面向精密氣磁隔振的磁斥力負剛度裝置的優化設計

趙亞敏，崔俊寧，鄒麗敏，邊星元

(1.哈爾濱工業大學 超精密光電儀器工程研究所，哈爾濱 150080；2.哈爾濱工業大學 超精密儀器技術及智能化工信部重點實驗室，哈爾濱 150080)

氣浮隔振器因其承載大，固有頻率低且基本不隨隔振負載變化等特點廣泛應用于精密儀器、設備的隔微振技術領域[1-3]。隨著高端精密/超精密加工、測量設備精度需求的提高，隔振負載兼具大承載、體積龐大與結構復雜等特點，且對工作環境中的低頻微幅振動干擾的隔離提出了越來越嚴苛的要求[4-5]。并聯負剛度裝置可在保證隔振器承載的條件下，進一步降低固有頻率、提升低頻隔振性能[6-9]。為穩定地實現大承載下的低頻/超低頻隔振效果，不僅要求負剛度裝置具有高幅值負剛度特性，以最大程度的抵消氣浮隔振器的正剛度，實現近零剛度特性；并且要求負剛度裝置具有高線性特性以保證隔振系統的穩定性。實現負剛度裝置的高幅值、高線性負剛度特性是目前研究的一個難點。永磁式負剛度裝置由磁材料的特殊配置構成，相比于歐壓連桿[10]、凸輪滾子彈簧[11-13]、倒立擺[14]等負剛度裝置，具有無摩擦、結構緊湊、易于與主動控制系統集成等特點，廣泛用于與正剛度結構并聯構建低頻/超低頻隔振器。

Nijsse[15]利用三塊立方永磁體間的磁力作用設計了磁引力與磁斥力兩種負剛度結構。Carrella等[16]與Wang等[17]分別將三塊立方永磁體構成的磁引力負剛度裝置與螺旋彈簧、空氣彈簧并聯實現低頻隔振效果。Wu等[18]試驗驗證了磁斥力負剛度裝置的性能。戴鵬輝[19]將兩種負剛度裝置并聯實現寬域高線性負剛度特性。Dong等[20]將磁引力負剛度裝置中的立方永磁體替換為環形永磁體，并基于等效磁荷模型建立了負剛度裝置的剛度與剛度非線性度解析模型。Shan等[21]利用由吸引布置的四塊立方永磁體構成的負剛度裝置隔離地面低頻振動干擾；Oyelade[22]利用排斥布置的四塊立方永磁體設計了負剛度裝置，并對其動力學特性進行了研究。立方永磁體負剛度裝置的剛度可通過磁鐵間距調節、磁阻尼小、高頻段隔振性能優越，但是磁引力負剛度裝置的磁鐵間距與振動位移方向相同，限制了隔振負載的振幅[23]。Zheng等[24-26]利用兩個同軸嵌套的磁環構成負剛度裝置，并給出了磁環負剛度裝置的優化設計流程。Zhou等[27-28]將雙磁環負剛度裝置用于解決新生兒運輸過程中的超低頻隔振問題。磁環負剛度裝置產生的高磁阻尼無法改善高頻段的振動傳遞率，且磁環結構確定后剛度不可調整，無法適應載荷質量及激勵頻率的變化[29]。

針對磁環負剛度裝置剛度不可調、立方永磁體構成的磁引力負剛度裝置限制隔振負載振動幅值的問題，提出了一種由三個沿垂向同向磁化的立方永磁體構成的磁斥力負剛度裝置。磁斥力負剛度裝置的剛度通過磁鐵間距調整，且磁鐵間距與振動位移的方向相互垂直，不受隔振負載振幅的影響。建立磁斥力負剛度裝置的解析模型，采用遺傳算法實現高幅值、高線性負剛度特性的優化設計。論文的后續研究內容如下：首先，基于等效磁荷模型，建立磁斥力負剛度裝置的磁力、剛度及剛度非線性解析模型，并仿真驗證理論模型的正確性。然后，采用遺傳算法優化幾何參數，給出優化設計結論。

