一道競賽題的探究

重慶三峽學院數學與統計學院 (404000) 羅 建 古玲玲 陳曉春

本文擬對不等式(1)的證明方法、變式、推廣等方面作一探究．

1．不等式(1)的證法探究

分析1:不等式(1)的左端結構對稱，利用柯西不等式有：

分析2：若注意到不等式(1)的左端的結構，利用基本不等式證明局部不等式后再疊加則有：

分析3：前述兩種證法的關鍵是尋求a2+b2+c2與a3+b3+c3的不等關系，除證明1及證明2 外，還有

2．不等式(1)的變式

從證明1的過程可知，在使用柯西不等式后只要分母的和a2+b2+c2+2(a3+b3+c3)以及分子的和a3+b3+c3不變，其證明方法都是相同的，因此可得如下(1)的變式不等式：

2.1 將分子的元素輪換

2.2 將分母的元素重排

2.3 將分母的元素拆分并輪換

2.4 將分母的多項式擴充

顯然，通過對不等式中相應項的變式有很多，因此不等式(1)的變式還有許多，有興趣的不妨一試．

3．不等式(1)的推廣

推廣是數學探究中的一種常用的思維形式，將不等式(1)的系數一般化，元素個數推廣有：

不等式5-8，前一個均是后一個的特例，下面只給出不等式8的證明．