可壓縮兩相流固耦合模型的間斷Galerkin 有限元方法1)

馬天然 沈偉軍 *?,2) 劉衛群 Xu Hao

* (中國礦業大學力學與土木工程學院,江蘇徐州 221116)

? (中國礦業大學深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室,江蘇徐州 221116)

** (中國科學院力學研究所,北京 100190)

?? (中國科學院大學工程科學學院,北京 100049)

*** (勞倫斯伯克利國家實驗室地球科學部,美國伯克利 94720)

引言

深入探索多孔介質中多相流動和固體變形特征對精準認識地下資源開發利用,例如石油勘探開發、煤層氣和頁巖氣開采、二氧化碳地質封存等領域,具有重要的工程意義[1-4].在流體輸送過程中局部壓力和飽和度梯度下的滲流作用改變了孔隙結構特征,打破了儲層內部的水力平衡;固體空間結構的變化影響了儲層內部流體的運移路徑和流通能力,具體表現為多孔介質孔隙度和滲透率等物性參數的動態響應.發展和建立兩相滲流與固體變形耦合模型及其相應的數值方法是準確描述和闡明儲層內水力行為的有效手段[5-7].

針對兩相滲流和固體變形耦合模型的數值方法主要包括有限元法[8-10]、有限體積法[11-12]以及混合計算方法[13-14]等.對于兩相流問題的離散和數值求解,傳統有限元能夠確保流體域內整體的質量平衡,但是無法實現流體在跨越單元間的局部質量平衡,因此不適用于求解對流占主導的非線性不混溶問題;有限體積法在確保局部流量平衡的同時,具有較高的計算效率,因此在工業界和工程尺度模擬中得到了廣泛應用.在通常情況下,有限體積方法的計算結果僅能滿足低階有效精度;混合計算方法是指對流體和力學控制方程分別利用不同的數值方法進行求解,該方法集成了各種數值方法的優勢.Rutqivst[15]在耦聯流體軟件TOUGH2 和固體變形軟件FLAC3D的基礎上,開發了在油氣、地熱、可燃冰開采以及二氧化碳地質封存等領域廣泛使用的TOUGH-FLAC耦合模擬器.在此模擬器中,負責流體計算的TOUGH2 軟件采用的是有限體積法,FLAC3D 采用有限差分法計算固體變形,此方法在網格劃分和數據傳遞效率等方面具有一定的局限性.

如何在刑事立法政策的制定過程中辯證地認識民意，正確引導民意、有效利用民意是一個需要亟待解決的問題。然而民意的定義與范圍十分抽象、復雜，甚至真偽難辨，一旦研判失誤，極易誤導決策者，甚至可能造成社會混亂。因而對民意的考量必須加以合理的規制。

間斷伽遼金有限元(discontinuous Galerkin finite element method,DG-FEM)結合了有限體積與有限元兩種方法的優點,具有高階精度和局部單元物理守恒性的特點,容易實現局部網格加密和各單元多項式的單獨選取[16-19].近些年來,DG-FEM 在流體和彈性力學領域得到了廣泛的關注和持續的發展[20-22].Klieber 和Riviere[23]在解耦兩相滲流微分方程組的基礎上,提出了不可壓縮兩相流自適應間斷有限元方法.Epshteyn 和Rivière[24]提出了多孔介質不可壓縮兩相流完全隱式方程的不連續伽遼金方法,該方法在結構化和非結構化網格計算中都具有較好的魯棒性.李子然和吳長春[25]、陳韻騁等[26]建立了基于線彈性力學問題的局部間斷有限元方法.在流固耦合方面,Liu 等[27-28]提出了連續和間斷伽遼金耦合框架,利用自適應加罰方法提高間斷伽遼金有限元方法在模擬大型多孔彈性問題時的適用性和計算效率,并將此方法推廣至多孔介質水力壓裂模擬中.目前關于間斷伽遼金有限元方法在計算可壓縮兩相流固模型方面的研究鮮有報道,還有待進一步深入研究.