1 磁斥力負剛度裝置及理論建模

1.1 磁斥力負剛度裝置

由磁斥力負剛度裝置與氣浮隔振器并聯構成的氣磁隔振器的原理如圖1所示。氣浮隔振器由主氣室、附加氣室與彈性膜構成，主、附氣室間通過節流孔連接。磁斥力負剛度裝置由沿垂向同向磁化的左側永磁體、中間永磁體與右側永磁體構成，與氣浮隔振器并聯支撐隔振負載。中間永磁體與隔振負載固定連接，左側永磁體與右側永磁體幾何尺寸相同、對稱固定在中間永磁體兩側。中間永磁體與左、右側永磁體的Z向、水平Y向中心重合，水平X向間距為h。通過氣浮隔振器充氣壓力的改變保證隔振負載及激勵頻率變化時，中間永磁體的Z向高度中心始終與左、右永磁體等高。此外，在高集成度的應用場合，也可將磁斥力負剛度裝置集成到氣浮隔振器的內部。

圖1 磁斥力負剛度裝置與氣浮隔振器并聯構成的氣磁隔振器Fig.1 Air magnetic vibration isolator composed of negative stiffness device with magnetic repulsion and air floating vibration isolator

由于結構的對稱性，在圖2所示的靜平衡點處(z=0)，左、右側永磁體施加在中間永磁體上的磁斥力相互抵消。微小擾動作用下，中間永磁體偏離靜平衡點運動(z≠0)，左、右側永磁體產生與運動方向相同的磁斥力使中間永磁體繼續偏離靜平衡點運動；無外力作用下，中間永磁體將不會回到靜平衡點。因此，中間永磁體在Z向呈現負剛度特性，可抵消彈簧的正剛度，實現高靜低動剛度特性，提升氣浮隔振器的低頻隔振性能。

圖2 磁斥力負剛度裝置的原理圖Fig.2 Schematic diagram of the negative stiffness device with magnetic repulsion

本文重點研究磁斥力負剛度裝置的設計及優化問題，將氣浮隔微振器等效為線性彈簧，且精密儀器設備所處環境中的低頻微幅振動干擾通常在±1 mm范圍內，在此微振動干擾下，通常不考慮氣浮隔微振器的非線性特性。

1.2 磁力理論建模

根據等效磁荷法原理，左側永磁體施加在中間永磁體上的磁力等于表面3、表面4上的磁荷與表面1、表面2上的磁荷間相互作用力的疊加。由于結構對稱，中間永磁體所受Z向磁力等于左側永磁體與中間永磁體間Z向磁力的2倍。設同極性磁荷間作用力為正，異極性磁荷間作用力為負，中間永磁體所受Z向磁力F為

F=2(F13+F24-F14-F23)

(1)

Fmn(m=1,2；n=3,4)為表面m施加在表面n上的Z向磁力。以F13為例推導中間永磁體所受Z向磁力。中間永磁體的長、寬、高分別為2a1，2b1，2c1，左、右側永磁體的長、寬、高分別為2a，2b，2c。中間永磁體的中心O與左側永磁體的中心O1的相對位移為h，0，z。以中間永磁體的中心O建立坐標系，左側永磁體的中心O1的坐標為(-h,0,0)。在表面1坐標(-h+α,β,c)處取微元Q，微元Q的磁荷為Brdαdβ，Br為表面1的剩余磁感應強度；在表面3坐標(α1,β1,z+c1)處取微元P，微元P的磁荷為Br1dα1dβ1，Br1為表面3的剩余磁感應強度。微元Q施加在微元P上的Z向磁力為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

聯立式(1)與式(3)～式(6)可得Z向磁力F

(7)

