基于三角模糊數(shù)的不完全信息靜態(tài)庫諾特博弈模型及其應(yīng)用

趙洪斌，陳奕延

（1.中咨工程管理咨詢有限公司，北京 100048；2.北京理工大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京 100081）

一、引言

隨著科技水平的不斷發(fā)展，人類對精確性分析的需求與日俱增，大數(shù)據(jù)、云計(jì)算、深度學(xué)習(xí)等一系列新型技術(shù)都是為滿足這類需求而產(chǎn)生的。然而，與精確性分析相悖的模糊性分析也隨之蓬勃發(fā)展，模糊數(shù)學(xué)在處理實(shí)踐中的某些問題甚至優(yōu)于傳統(tǒng)的經(jīng)典數(shù)學(xué)方法[1]，與此同時(shí)，近些年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)有多次都頒發(fā)給了研究博弈論或博弈論相關(guān)方向的學(xué)者，包括Alvin E.Roth（2012）、Jean Tirole（2014）、Oliver Hart（2016）和Bengt Holmstrom（2016）等人[2]，這無疑激起了許多學(xué)者研究博弈問題的興趣，中國作為模糊數(shù)學(xué)研究的四大中心（美國、西歐、日本、中國）之一，自然而然出現(xiàn)了許多交叉性質(zhì)的學(xué)術(shù)研究，即使用模糊數(shù)學(xué)來研究博弈問題：李紀(jì)真等（2015）[3]針對當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)安全預(yù)警響應(yīng)決策模型缺乏主動性且未引入響應(yīng)時(shí)機(jī)決策機(jī)制而導(dǎo)致無法在最佳時(shí)機(jī)觸發(fā)最優(yōu)響應(yīng)策略的問題，建立了基于雙重動態(tài)非對稱三角模糊矩陣博弈的主動預(yù)警響應(yīng)決策模型，該模型生成的方案可以使攻擊者在掃描、漏洞溢出、權(quán)限提升三個(gè)階段的最低收益分別降低28.4%、11.6%和2.6%，提高了網(wǎng)絡(luò)安全主動預(yù)警響應(yīng)決策能力和效率；李翠和薛惠鋒（2016）[4]基于模糊聯(lián)盟博弈模型，對模糊博弈的核心解及穩(wěn)定集解進(jìn)行梳理，報(bào)告了博弈核心解在企業(yè)知識聯(lián)盟利益分配中可能為空集的現(xiàn)狀，通過采用引入隸屬度及分配系數(shù)的方法，展開廣義模糊解概念的延拓、廣義模糊解間關(guān)系的刻畫及模糊聯(lián)盟博弈收益值部分保留的需求調(diào)查，反映了既能滿足企業(yè)與多個(gè)知識聯(lián)盟合作又可滿足企業(yè)知識聯(lián)盟再發(fā)展的應(yīng)用需求問題；李瑾（2016）[5]基于模糊合作理論，進(jìn)而建構(gòu)了聯(lián)盟博弈模型并以供應(yīng)鏈為考察視角，對該博弈模型作出了兩次模型拓展與應(yīng)用，以期為信息時(shí)代下物聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展及其相應(yīng)的物流管理提供理論指引與經(jīng)驗(yàn)證據(jù)；孫蕾和孫紹榮（2017）[6]構(gòu)建了跨域合作污染治理的特征函數(shù)及模糊合作博弈的參與度函數(shù)，結(jié)合京津冀實(shí)際環(huán)境數(shù)據(jù)，利用模糊博弈Shapley 值法獲得合作省市成本分?jǐn)偡桨福詈蠓治隽四昶骄鶟舛龋昕諝赓|(zhì)量未達(dá)標(biāo)天數(shù)及環(huán)境污染治理力對成本分?jǐn)傊档挠绊戧P(guān)系；孫紅霞和張強(qiáng)（2017）[7]針對參與聯(lián)盟的局中人具有一定參與度的情形，研究了具有模糊聯(lián)盟的雙合作博弈的支付分配問題，通過成本分?jǐn)偹憷?yàn)證了模糊雙合作博弈支付分配模型的可行性；苗治平和李翠（2017）[8]構(gòu)建了模糊平均單調(diào)博弈模型，通過博弈模型的求解來解決合作聯(lián)盟最優(yōu)利益分配問題。諸如此類的研究有很多，卻較少有研究模糊條件下庫諾特博弈模型及其均衡解的成果。

二、知識準(zhǔn)備

滿足定義[9]，且隸屬函數(shù)圖形如圖1 所示的模糊數(shù)稱為三角模糊數(shù)，其中l(wèi)，m，r沂R，l，r 分別稱為三角模糊數(shù)的下界和上界，m 稱為三角模糊數(shù)的主值，（m-l）與（r-m）稱為三角模糊數(shù)的下限和上限，當(dāng)l=m=r 時(shí)，三角模糊數(shù)退化成普通的經(jīng)典實(shí)數(shù)，（r-l）的值越大，越模糊。

圖1 三角模糊數(shù)

u（x）為隸屬函數(shù)，L（x）為左隸屬函數(shù)，R（x）為右隸屬函數(shù)，0臆L（x），R（x）≤1，其隸屬函數(shù)的表達(dá)式為：