隨著社會經濟的不斷發展以及人們生活水平的不斷提高，對道路橋梁工程的施工質量的要求也越來越嚴格。為了滿足社會發展的需要，以及人們交通出行的需求，應不斷提高道路橋梁工程的建設質量。因此，保證道路橋梁工程原材料的質量成為保障工程建設質量的基礎與前提。

利用上述類似的推導過程和方式,可以得到式(2)的間斷伽遼金弱形式,如下所示

1 兩相流固耦合控制方程

1.1 兩相滲流方程

假設模型中濕潤相和非濕潤相為不混溶流體,兩者在多孔介質中的流速滿足達西定律.在考慮毛細壓力、重力效應和固體變形的基礎上,等溫可壓縮兩相滲流控制方程可表示為[2,29]

式中,下標β 為w和 n w分別表示濕潤相和非濕潤相,Sβ為飽和度, ρβ和μβ分別為流體密度和黏度,Cβ為流體壓縮系數,pβ為流體壓力,k為多孔介質絕對滲透率張量,krβ為相對滲透率,Qβ為源匯項, εv為體應變,pc和 |pc|分別為毛細壓力和毛細壓力對濕相飽和度的導數.

針對學校知識資產的存在形態與管理目標，結合信息系統分析與設計、文檔一體化管理、關系數據庫系統等原理，高校機構內知識資源綜合管理平臺的結構設計，整體上應該包括系統用戶管理、各職能部門應用子系統管理、知識檔案資源數據庫管理、知識庫增值服務管理等四大管理模塊。

為了求解方程,需要補充如下輔助公式

式中,pe為毛細管吸入壓力,Se為有效飽和度, λ 為孔徑分布指數,Srw和Srnw分別為濕潤相和非濕潤相的殘余飽和度.

此外,選取Genuchten?Mualem 相對滲透率模型描述濕潤相和非濕潤相的流通能力,表達式如下所示[30]

模型的初始條件為

模型中Dirichlet 和Neumann 邊界條件如下所示

進入防汛物資管理界面可對各倉庫進行防汛物資庫存情況查詢，網上申請、審批發放管理，對購置入庫、維修保養、出入庫時間記錄列表上傳、下載進行物資倉庫管理。

1.2 兩相滲流方程的間斷伽遼金弱形式

圖1 為模擬幾何區域、邊界條件和網格示意圖.在計算域 Ω中,邊界 ? Ω由不與內部單元接觸的外邊界 ? Ωo和內部相鄰單元共享的內邊界 ? Ωi兩部分組成.由圖1 可知,內邊界 ? Ωi為相鄰單元E+和E?共同擁有;外邊界?Ωo由Dirichlet 邊界?ΩoD和Neumann 邊界 ? ΩoN兩者構成,即 ? Ωo=?ΩoD∪?ΩoN.設是區域 Ω的正則剖分, ?E=?Ωo∪?Ωi表示為所有邊界的集合,則間斷有限元空間定義為

圖1 幾何區域、邊界條件和網格示意圖Fig.1 Domain with boundary conditions and mesh skeleton

式中,離散空間pr(E)為單元E上不超過r次的多項式的集合.

為了推導兩相滲流方程的間斷伽遼金弱形式,首先在式(1)等號的兩側乘以試函數并在單元計算域E內進行積分,可得到

利用分部積分和散度定理,式(15)中等號左側第二項可表示為

方程式(19),式(20)和式(27)是多孔介質中可壓縮兩相滲流和固體變形的弱形式.本文利用通用有限元軟件COMSOL Multiphysics 內置的Weak Form PDE 模塊求解可壓縮兩相流固耦合模型.基于二次不連續拉格朗日形函數構建對解域的間斷伽遼金有限元逼近,選取向后差分公式(backward differentiation formula,BDF)隱式求解器.其中,BDF 求解器采用自適應時間步長算法和可變離散化階數,離散化的BDF 精度從1～5 不等.基于LU 分解,采用MUMPS (multifrontal massively parallel sparse)直接求解器對線性系統進行求解,并選取完全耦合的求解器(fully coupled solver)將線性求解器應用于牛頓單步法的非線性問題.默認情況下,初始時間步長設置為結束時間的0.1%,相對容差為0.01.