其中：

u=z+(-1)qc1-(-1)pc,v=(h+α1-α)2+(β1-β)2+u2。

四重積分后得

(8)

其中：

1.3 有限元仿真驗證

采用maxwell電磁軟件的3維建模仿真驗證所建理論模型的正確性，磁斥力負剛度裝置的幾何參數如表1所示，Br=Br1=1.34 T為永磁體的剩余磁感應強度，μr=1.023為相對磁導率。磁鐵間距h=20 mm時，磁斥力負剛度裝置靜平衡點的磁感應強度云圖如圖3所示。不同磁鐵間距下，有限元仿真與理論計算得到的磁力-位移曲線如圖4所示。中間永磁體偏離平衡位置±10 mm，理論計算與有限元仿真的偏差小于10%，驗證了所建理論模型的正確性。

表1 磁斥力負剛度裝置的幾何參數Tab.1 Geometric parameters of negative stiffness device with magnetic repulsion mm

圖3 磁斥力負剛度裝置靜平衡點的磁感應強度云圖Fig.3 Magnetic induction intensity cloud diagram at static equilibrium point of negative stiffness device with magnetic repulsion

圖4 磁斥力負剛度裝置的磁力-位移曲線Fig.4 Magnetic force-displacement curve of negative stiffness device with magnetic repulsion

由式(8)計算得到磁斥力負剛度裝置的Z向磁力隨振動位移z與磁鐵間距h變化的三維曲線如圖5所示。中間永磁體所受的Z向磁力隨磁鐵間距h的變化呈現較強的非線性特性，而在沿Z向的小區間振動范圍內，則具有近似線性的Z向磁力-振動位移關系。

圖5 Z向磁力Fig.5 Magnetic force along Z axis of negative stiffness device with magnetic repulsion

1.4 剛度與剛度非線性度

根據剛度的定義，將磁力F對位移z取負導數得

(9)

負號說明回復力的方向與磁力方向相反，其中，φ(U,V,W,r)=2r+Vln(r-V)+Uln(r-U)，U，V，W，r的取值與式(8)相同。

由式(9)可知，磁斥力負剛度裝置的剛度表示為中間永磁體振動位移z的非線性函數，隨振動位移而變化。剛度非線性度定義為偏離靜平衡點負剛度值的程度，即

η=|(K-Kq)/Kq|×100%

(10)

式中：K=K(z)|z≠0為z處的剛度；Kq=K(z)|z=0為靜平衡點剛度。

超精密儀器設備的低頻/超低頻隔振系統要求負剛度裝置不僅具有高幅值負剛度，并且具有高剛度線性度，以保證隔振系統的穩定性。選定中間永磁體的長×寬×高(2a1×2b1×2c1)為15 mm×20 mm×30 mm，左、右側永磁體的長×寬×高(2a×2b×2c)為10 mm×25 mm×40 mm，磁鐵間距h在20～30 mm，Br=Br1=1.34 T，由式(9)和式(10)計算剛度與剛度非線性度。由圖6所示的特性曲線可知，磁斥力負剛度裝置呈現較強的非線性。磁鐵間距越小、振動幅值越大，非線性越明顯。增大磁鐵間距可降低剛度非線性，但會導致負剛度幅值降低。因此，調整磁鐵間距無法兼顧磁斥力負剛度裝置的負剛度幅值與剛度線性度，實際使用過程中需根據特定需求對兩個指標進行取舍。

圖6 磁斥力負剛度裝置的特性曲線Fig.6 Characteristic curve of negative stiffness device with magnetic repulsion

