回歸基礎(chǔ) 突出能力 聚焦思想
——2021年新高考Ⅰ卷試卷分析與教學(xué)思考

江蘇 張朋舉

2020年是江蘇自主命制高考試卷的收官之年，2021年是江蘇高考使用新高考Ⅰ卷的元年；整份試卷以素養(yǎng)立意，原創(chuàng)為本，層次分明，亮點(diǎn)紛呈，體現(xiàn)出試題有效性、導(dǎo)向性、公平性和創(chuàng)新性的和諧統(tǒng)一；但這份試卷和去年的山東卷和八省聯(lián)考卷相比變化還是比較大，首先試卷的閱讀量有所下降，原有的開放題、結(jié)構(gòu)不良題沒有出現(xiàn)(但全國(guó)卷甲、乙卷及新高考Ⅱ卷均有出現(xiàn))，總體感覺試卷更平和，試題基本上按照由易到難的順序推進(jìn)；其次題目更顯中規(guī)中矩，易中難比例真正做到了5∶3∶2，但很多試題需要學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)有所理解，要關(guān)注方法的選擇，方法選擇不好，耗時(shí)費(fèi)力，得高分難；其實(shí)，針對(duì)新一輪的課程改革，教育部考試中心早就出臺(tái)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》，該體系明確了“一核”“四層”“四翼”的概念，明確了高考主要以“立德樹人、服務(wù)人才、引導(dǎo)教學(xué)”為核心功能，并從“一核”“四層”“四翼”三個(gè)方面回答了“為什么考、考什么、怎么考”的考試本源性問題，給出了“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人”這一教育根本問題在高考領(lǐng)域的答案.縱觀這份試卷較好地體現(xiàn)了新高考評(píng)價(jià)體系要求，契合了學(xué)科的培養(yǎng)目標(biāo)，引導(dǎo)了今后高考數(shù)學(xué)試卷的方向，對(duì)今后的教學(xué)起到正面的積極的引導(dǎo)作用.以下筆者結(jié)合具體試題，談?wù)勼w會(huì).

1.試卷特征

1.1 突出數(shù)學(xué)主干知識(shí)的考查

高中階段，數(shù)學(xué)的主干知識(shí)主要有預(yù)備知識(shí)(集合、簡(jiǎn)易邏輯、不等式等)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)等內(nèi)容，試題突出主干知識(shí)的考查,同時(shí)考查考生的數(shù)學(xué)思維能力，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.這也啟示我們平時(shí)要重視教材的使用，尤其高三的后期，回歸教材顯得尤為重要；筆者按照新課標(biāo)四大主題內(nèi)容，對(duì)該試卷進(jìn)行了簡(jiǎn)單匯總，預(yù)備知識(shí)占5分，函數(shù)占52分，幾何與代數(shù)占71分，概率與統(tǒng)計(jì)占22分，主干知識(shí)占135分，占全卷的90%，基本實(shí)現(xiàn)主干知識(shí)全覆蓋；另外，也有部分試題涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，比如試卷第5題以橢圓為載體，不僅考查了橢圓的定義，也很好地考查了基本不等式、求函數(shù)最值等知識(shí)點(diǎn)；具體分布如表：

主題單元涉及知識(shí)點(diǎn)考題號(hào)分值預(yù)備知識(shí)集合集合交集運(yùn)算15常用邏輯用語相等關(guān)系與不等關(guān)系從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式函數(shù)函數(shù)概念與性質(zhì)偶函數(shù)135冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)單調(diào)性、求值4,610函數(shù)應(yīng)用數(shù)列錯(cuò)位相減求和、等差數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)列求和16,1715一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究切線、求最小值、單調(diào)性討論、極值點(diǎn)偏移7,15,2222

續(xù)表

【例1】(2021·新高考Ⅰ卷·8)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則

( )

A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立

C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立

評(píng)注：本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)模塊中兩個(gè)隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立的定義，課標(biāo)中要求學(xué)生了解該定義；近些年，高考試卷中主要考查利用獨(dú)立性計(jì)算概率，很少涉及對(duì)判斷兩個(gè)事件相互獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)考查，其實(shí)判斷方法主要有三種：1.直觀感覺(觀察)；2.定義判斷；3.充要條件：P(AB)=P(A)P(B)；其中充要條件P(AB)=P(A)P(B)比較常用.

1.2 側(cè)重?cái)?shù)學(xué)思想的運(yùn)用

思想是方法的升華，解決數(shù)學(xué)問題的靈魂就是思想；學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)需要數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)基本思想方法主要涉及數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論、方程、建模、類比、歸納推理、極限等思想方法.基于重要的數(shù)學(xué)思想方法命題是命制高考試題最基本方式之一，隨著課改的深入，這種命題不僅考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及解決問題的能力，還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，引領(lǐng)教學(xué)的方向.數(shù)學(xué)思想方法的形成和發(fā)展是需要長(zhǎng)期的過程，需要教師在教學(xué)中，經(jīng)常性的滲透數(shù)學(xué)思想方法；比如2021年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第11題涉及數(shù)形結(jié)合，第15,17題涉及分類討論，第16題涉及歸納推理，第21題涉及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，第二問涉及條件|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|的等價(jià)轉(zhuǎn)化等.

【例2】(2021·新高考Ⅰ卷·11)已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，則

( )

A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

評(píng)注：數(shù)形結(jié)合就是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，由數(shù)思形、以形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合考慮問題，本題是數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)的典范.

1.3 關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力的要求，由開始的“四基”到“四能”，演變到現(xiàn)在的“六大核心素養(yǎng)”；高考試題不僅可以很好地考查“四基”“四能”，更是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)的集中展示；要檢驗(yàn)學(xué)生核心素養(yǎng)高低，必須通過解決數(shù)學(xué)問題來體現(xiàn)；事實(shí)上，學(xué)生可以通過解決數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)的眼光觀看客觀世界(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界(數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析)等.比如2021年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第7題考查了直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng),第9題考查了數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng),第12題考查直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)，第21題考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

【例3】(2021·新高考Ⅰ卷·7)若過點(diǎn)(a，b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則

( )

A．eb

C．0

解析：過(a，b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則點(diǎn)(a，b)在曲線y=ex的圖象下方，且在x軸上方，所以0

評(píng)注：數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用中逐步形成和發(fā)展起來的，核心素養(yǎng)該怎樣考？本題給出了答案，其很好地考查了學(xué)生的直觀想象能力，幾何直觀的本質(zhì)是將相對(duì)復(fù)雜、抽象的問題“圖形化”，讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)直觀，在具體試題解決中感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì).

1.4 重視數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的把握

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》在課程基本理念中指出：“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)”.本質(zhì)語出晉代劉智《論天》：“言闇虛者，以為當(dāng)日之沖，地體之蔭，日光不至，謂之闇虛.凡光之所照，光體小於蔽，則大於本質(zhì).”數(shù)學(xué)是一門研究規(guī)律的學(xué)科，有其內(nèi)在的根本屬性和規(guī)律，而這個(gè)根本屬性與規(guī)律就是數(shù)學(xué)本質(zhì).學(xué)生通過對(duì)高考試題，一題多解，體會(huì)和認(rèn)識(shí)問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，探究數(shù)學(xué)問題解決的基本規(guī)律，理解數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué)研究的“味道”，學(xué)會(huì) “數(shù)學(xué)思維”；比如數(shù)列問題的本質(zhì)是歸納、猜想、推理，16，17兩題正是考查這點(diǎn)，解決解析幾何問題的方法本質(zhì)是圖形問題代數(shù)化，14，21兩題也正考查了圓錐曲線的核心方法，其中21題以雙曲線為背景，更是要求學(xué)生運(yùn)用解析幾何的基本思想和方法分析和解決問題.

(1)求C的方程；

解析：(1)略

故設(shè)TA，TP的斜率分別為k1，k2，(k1≠k2)．

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

又k1≠k2，故k1+k2=0．

整理得(17cos2θ-1)t2+(16cosθ-2msinθ)t-12-m2=0,

設(shè)t1,t2是這個(gè)方程的兩個(gè)根，

設(shè)直線PQ的傾斜角為α，α∈(0，π)，

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

則17cos2θ-1=17cos2α-1，cosθ=±cosα，

又由α，θ∈(0，π)，且α≠θ，

所以cosθ=-cosα，θ+α=π，

直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

所以A,B,P,Q四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程

又由A,B,P,Q四點(diǎn)還在曲線C上，所以由曲線系方程得，A,B,P,Q四點(diǎn)在曲線

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，根據(jù)圓的雙割線定理的逆定理可知，A,B,P,Q四點(diǎn)共圓，所以曲線

所以x2，y2的系數(shù)相等，且xy系數(shù)為0，即k1+k2=0．

評(píng)注：學(xué)生抓不住“|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|”的本質(zhì)，不會(huì)對(duì)其進(jìn)行多元表征，易出現(xiàn)思維混亂；實(shí)際上，設(shè)過點(diǎn)T的直線方程(方法1)，利用弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)，對(duì)計(jì)算能力要求較高，若引入直線參數(shù)方程(方法2)或利用曲線系(方法3)，可以很好地回避了繁瑣的運(yùn)算，而且利用二次曲線系方程，也很好地揭示了A，B，P，Q四點(diǎn)共圓這一隱藏本質(zhì).

2.對(duì)教學(xué)的幾點(diǎn)思考

2.1 關(guān)注精準(zhǔn)教學(xué)，落實(shí)教學(xué)評(píng)一致

精準(zhǔn)教學(xué)包括兩個(gè)方面，一方面指基于課標(biāo)分解，即將《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)具體細(xì)化為學(xué)期或模塊目標(biāo)、單元或課時(shí)目標(biāo)．課標(biāo)分解的基本特點(diǎn)是將抽象的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)分解為具體可操作的教學(xué)目標(biāo)，將長(zhǎng)時(shí)段需要達(dá)成的大目標(biāo)分解到短時(shí)間如單元或課時(shí)可以達(dá)成的小目標(biāo)，將隱性的素質(zhì)目標(biāo)顯化為可以觀察和評(píng)價(jià)的行為目標(biāo)．讓子目標(biāo)引領(lǐng)課堂教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)和學(xué)生活動(dòng)，使課堂教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)更具有針對(duì)性.另一方面指基于目標(biāo)達(dá)成情況的評(píng)價(jià)分析，即制定每一個(gè)子目標(biāo)達(dá)成情況的標(biāo)準(zhǔn)，依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)目標(biāo)的達(dá)成情況進(jìn)行精準(zhǔn)分析，反饋課堂教學(xué)，指導(dǎo)教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略.

筆者認(rèn)為，平日教學(xué)中，教師應(yīng)以新課標(biāo)、新高考評(píng)價(jià)體系為指導(dǎo)，通過對(duì)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的逐級(jí)分解，形成以新高考評(píng)價(jià)體系為依據(jù)的教學(xué)設(shè)計(jì)方案(包括制定目標(biāo)、實(shí)施路徑、實(shí)施方法、反饋練習(xí))與教學(xué)評(píng)價(jià)方案，對(duì)方案進(jìn)行課堂實(shí)踐和效果評(píng)估，進(jìn)而提高課堂的教學(xué)質(zhì)量，落實(shí)教、學(xué)、評(píng)一致.

2.2 關(guān)注作業(yè)設(shè)計(jì)，落實(shí)教、學(xué)、評(píng)一致

作業(yè)一詞由來已久，在不同場(chǎng)合使用其意義不同，《辭海》認(rèn)為，作業(yè)是為了完成生產(chǎn)學(xué)習(xí)等方面的既定任務(wù)而進(jìn)行的活動(dòng).作業(yè)問題歸根到底就是設(shè)計(jì)什么、多少作業(yè)問題.當(dāng)下，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，由于教師普遍存在“題海戰(zhàn)術(shù)”的認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致學(xué)生的作業(yè)繁重、難度偏大，甚至出現(xiàn)課后作業(yè)的內(nèi)容與學(xué)生所學(xué)內(nèi)容不一致的情況，教師對(duì)作業(yè)有效度的輕視幾乎是個(gè)致命傷，總以為只要多做練習(xí)就能提高教學(xué)質(zhì)量；批改的少，反饋的少，取而代之的是午練、晚練，及千人一面的“一課一練”.

新高考的命題主要圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)，注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)和通性通法；盲目通過增多作業(yè)量已經(jīng)不能起到應(yīng)有的效果；實(shí)際上，教什么、學(xué)什么、考什么三者應(yīng)該具有高度的相關(guān)性；教到什么程度、學(xué)到什么程度、考到什么程度是一致的；教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)實(shí)施、教學(xué)效果是一致的.為了充分發(fā)揮高考引領(lǐng)教學(xué)，筆者倡導(dǎo)作業(yè)設(shè)計(jì)應(yīng)基于不同授課類型精準(zhǔn)指向基本知識(shí)、基本思想方法、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)探究等.

2.3 關(guān)注解題教學(xué)，落實(shí)教授學(xué)生學(xué)思考