水還沒消下去，楊小水卻堅持要回去。一路上看到的樹，樹梢上都掛滿了水草。第二天進入遂平境內，連樹都少見了。大的多伏在地上，小的，連根都拔走了。老鼠都圓滾滾的，像小孩子玩的皮球，也不怕人，在地上緩緩地滾動。鐵路線這邊的路溝里，是她這輩子見過尸體最多的地方。層層疊疊地摞著，不計其數。附近的樹枝上落滿了蒼蠅，黑壓壓的，把樹都壓彎了。

將式(18)代入式(17)中,結合穩定項、加罰函數項以及相應邊界條件,可得

基于上述認識,本文首先建立可壓縮兩相流固耦合控制方程,其中包括考慮毛細壓力和重力作用的可壓縮兩相滲流方程以及線性多孔彈性方程.在此基礎上,推導出流固耦合方程的間斷伽遼金弱形式;然后,通過一維Terzaghi 流固問題驗證模型的準確性;最后,分別開展二維平面應變條件下和考慮重力效應的三維流固數值算例,分析流體壓力、飽和度以及固體應力、位移的分布特征,探討加罰因子對模擬結果的影響.

式(19)和式(20)為考慮固體變形作用下可壓縮兩相滲流方程的間斷伽遼金有限元方法的弱表達形式.

大學生作為獨特的社會群體，其思想活躍、充滿創意意識，并由此形成了別具特色的校園文化。基于此，高校的教育教學中，應將社會主義核心價值觀融入到校園文化中來，利用校園文化活動，為大學生的思想價值培養提供良好的外部環境。例如在校園文化建設中，學校可以組織社會主義核心價值觀的專題講座，做好理論宣傳；組織社區志愿活動，讓學生在社區服務中強化社會責任感；組織專業實習，將學校教育與職業需求相結合，提高大學生的自我認識；參與社會調查，從政治、文化、經濟、生態等多角度了解社會，讓大學生從書本中走出來，提高社會實踐能力。

（4）止水帶壓板采用“凵”型鋼板，在螺帽和壓板之間設置彈性墊圈，調整定位后擰緊。螺帽以上緊為準，原則上緊固力為3kg，一般不宜超過5kg，但不應小于2.5kg。螺栓外露部分采用塑料套保護。此種鋼板剛度較“一”型成倍增加，擰緊螺栓時不會因壓板變形而產生漏水空洞。

1.3 固體變形方程及其弱形式

假設多孔介質固體變形滿足彈性小變形條件,那么固體變形的平衡方程、幾何方程、本構方程以及邊界條件如下所示

式中,總應力 σ =σ′?αIp,則式(21)可改寫

2.3.1 產前遺傳咨詢及產前診斷情況 截止到2016年11月，通過電話隨訪及門診回訪232對夫妻進行了進一步的遺傳咨詢并對丈夫相關基因進行了檢測。其中同基因攜帶為33例，其中2例暫未懷孕，18對夫妻經知情同意選擇進一步產前診斷，其余拒絕產前診斷。

式中, σ′為有效應力張量, ε為應變張量,u為位移張量,f為體積力張量, α 為Biot 常數,D為4 階彈性張量,I為單位張量,平均孔隙壓力p=Snwpnw+Swpw.