2 磁斥力負剛度裝置的優化設計

由式(9)與式(10)可知，磁斥力負剛度裝置的剛度及剛度非線性度均與永磁體的幾何尺寸有關。合適的幾何參數可實現高幅值、高線性負剛度特性。由圖6可知，較小的磁鐵間距及永磁體X向尺寸可保證負剛度幅值；此外，沿Y軸陣列布置多個磁斥力負剛度裝置、采用并聯的方式增大負剛度幅值，要求永磁體具有較小的Y向尺寸；因此，給定中間永磁體的長×寬×高(2a1×2b1×2c1)為15 mm×20 mm×30 mm?？紤]結構的緊湊性及裝調空間，左、右側永磁體的尺寸滿足6≤2a≤15 mm，2b≥21 mm，2c≥31 mm，磁鐵間距h≥20 mm，磁斥力負剛度裝置的整體尺寸小于70 mm×40 mm×50 mm，即

(11)

根據上述約束條件得到自變量的取值范圍如表2所示。環境微振動引起精密儀器設備中隔振負載的垂向振動位移通常在±1 mm；磁斥力負剛度裝置的負剛度幅值隨振動位移的增大而減小，剛度非線性度隨振動位移的增大而增大。因此，將靜平衡點剛度與±1 mm處的剛度非線性度作為目標函數，采用遺傳算法優化左、右側永磁體的幾何參數與磁鐵間距。

表2 自變量的取值范圍Tab.2 The range of independent variables

2.1 以靜平衡點剛度為目標函數的優化

將靜平衡點剛度作為目標函數對磁斥力負剛度裝置的幾何參數進行優化，優化負剛度及其幾何參數如表3所示。優化后，磁斥力負剛度裝置的負剛度幅值增大251.33%，剛度非線性度提高兩個數量級。因此，將靜平衡點剛度作為目標函數的優化可在犧牲剛度線性度的條件下提高負剛度幅值。

表3 靜平衡點剛度作為目標函數的優化結果Tab.3 Optimization result with the objective function of stiffness at static equilibrium

2.2 以±1 mm處的剛度非線性度為目標函數的優化

將±1 mm處的剛度非線性度作為目標函數對磁斥力負剛度裝置的幾何參數進行優化，優化剛度非線性度及其幾何參數如表4所示。優化后，±1 mm處的剛度非線性度降低八個數量級，負剛度幅值降低33.99%。因此，以±1 mm處的剛度非線性度為目標函數的優化同樣無法兼顧磁斥力負剛度裝置的高幅值與高線性特性。

對比表3與表4可知，采用單目標函數優化磁斥力負剛度裝置的幾何參數時，優化目標的改變對幾何參數的影響較大，靜平衡點剛度與±1 mm處的剛度非線性度此消彼長。

表4 ±1 mm處的剛度非線性度作為目標函數的優化結果Tab.4 Optimization result with the objective function of stiffness nonlinearity at ±1 mm

如圖7所示，c=20 mm，h=20 mm時，靜平衡點剛度與±1 mm處的剛度非線性度兩個目標函數的極值點對應的幾何參數不同；靜平衡點剛度隨左、右側永磁體長度與寬度的增大而增大，而±1 mm處的剛度非線性度隨左、右側永磁體長度的增大先減小后增大；左、右側永磁體長度較小時，±1 mm處的剛度非線性度隨永磁體寬度的增大而增大；永磁體長度超過一定值后，變化規律相反。因此，單目標函數優化無法兼顧高幅值、高線性負剛度特性，需要對兩個目標函數進行協調。

圖7 左、右側永磁體的長度和寬度對磁斥力負剛度裝置的影響Fig.7 Influences of the length and width of the left or right permanent magnet on the negative stiffness device with magnetic repulsion

2.3 多目標優化

靜平衡點剛度和±1 mm處的剛度非線性度具有不同的單位和數量級，采用式(12)與式(13)所示的利差方法分別對其進行歸一化處理，以實現多目標函數的協調。

(12)

(13)

將靜平衡點剛度作為目標函數優化得到Kqmin=-13.046 6 N/mm，Kqmax=-0.567 985 N/mm；將±1 mm處的剛度非線性度作為目標函數優化得到η±1min=9.841×10-10%，η±1max=3.941 35%。無量綱處理后，根據兩個優化目標對最終目標函數的影響程度為其分配權重系數w1，w2，w1，w2>0，且w1+w2=1，采用線性加權的方式將兩個優化目標組合成單目標函數g

g=w1K′+w2η′±1

(14)

按照表5中的權重系數分配方式優化磁斥力負剛度裝置，由表6所示的優化結果可知，權重系數的改變對左、右側永磁體長度和寬度的影響較小，而對永磁體高度的影響較大。靜平衡點剛度權重系數較小時，左、右側永磁體的高度2c取38.266 mm，可在保證負剛度線性度的基礎上提高負剛度幅值；靜平衡點剛度權重系數較大時，永磁體高度取15.5 mm，有利于提高負剛度幅值，但會導致磁斥力負剛度裝置呈現強非線性特性。第2組與第3組、第4組與第5組的優化結果相同，說明對應幾何參數下的歸一化剛度非線性度遠大于歸一化負剛度。對比各組優化結果可知，第3組權重系數為最佳分配方式，靜平衡點剛度大于9 N/mm，±1 mm處的剛度非線性度優于0.000 15%，負剛度幅值與剛度線性度較優化前均有顯著提升。考慮實際加工與裝配精度，將磁斥力負剛度裝置的幾何尺寸保留一位小數，即2a=15.0 mm，2b=4.0 mm，2c=38.3 mm，h=20.0 mm，計算得到靜平衡點剛度為-9.138 5 N/mm，±1 mm處的剛度非線性度為0.020 2%。優化前后磁斥力負剛度結構的性能對比如圖8所示，優化后，靜平衡點剛度提升146.09%，±1 mm處的剛度非線性度降低64.73%。

表5 權重系數分配方式Tab.5 Weight coefficient allocation method

表6 不同權重下的多目標優化結果Tab.6 Multi-objective optimization results at different weight coefficients

圖8 優化前后磁斥力負剛度裝置的剛度與剛度非線性度Fig.8 Negative stiffness and stiffness nonlinearity of negative stiffness device with magnetic repulsion before and after optimization

實際工程應用中，需要根據氣浮隔微振器的正剛度值對磁斥力負剛度裝置的負剛度值的范圍進行約束，以保證并聯構成的氣磁隔振器的剛度值接近于零、但大于零，處于穩定狀態。

3 結 論

本文提出了一種面向精密氣磁隔振的磁斥力負剛度裝置，以進一步提升氣浮隔振器的低頻性能、降低環境中的低頻微幅振動干擾對高端精密加工、測量設備的影響。磁斥力負剛度裝置由三塊沿垂向同向磁化的立方永磁體水平布置構成，剛度值可通過磁鐵間距調整。基于等效磁荷模型建立磁斥力負剛度裝置的磁力、剛度及剛度非線性解析模型，并采用遺傳算法對永磁體的幾何參數進行優化設計。通過研究得出以下結論：

(1)采用單目標函數優化磁斥力負剛度裝置的幾何參數無法兼顧高幅值、高線性負剛度特性，且優化目標的改變對幾何參數的影響較大。以靜平衡點剛度為目標函數的優化，將靜平衡點剛度Kq增大251.33%，η±1提高兩個數量級；以±1 mm處的剛度非線性度為目標函數的優化，將±1 mm處的剛度非線性度η±1降低八個數量級，靜平衡點剛度Kq降低33.99%。

(2)以靜平衡點剛度與±1 mm處的剛度非線性度為目標函數的多目標優化將靜平衡點剛度Kq提升146.09%，±1 mm處的剛度非線性度η±1降低64.73%。

本文的研究實現了面向精密氣磁隔振的磁斥力負剛度裝置的高幅值、高線性度的優化設計，不僅可應用于精密儀器及系統的氣浮隔振系統中，在超精密制造、尖端科學實驗系統等領域也均具有重要的應用價值。