具求解模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?yōu)化模型，最終達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題的目的.

(2)經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的全過(guò)程，感知建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般方法，體會(huì)現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的緊密聯(lián)系，在探究的過(guò)程中提升應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力.

(3)通過(guò)本次活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神，增強(qiáng)學(xué)生的集體榮譽(yù)感和責(zé)任感.

三、學(xué)情分析

(1)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握了函數(shù)模型應(yīng)用的基本方法與步驟，具備了從圖象直觀獲取結(jié)論和根據(jù)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行推理論證的能力，這些為本節(jié)課建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題做了鋪墊.

(2)學(xué)生的計(jì)算機(jī)課程已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了在Excel上進(jìn)行繪圖、模擬函數(shù)圖象等知識(shí)，計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)知識(shí)的習(xí)得對(duì)模型的建立和選擇起到技術(shù)支撐的作用.

(3)本次建模活動(dòng)的對(duì)象是高一學(xué)生，他們還缺乏數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方面的知識(shí)，例如散點(diǎn)圖、線性回歸方程、相關(guān)指數(shù)R2等.因此在本次活動(dòng)進(jìn)行中，需要適時(shí)開(kāi)展這方面知識(shí)的指導(dǎo).

四、活動(dòng)策略分析

1.活動(dòng)資源

(1)為了使每組建模獲得的數(shù)據(jù)相對(duì)一致，每組的實(shí)驗(yàn)需要在同等條件下進(jìn)行.校園餐廳具有同一品牌型號(hào)的燃?xì)庠钊舾桑淮笮〉臒畨厝舾桑?jīng)與餐廳商量，決定在餐廳進(jìn)行建模實(shí)驗(yàn).

(2)實(shí)驗(yàn)獲取的數(shù)據(jù)需要在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行處理，因此做題的過(guò)程安排在校園計(jì)算機(jī)中心進(jìn)行.

2.活動(dòng)的組織與安排

(1)課題組的構(gòu)成：本次活動(dòng)的學(xué)生群體是安徽省滁州二中宏志班學(xué)生，他們思維活躍，有豐富的探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).班級(jí)共有36人，筆者按組內(nèi)異質(zhì)、組間同質(zhì)的原則將班級(jí)分成9組，每組4人．每組選定一位數(shù)學(xué)素養(yǎng)和組織協(xié)調(diào)能力相對(duì)較高的學(xué)生做組長(zhǎng)，負(fù)責(zé)本組一切事務(wù)，包括組員的任務(wù)分工、方案實(shí)施、開(kāi)題報(bào)告的撰寫(xiě)與匯報(bào)等.

(2)由于這是學(xué)生初次開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的流程尚不熟悉，為此在樣本數(shù)據(jù)的收集上進(jìn)行了統(tǒng)一.收集哪些樣本數(shù)據(jù)，如何收集數(shù)據(jù)，在開(kāi)題、做題過(guò)程中，筆者以“問(wèn)題串”的形式與學(xué)生共同探討，引導(dǎo)學(xué)生不斷探索前進(jìn).

五、開(kāi)題——提出問(wèn)題

開(kāi)題時(shí)，讓學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)、教師指導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)操作、查閱資料、復(fù)習(xí)回顧等形式，完成以下幾方面任務(wù).

任務(wù)1.回顧已學(xué)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，形成思維導(dǎo)圖.

【設(shè)計(jì)意圖】

本次建模屬于函數(shù)建模，是以學(xué)生剛學(xué)過(guò)的函數(shù)的概念與性質(zhì)、基本初等函數(shù)為基礎(chǔ)的，是函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用.

任務(wù)2.由學(xué)生自學(xué)、教師指導(dǎo)相結(jié)合的方式，完成數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方面知識(shí)的學(xué)習(xí)，主要包括散點(diǎn)圖、線性回歸方程、相關(guān)指數(shù)R2等.自學(xué)材料(包括紙質(zhì)、PPT等)由教師提供.