本節利用間斷伽遼金方法開展在二維平面應變條件下兩相滲流和固體變形耦合數值計算.在本算例中,分別選取水和氫氣作為濕潤相和非濕潤相.模型的幾何尺度、初始條件、邊界條件和監測線如圖4 所示.模型的長度和寬度均設置為10.00 m.多孔介質的彈性模量和泊松比分別為10.00 GPa 和0.30;滲透率和孔隙度分別設定為 1 .00×10?14m2和0.20.模擬區域的初始氣體壓力為4.00 MPa,初始水飽和度為0.80.模擬左邊界和下邊界為位移約束,在上邊界和右邊界分別施加 ? 1.00 × 107MPa (負號表示壓應力方向)的垂直和水平應力.模型左下角為注入邊界,設置注入的氫氣壓力和水飽和度分別為5.00 MPa 和0.80;右上角為出口邊界,出口氣體壓力和水飽和度設置為4.00 MPa 和0.20.

1.4 數值方法的實現

將式(16)代入式(15),累加所有單元區域,可得

2 模型驗證

圖2 描述了一維Terzaghi 固結問題的幾何示意圖以及相應的邊界條件.為了確保孔隙壓力沿上下兩端保持為零,設置模型上下兩端為排水邊界.在模型上邊界瞬間施加均布載荷q=?5.00 MPa.本模型長度 2h=10.00 m,其他參數的具體取值如下[2]:剪切模量為30.00 GPa,壓縮模量為50.00 GPa,多孔介質滲透率為 1 .00×10?12m2,孔隙度為0.25,流體壓縮系數為 1 .00×10?12Pa?1, 流體黏度為 1 .00×10?3Pa·s,加罰因子 δf和 δs分別設置為1.00 和10.00[31].

干法電選是利用粉煤灰在高壓電場作用下，因灰與炭導電性能不同而進行的分離。粉煤灰是非導體物料，炭粒是良好的導體物料，在圓形電暈電場中，當粉煤灰獲得電荷后，炭粒因導電性能良好，很快地將所獲電荷通過圓筒帶走，在重力慣性離心力作用下，脫離圓筒表面，被拋入導體產品槽；而非導體的粉煤灰所獲電荷在表面釋放速度較慢，故在電場力作用下，吸收在圓筒表面上，被旋轉圓筒帶到后部，由卸料毛刷排入非導體產品槽中，從而達到灰炭分離的效果。

隨著社會經濟和醫藥產業的發展及公眾日益增長的健康需求，醫藥新產品、新劑型層出不窮，例如中藥材的新型產地加工或炮制加工品種、中藥配方顆粒、中藥精制飲片超微細粉加工等，相應的產品質量標準研發需求旺盛。藥品檢驗機構作為藥品監管和產業發展的重要技術支撐，承擔著大量的注冊檢驗、監督抽檢、仿制藥一致性評價復核檢驗、質量標準制修訂和補充檢驗方法研制等檢驗檢測和技術研究任務，是新時代市場監管和醫藥產業發展不可或缺的技術力量。如何充分發揮藥檢機構在質量標準研究方面的技術優勢，為市場監管、產業發展和推動“放管服”提供技術支撐，值得深入研究。

圖2 Terzaghi 固結問題幾何示意圖Fig.2 Sketch of Terzaghi’s consolidation problem

圖3 為Terzaghi 固結問題的理論解[32]和DG有限元數值解的比較.結果顯示,DG 有限元計算得到的數值解與理論解吻合較好,進而驗證了間斷伽遼金方法在求解流固耦合方程時的可行性和有效性.

在間斷伽遼金方法中,變量在單元內邊界 ? Ωi處滿足不連續設定,因此式(17)中等號左側第三項可以改寫為

圖3 Terzaghi 固結問題理論解和數值解的比較Fig.3 Comparison of the analytical and numerical results for Terzaghi’s consolidation problem

3 算例分析

3.1 二維平面兩相流固算例

利用類似式(19)和式(20)的推導過程,結合相應的邊界條件,可以得到固體變形方程的弱形式,如下所示

圖4 模擬幾何尺度、初始和邊界條件Fig.4 Simulation geometrical configuration with boundary and initial conditions

數值模擬分兩個階段開展.首先,開展儲層力學和流體平衡的穩態計算.然后,將第一步計算得到的應力和孔壓等水力信息作為含水層氫氣注入模擬算例的初始條件.整個模擬時間為1500 s,其他變量的具體數值如表1 所示.

圖5 和圖6 分別給出了注氣第1500 s 氣體壓力pnw、水飽和度Sw、水 平位移u和水平有效應 力的空間分布云圖以及變量沿監測線的分布圖.由圖5和圖6 可知,隨著氫氣的持續注入,氣體壓力影響范圍擴大至距注入邊界7 m 左右,并引起固體膨脹變形且變形影響范圍擴散至邊界處.究其原因是因為在多孔彈性介質中位移或者應變可傳播到壓力前沿之前.受毛細壓力和氣水兩相物理屬性差異的共同影響,氫氣主要聚集于注入邊界附近.在多孔介質內孔壓在遠離注入邊界的過程中呈現遞減趨勢,而有效應力沿監測線增加.

圖6 第1500 s 時氣體壓力 pnw、水飽和度 Sw、水平位移 u 和水平有效應力沿監測線的分布Fig.6 The profiles of gas pressure pnw,water saturation S w ,horizontal displacement u and horizontal effective stress along the monitoring line at t = 1500 s

3.2 加罰因子的影響

圖7 給出了 δs=0.10,1.00 和10.00 時水平位移u和水平有效應力沿監測線的分布.圖8 給出了δs=0.10時水平位移u和水平有效應力 σ′x的分布云圖.圖9 給出了 δf=0.01,0.10,1.00 和10.00 時氣體壓力pnw、水飽和度Sw沿監測線的分布.結果表明,不同加罰因子條件下,變量u,,pnw和Sw沿著監測線的變化趨勢大體保持一致.在計算固體變形時,計算結果對加罰因子的選取更為敏感.當 δs= 0.10時,應力和位移均在局部出現明顯的波動;當 δf=0.01 時,飽和度在小范圍內發生輕微浮動.這主要由于加罰因子 δs和 δf的降低減少了自變量位移、壓力以及飽和度在單元處弱連續性的約束,造成了變量局部波動的現象.通過適當提高加罰因子可以加強變量在跨越單元交界面處的連續性,但是較高的加罰值會引發病態條件矩陣的可能性.

圖7 第1500 s 時不同加罰因子 δs條件下水平位移 u 和水平有效應力 沿監測線的分布Fig.7 The profiles of horizontal displacement u and horizontal effective stress along the monitoring line at t = 1500 s with different values of penalty parameter δs

圖8 第1500 s 時 δs=0.01水平位移 u和水平有效應力 分布云圖Fig.8 The distribution of horizontal displacement u and horizontal effective stress with δs=0.01 at t = 1500 s

圖9 第1500 s 時不同加罰因子 δf條件下氣體壓力pnw 、水飽和度Sw 沿監測線(0,0.05)?(10,9.95)的分布Fig.9 The profiles of gas pressure pnw and water saturation S w along monitoring line at t = 1500 s with different values of δf

值得注意的是,受流體邊界條件、初始條件以及流體方程的非線性特征等因素的影響,傳統有限元方法在求解本節流體模型時無法收斂,此情況在一定程度上體現了間斷伽遼金有限元在求解可壓縮兩相流固方程上的優越性.本節將傳統有限元的計算結果作為基準方案,通過比較間斷伽遼金有限元和傳統有限元兩者計算得到的水平位移和水平有效應力之間的相對誤差,分析加罰因子 δs對計算結果的影響.水平位移和水平有效應力的計算誤差erru和errs的表達式為[33]

式中,l為幾何模型尺度分別為有限元方法計算得到的水平位移和水平有效應力, ΔuCG和分別為間斷有限元方法計算得到的水平位移和水平有效應力.