該式通常可省略0 值部分，其簡式為：

若加之限定條件，令l，m，r>0，則此時(shí)的三角模糊數(shù)稱為正三角模糊數(shù)，如圖2 所示。

圖2 正三角模糊數(shù)

正三角模糊數(shù)的表達(dá)式同公式（1）與公式（2）一致，表示方式也與三角模糊數(shù)一致，在經(jīng)濟(jì)問題中由于變量和參數(shù)通常為正數(shù)，故多使用正三角模糊數(shù)來解決相關(guān)問題。

三角模糊數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可參考張興芳等（2005）[10]的論文與李榮鈞（2002）[11]的著作。特別注意，兩個(gè)三角模糊數(shù)的乘積不再是三角模糊數(shù)，如圖3 所示。

圖3 兩個(gè)三角模糊數(shù)及其乘積

其中N1與N2是三角模糊數(shù)，亦是一個(gè)正模糊數(shù)，但非三角模糊數(shù)。

三、模型構(gòu)建

庫諾特博弈模型常被用來研究市場的雙寡頭壟斷競爭，其定義和具體介紹可參考相關(guān)文獻(xiàn)[12-14]，模型假設(shè)廠商之間不存在任何正式或非正式的勾結(jié)，且每一方都知道對方將如何行動，庫諾特博弈模型也常被運(yùn)用于研究各類假設(shè)條件下的博弈問題，這其中較為復(fù)雜的是不完全信息靜態(tài)庫諾特博弈模型，這里引入正三角模糊數(shù)，假設(shè)兩企業(yè)生產(chǎn)同類同質(zhì)的產(chǎn)品，企業(yè)1（記為E1）和企業(yè)2（記為E2）均有高、低兩種類型的模糊單位成本，企業(yè)1 和企業(yè)2 彼此不知道對方的模糊單位成本，只具有信念，企業(yè)E1 和企業(yè)E2 生產(chǎn)相同的產(chǎn)品，相關(guān)變量如表1 所示。

表1 模糊單位成本及信念

可知，企業(yè)E1 和企業(yè)E2 的高低成本均是正三角模糊數(shù)，lij，mij，rij>0[15]，按照三角模糊數(shù)之間比較大小的方法，則單位模糊成本的高低（大小）必須滿足表2 所述條件。

表2 三角模糊數(shù)大小條件表

其中，三角模糊數(shù)M（Nij）的均值為：

設(shè)其方差為σ2（Nij），則方差表達(dá)式為：

（一）完全壟斷的模糊最優(yōu)產(chǎn)量

由于有4 種模糊成本，故相應(yīng)的模糊壟斷利潤亦有4 種，其模糊收益函數(shù)的表達(dá)式可由聯(lián)立方程組得到：

由模糊最優(yōu)產(chǎn)量可得兩個(gè)企業(yè)的行動空間的表達(dá)式為：

（二）模糊貝葉斯均衡產(chǎn)量

對其中4 個(gè)最優(yōu)化問題的決策變量求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)等于0，可得以下聯(lián)立方程組：

對方程組進(jìn)行整理，求解過程參考經(jīng)典實(shí)變量情況下的方法[16]，分別解得4 種模糊單位成本下的模糊貝葉斯均衡產(chǎn)量：

四、算例演示

由公式（3）及公式（4）判斷可知表3 中的模糊單位成本滿足表2 中的條件，計(jì)算兩個(gè)企業(yè)E1 和E2 的模糊貝葉斯均衡產(chǎn)量，省略計(jì)算步驟，將最終計(jì)算結(jié)果在表4 中列出。

表3 模糊單位成本及信念

表4 計(jì)算結(jié)果表

圖4 改進(jìn)型模糊數(shù)

五、結(jié)語

基于三角模糊數(shù)的不完全信息靜態(tài)庫諾特博弈模型可有效求解雙寡頭企業(yè)在不完全信息條件下參量模糊的貝葉斯模糊均衡產(chǎn)量，其運(yùn)用的模糊博弈的方法可以解決模型中參量模糊的博弈問題，為今后進(jìn)一步研究模糊博弈或不確定性（概率、模糊數(shù)學(xué)、灰色系統(tǒng)、粗糙集等）博弈問題提供了參考依據(jù)。未來可從以下三個(gè)方向進(jìn)行深化研究。

首先，將機(jī)器學(xué)習(xí)與模糊博弈結(jié)合，在預(yù)測、分類、聚類算法的基礎(chǔ)上，將博弈模型作為內(nèi)生約束條件嵌入，從而在決策計(jì)算中納入利益分配機(jī)制的考量，以便于處理海量信息決策時(shí)的利益分配問題；其次，可考慮正態(tài)模糊數(shù)等其他模糊數(shù)的博弈模型，杜絕三角模糊數(shù)“尖點(diǎn)突變”的缺陷；最后，可建立更為宏觀的算例庫，針對不同社會經(jīng)濟(jì)問題開展更多實(shí)證類研究，通過“反饋-調(diào)節(jié)”的方式進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膶?shí)效性。