【設(shè)計(jì)意圖】

建模實(shí)驗(yàn)收集的數(shù)據(jù)需要有一定的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，高一新生雖有初中的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，但對(duì)于數(shù)學(xué)建模還不夠.通過(guò)自學(xué)能鍛煉培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和應(yīng)用新知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

任務(wù)3.以小組為單位，帶著以下問(wèn)題清單進(jìn)行調(diào)查研究，研究的方式包括實(shí)驗(yàn)操作、上網(wǎng)查詢、現(xiàn)場(chǎng)咨詢等.

問(wèn)題1.影響燃?xì)馐褂寐实囊蛩赜心男饕蛩厥鞘裁矗?/p>

問(wèn)題2.用氣量與燃?xì)庠钚D(zhuǎn)角度之間是什么關(guān)系？試簡(jiǎn)要分析這種關(guān)系.

問(wèn)題3.在收集不同旋鈕角度時(shí)的燃?xì)庥昧繒r(shí)，旋鈕角度應(yīng)當(dāng)如何選擇？隨機(jī)選擇還是角度等分？哪種方式更合理？

【設(shè)計(jì)意圖】

帶著問(wèn)題去初探，能夠讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的收集時(shí)目標(biāo)清晰，做到有的放矢，為后續(xù)正式做題打好基礎(chǔ).

【匯報(bào)展示】

針對(duì)以上的問(wèn)題，筆者組織了匯報(bào)展示，學(xué)生們的參與度很高，組別之間形成了競(jìng)爭(zhēng).由于篇幅所限，這里只整理最終的結(jié)論.

(1)問(wèn)題1，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)燒開(kāi)一壺水的燃?xì)庥昧颗c燃?xì)庠钚o角度、燃?xì)庠钪Ъ芨叨取⑷細(xì)庠畹钠放频纫蛩囟加嘘P(guān)系.在此，引導(dǎo)學(xué)生我們只研究一個(gè)問(wèn)題：燃?xì)庥昧颗c旋鈕角度的關(guān)系，從而突出課題研究的主題.

(2)問(wèn)題2，燒開(kāi)一壺水，對(duì)于每一個(gè)旋鈕角度都有唯一的燃?xì)庥昧颗c之對(duì)應(yīng)，所以燃?xì)庥昧颗c旋鈕角度之間是函數(shù)關(guān)系.具體地說(shuō)，當(dāng)旋鈕轉(zhuǎn)角非常小時(shí)，燃?xì)饬髁恳卜浅Ｐ。踔咙c(diǎn)火后的熱量不足以將一壺水燒開(kāi)，如果一直燒下去，燃?xì)庥昧繉o(wú)止境.隨著旋鈕轉(zhuǎn)角增大，即燃?xì)饬髁繚u漸增大，燒水用氣量則會(huì)有所減少.但是，旋鈕轉(zhuǎn)角很大時(shí)，燃?xì)獠灰欢ǔ浞秩紵^(guò)分的熱量也不能充分作用于水壺，會(huì)產(chǎn)生浪費(fèi)，反而會(huì)使燒一壺開(kāi)水的燃?xì)庥昧吭龃?

(3)問(wèn)題3，旋鈕角度的選擇不一定要等分，但角度的選擇應(yīng)該要具有較好的代表性，選取的角度應(yīng)覆蓋0°～90°范圍.角度選擇越多，越能反映真實(shí)情況，但相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)成本也會(huì)越高.經(jīng)過(guò)師生的探討之后，決定選取五個(gè)有代表性的角度：18°，36°，54°，72°，90°.

通過(guò)以上過(guò)程，小組撰寫(xiě)開(kāi)題報(bào)告.之后，小組開(kāi)始正式做題.

六、做題——建立求解模型

1.實(shí)驗(yàn)、收集數(shù)據(jù)

每小組都獲得了一些具體的數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)受各方面的因素影響較大，各組數(shù)據(jù)存在著較大差異，筆者帶領(lǐng)學(xué)生分析每組數(shù)據(jù)的優(yōu)劣，并給出恰當(dāng)評(píng)價(jià).從中選取了一組較好的數(shù)據(jù)作為模型建立的依據(jù)，并將數(shù)據(jù)以表格的形式整理出來(lái).