圖10 給出了不同加罰因子 δs條件下間斷伽遼金有限元和傳統有限元方法計算得到的水平位移和水平有效應力的比較.結果表明,隨著 δs的增加,間斷有限元與傳統有限元計算得到的水平方向的變形和應力的相對誤差隨之減少,這說明了加罰項的增加可以有效抑制有限元函數在跨越單元時的不連續性.

圖10 不同加罰因子 δs 條件下間斷有限元和傳統有限元方法計算水平位移和水平有效應力的比較Fig.10 Comparison of the horizonal displacement and horizonal effective stress between DG and the CG results with different values of penalty parameter δs

3.3 考慮重力效應的兩相流固三維算例

在本節中,將開展含水層注氫氣的三維數值模擬.在此算例中,側重分析流體重力效應對模擬結果的的影響.如圖11 所示,三維算例的幾何尺度為100.00 m×2.00 m×10.00 m.模擬上邊界和右邊界為應力邊界且tx=tz= ?1.00 × 107MPa,其余邊界均設定為位移約束.氫氣從左側邊界注入,注入率gnw=1.00 × 10?4kg/(m2·s),右側為出口邊界,邊界上的氣體壓力和水飽和度分別為4.00 MPa 和0.20,其余邊界則為不流動邊界.整個注氣過程持續1 d,其他變量的數值如表1 所示.

圖11 三維模型幾何尺度以及模擬初始和邊界條件Fig.11 Geometrical configuration with boundary and initial conditions of 3D case

圖12 給出了注氣1 d 后氣體壓力pnw、氣體飽和度Snw、垂直位移w和水平有效應力的分布云圖.圖13 為在考慮和不考慮重力效應兩種情況下點a,b和c處氣飽和度Snw隨時間變化圖.由圖12 可知,氫氣注入1 d 后,孔壓沿著水平x方向傳播至距左邊界約70.00 m 處,儲層邊界處氣體飽和度和孔隙壓力分別增加至約0.52 和6.50 MPa,孔壓的增加引起垂直位移的提高和水平有效應力的降低.在注入過程中,由于氫氣和水兩者密度的差異,引起氣體上浮且聚集于模型頂部,造成頂部點c處氣體飽和度要明顯高于底部點a處氣體飽和度.

圖12 注氣1 d 后氣體壓力 pnw、氣體飽和度 Snw、垂直位移 w 和水平有效應力的分布圖Fig.12 The distribution of gas pressurepnw,gas saturation Snw ,vertical displacement wand horizontal effective stress after 1 day of injection

圖13 考慮和不考慮重力效應算例中點a,b 和c 處氣飽和度 S nw 隨時間變化圖Fig.13 The temporal evolution of gas saturation S nw at points a,b and c in the cases with and without gravity

4 結論

本文建立了考慮毛細壓力和重力效應的可壓縮兩相滲流與孔隙介質變形耦合作用的力學模型.在此基礎上,分別推導出變形孔隙介質中兩相滲流方程的非對稱內罰伽遼金弱形式以及固體變形方程的非完全內罰伽遼金弱形式.主要結論如下:

(1)通過對比一維Terzaghi 固結問題的解析解和數值解,驗證了間斷伽遼金有限元方法在求解流固耦合問題方面的可行性和準確性;

(2)開展了二維平面應變條件下和考慮重力效應作用的三維兩相流固數值算例.結果顯示,隨著氣體的注入,氣體飽和度和孔壓隨之增加,導致多孔介質膨脹變形和有效應力降低.由于重力的影響,氣體會上浮聚集于頂部邊界;

本文在GP100-C3高頻感應淬火設備上，利用設計制作的仿形感應器，對制動器壓盤錐窩部位進行感應淬火，得到如下結論：

(3)在二維平面算例中,討論了加罰因子對計算結果的影響.結果表明,在相同網格條件下,加罰因子 δf和 δs的降低會導致流體和固體信息在局部出現不同程度的波動.固體變形參量對加罰因子 δs更為敏感,提高加罰因子 δs可以有效抑制位移和應力在跨越單元時的不連續性.