項(xiàng)目旋轉(zhuǎn)角度燃?xì)獗黹_(kāi)始時(shí)讀數(shù)/m3水開(kāi)時(shí)燃?xì)獗碜x數(shù)/m3燃?xì)庥昧?m318°9.0809.2100.13036°8.9589.0800.12254°8.8198.9580.13972°8.6708.8190.14990°8.4988.6700.172

以x表示旋鈕角度，縱坐標(biāo)y表示燃?xì)庥昧浚?/p>

x(旋轉(zhuǎn)角度)18°36°54°72°90°y(燃?xì)庥昧?m3)0.1300.1220.1390.1490.172

【設(shè)計(jì)意圖】

數(shù)據(jù)以表格形式呈現(xiàn)清晰直觀，體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)實(shí)際問(wèn)題的能力.

2.建立并優(yōu)化模型

這一階段學(xué)生要完成以下幾項(xiàng)任務(wù).

①利用Excel作出散點(diǎn)圖，增進(jìn)幾何直觀；

②選擇函數(shù)模型，顯示擬合曲線及解析式；

③根據(jù)模型求解最少的燃?xì)馐褂昧恳约按藭r(shí)的旋鈕角度大小；

④檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠衽c實(shí)際相符，并對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化.

以旋鈕角度x為橫軸、燃?xì)庥昧?單位m3)為縱軸，利用Excel繪制散點(diǎn)圖.

各小組選擇并建立了三種函數(shù)模型：一次函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)鉤函數(shù)，并對(duì)所得模型進(jìn)行了優(yōu)化.小組分別進(jìn)行展示匯報(bào)和互動(dòng)交流.

組1選擇一次函數(shù)，解析式為y=0.000 6x+0.109 1，從圖1看各點(diǎn)偏離較大，相關(guān)指數(shù)為0.820 7，相對(duì)較大.該函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，理論上當(dāng)x為0°時(shí)，用氣量最小，顯然與實(shí)際情況不符，于是組1對(duì)該模型進(jìn)行了優(yōu)化.

組3得到散點(diǎn)圖之后，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)的分布規(guī)律與冪函數(shù)較為接近，于是他們選擇了冪函數(shù)模型，如圖所示.

3.模型比較

小組匯報(bào)展示了各自所得模型后，同學(xué)們開(kāi)始了熱烈的討論、交流.他們通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證各自模型是否符合實(shí)際.經(jīng)過(guò)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，組1和組3與實(shí)際情況相差較大，組2與實(shí)際情況相差較小.

對(duì)于組1的分段函數(shù)y=-0.000 4x+0.138用了兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)得到，不夠準(zhǔn)確，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)多得幾個(gè)點(diǎn)進(jìn)行函數(shù)模擬，例如可以選取x=15°,21°,24°時(shí)的燃?xì)庥昧?組3的待定系數(shù)法，同樣可以多選取幾組值進(jìn)行代入運(yùn)算，可能會(huì)得到更準(zhǔn)確的結(jié)果.由于實(shí)驗(yàn)受客觀環(huán)境的影響，不能保證環(huán)境是穩(wěn)定的.因此可以重復(fù)做幾次實(shí)驗(yàn)，取幾次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值來(lái)減小誤差.

對(duì)于組2的二次函數(shù)模型，當(dāng)旋鈕角度非常小時(shí),實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)用氣量與二次函數(shù)差距也比較大，二次函數(shù)只能用于解釋x在一定范圍內(nèi)的情況.因?yàn)楫?dāng)旋鈕角度非常小，有一點(diǎn)點(diǎn)火時(shí),其火力是不能夠?qū)⑺疅_(kāi)的，長(zhǎng)時(shí)間燃火的燃?xì)饬繀s可以非常大,即圖中貼近縱軸的位置會(huì)非常高,那么整個(gè)圖象就不是二次函數(shù)圖象了.

七、結(jié)題

師生活動(dòng)：學(xué)生完成建模報(bào)告，并安排結(jié)題答辯，教師指導(dǎo)并給予恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià).