一般約束邊界下多孔FGM梁的非線性氣動熱彈性動力學特性研究

周 凱，倪 臻，華宏星

(1.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240；2.高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

超聲速飛行器在巡航和再入過程中面臨著嚴酷的氣動力和熱載荷復合環境，對飛行器結構的完整性和可靠性提出了挑戰[1]。功能梯度材料(functionally graded material，FGM)因其良好的熱力性能，在飛行器結構中得到了廣泛的應用[2]。超聲速飛行器中存在諸多細長的結構，該類結構具有梁的彈性力學特征，因此可以簡化為梁結構[3]。掌握FGM梁結構在氣動力和熱載荷作用下的動力學特性，是開展結構動態化設計及優化研究的基礎。因此，開展FGM梁的非線性氣動熱彈性動力學研究具有重要的科學價值和工程意義。

現階段，有較多學者開展了梁的非線性振動問題研究。解析法、有限元法、里茨法和伽遼金等方法廣泛地應用于各向同性梁、正交各向異性梁、三明治梁和FGM梁等的非線性振動研究，并取得了一系列的成果[4-6]。近年來，梁結構的氣彈動力學問題亦得到了學者們廣泛地關注，層合梁、三明治梁和FGM梁的氣彈動力學問題得到了充分地研究[7-9]。但值得一提的是，上述梁的氣彈動力學研究大多是基于經典約束邊界條件下開展的。

近期的研究發現，FGM材料在加工制作過程中，由于材料各組分的凝固溫度不同，致使結構中極易產生孔隙[10]。為探究孔隙對梁結構動力學特性的影響，有學者研究了多孔FGM梁的振動問題[11]，結果表明孔隙對于FGM梁的動力學特性具有顯著的影響。

由上述文獻可知，盡管現階段有較多關于梁的氣動熱彈性動力學問題的文獻，但目前該方面的研究仍存在以下不足：一方面，現有梁的氣動熱彈性動力學問題大多是基于經典邊界展開的，但由于結構約束在振動環境中存在彈性變形，將邊界視為彈性更為合理[12]；另一方面，現階段關于多孔FGM梁的非線性氣動熱彈性動力學問題的研究不足，孔隙對于氣動力和熱載荷作用下FGM梁結構的動力學特性的影響規律不清。因此，亟需開展一般約束邊界下多孔FGM梁的非線性氣動熱彈性動力學研究。

本文將開展一般約束邊界下多孔FGM梁的非線性氣動熱彈性動力學建模與影響機制研究。首先應用一階剪切變形理論和von-Karman大變形理論，推導梁結構的動能和勢能表達式；基于活塞理論和熱彈性理論，推導氣動力和熱載荷的做功表達式；在此基礎上應用罰函數法，將邊界約束的能量引入系統整體的能量泛函。基于Hamilton原理，推導系統的控制方程并求解，通過數值算例驗證理論模型的正確性。最后，通過變參數計算，探討約束邊界、FG材料指數、溫度和孔隙率等參數對于FGM梁非線性動力學特性的影響規律。

1 模型描述及公式推導

1.1 模型描述

研究飛行器壁板的氣彈動力學問題，一般采用板殼模型或梁模型。對比長寬比接近的壁板結構，其長度和寬度方向變形對系統的氣彈特性影響較大，因此多采用板殼模型；對于細長的結構，可以按照梁模型進行分析，同時梁模型為一維結構，其動力學特性分析的計算量將小于板殼模型的計算量[13-16]。因此，細長的結構可以簡化為梁模型。本文將研究細長FGM結構的氣彈動力學特性，將其簡化為梁結構，如圖1所示，其長寬高分別為L，b和h，笛卡爾坐標系建立于結構左端幾何中面上。

圖1 FGM梁示意圖Fig.1 The schematic diagram of the heated FGM beam

為了簡化建模過程，本文主要假設如下：①超聲速氣流沿著梁的x軸方向；②溫差存在于梁的厚度方向，同一高度截面上梁的溫度相同；③基于Timoshenko梁理論考慮梁的變形，梁的兩端受支撐約束。為模擬梁的各種邊界條件，三組虛擬彈簧ku，kw和kx布置于梁的兩端，分別模擬兩端支撐的縱向、橫向和轉動約束。通過修改虛擬彈簧的剛度值，即可等效模擬各種經典邊界和彈性邊界條件[17]。舉例來說，固支梁可將虛擬彈簧的剛度值設為無窮大，而自由梁可將虛擬彈簧的剛度值設為零，彈性約束邊界按照實際的約束剛度值給定即可。

考慮到FGM梁在加工過程中極易產生孔隙，而這些孔隙對梁的力學性能具有顯著的影響。因此，本文將考慮孔隙的影響。根據文獻[10]，FGM材料的孔隙可大致分為兩類：當孔隙均勻分布于梁的厚度方向時，此處定義為Ⅰ型均勻多孔梁；當孔隙集中分布于梁的中面時，定義為Ⅱ型非均勻多孔梁。兩者示意圖如圖2所示。

圖2 多孔FGM梁示意圖Fig.2 The schematic diagram of the porousFGMbeam

1.2 材料特性

假設FGM梁由陶瓷和金屬兩種材料構成，假定材料的屬性沿著梁的厚度方向以指數形式變化，梁的上下表面分別為純陶瓷和純金屬材料。由FGM材料參數與溫度之間關系可得

P=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3)

(1)

式中，P0，P-1，P1，P2和P3分別為相應的系數。

Ⅰ型多孔FGM梁和Ⅱ多孔FGM梁的彈性模量E、熱膨脹系數α、密度ρ、熱傳導率κ及泊松比ν可分別表示為

(2)

(3)

式中：下標m和c分別代表金屬成分和陶瓷成分；ζ為孔隙率；p為FG材料指數。

假設溫差只存在于梁的厚度方向，根據一維傅里葉熱傳導，可得

(4)

求解式(4)，即可得溫度在FGM梁厚度方向的分布。

1.3 控制方程

基于一階剪切變形理論，多孔FGM梁的位移分量可表示為

(5)

式中：u和w分別為FGM梁中面在x和z方向的位移；φx為轉角；t為時間變量。

基于von-Karman大變形理論，多孔FGM梁的應變為

(6)

進一步可得FGM梁的正應力和剪應力

(7)

式中：Ks為剪切修正因子。定義溫差ΔT=T-T0，其中T和T0分別為當前溫度和參考溫度。Q11和Q66分別為FGM梁的彈性系數

(8)

多孔FGM梁的熱應力可表示為

(9)

由溫度變化引起的熱應變為

(10)

基于超聲速活塞理論，作用于FGM梁上的氣動壓力為

(11)

式中，ρ∞，U∞和M∞分別為來流密度、速度及馬赫數。

多孔FGM梁的應變能為

(12)

多孔FGM梁的動能為

(13)

儲存于FGM梁兩端虛擬彈簧中的彈性勢能為

(14)

氣動力做功為

(15)

因此，系統的整體能量泛函為

Π=Tk-U-UBC+W

(16)

將式(12)～式(15)代入式(16)中，可得由u，w和φx所表示的系統能量泛函的詳細表達式。

若直接對式(16)變分，可得系統的偏微分方程組。為離散系統的控制方程，將偏微分方程組轉為常微分方程組，本文將利用里茨法求解FGM多孔梁的振動特性[18]。為滿足一般約束邊界條件，將FGM梁的位移展開為如下的試函數形式[19]

(17)

式中：Am,Bm和Cm為展開系數；試函數具體形式為

(18)

實際數值計算中，式(18)中的無限項試函數應得到截斷。假設試函數取至M階，并將式(12)～式(18)代入Hamilton原理中，令離散后的系統能量泛函對所有展開系數的變分為零，即

(19)

可得離散后的多孔FGM梁的非線性氣動熱彈性控制方程

(20)

其中，

式中，一般情況下γ=0.5,β=0.25。詳細的非線性動力學響應的計算流程如圖3所示。

圖3 非線性動力學響應的計算流程圖Fig.3 The calculation flow chart of the nonlinear dynamic response

2 數值算例

2.1 理論模型驗證

表1 Si3N4/SUS304的材料性能參數Tab.1 The temperature dependent material parameters of Si3N4/SUS304

表2所示為本文模型計算所得的熱環境下多孔FGM梁的固有頻率與文獻[11]中的結果對比。由表2內容的結果可知，本模型計算所得結果與文獻結果吻合良好，驗證了本方法預測熱環境下多孔FGM梁動力學特性的準確性。

表2 熱環境下多孔FGM梁的無量綱固有頻率對比Tab.2 The comparisons of non-dimensional natural frequencies of porous FGM beam in the thermal environment

為驗證本文模型計算梁結構氣彈特性的準確性，進一步將本模型的計算結果與文獻[3]中的結果進行對比。此處選取的計算模型參數如表3所示。分別計算S-S和C-F邊界下(S：簡支；C：固支；F：自由)，梁的固有頻率隨氣動力的變化，并將本文結果與文獻[3]中的結果進行對比，如圖4所示。由曲線對比可知，本文方法與文獻結果吻合良好，驗證了本方法的準確性。

表3 梁的尺寸和材料參數Tab.3 The dimensional and material parameters of the beam

圖4 本方法計算所得梁的氣彈結果與文獻對比Fig.4 The comparisons of the obtained aero-elastic results of beam structures with those from literature

2.2 參數分析

本節開展FGM梁的氣彈動力學特性分析，以探討各參數的影響規律。這里繼續選用Si3N4/SUS304梁作為計算模型，梁的尺寸為1.0 m×0.05 m×0.05 m，參考溫度T0=300 K。

首先研究氣動力對FGM梁動力學特性的影響規律。圖5所示為無缺陷簡支FGM梁(p=1)在無氣動力和臨界顫振動壓下的前四階振型對比。經計算，本例FGM梁的臨界顫振動壓為。顯而易見，當無氣動力時，FGM梁的一階振型最大位移點位于0.5L點處；當氣動力等于臨界顫振動壓時，FGM梁的一階振型最大位移點位于0.75L點處。同時，一旦發生顫振，梁的前兩階模態將發生耦合。

圖5 無氣動力和臨界顫振動壓下梁的前四階振型Fig.5 The first four mode shapes of the FGM beam without aerodynamic pressure and at flutter boundary

同時，計算不同氣動力作用下FGM梁在脈沖激勵下0.75L點處的動力學響應，分別如圖6～圖8所示。如圖6所示，當λ=0時，由于未考慮梁的結構阻尼，當氣動力為零時，FGM梁在受到脈沖激勵后作不衰減的周期運動；如圖7所示，當氣動力不為零且小于臨界顫振動壓時，由于氣動阻尼存在，FGM梁在受到脈沖激勵后作衰減運動；如圖8所示，當氣動力大于等于臨界顫振動壓時，FGM梁在受到脈沖激勵后將作等幅極限環運動。

圖6 脈沖激勵下梁的動力學響應(λ=1,p=1)Fig.6 The dynamic response of the FGM beam with pulse excitation (λ=1,p=1)

圖7 脈沖激勵下梁的動力學響應(λ=20,p=1)Fig.7 The dynamic response of the FGM beam with pulse excitation (λ=20,p=1)

圖8 脈沖激勵下梁的動力學響應(λ=36,p=1)Fig.8 The dynamic response of the FGM beam with pulse excitation (λ=36,p=1)

圖9所示為不同約束邊界下，無缺陷FGM梁(p=1)的固有頻率和0.75L點處的極限環振幅隨氣動力的變化曲線。這里選取了S-S、S-C和C-C三種邊界約束條件。顯而易見，由于C-C梁的邊界剛度最大，所以它在三者中的臨界顫振動壓最大，且極限環振幅最小。相反，S-S梁的邊界剛度最小，故其臨界顫振動壓最小，且極限環振幅最大。

圖9 邊界對無缺陷FGM梁的固有頻率和極限環振幅的影響(p=1)Fig.9 The effect of boundary conditions on the natural frequencies and LCO amplitude of the perfect FGM beam (p=1)

圖10所示為不同FG材料指數下，無缺陷簡支FGM梁的固有頻率和0.75L點處的極限環振幅隨氣動力的變化曲線。由圖中結果可知，隨著FG材料指數的增加，梁的臨界顫振動壓減小，極限環振幅增大。這是由于隨著FG材料指數的增加，結構的整體剛度下降所導致的。

圖10 FG材料指數對無缺陷FGM梁的固有頻率和極限環振幅的影響Fig.10 The effect of the volume fraction index on the natural frequencies and LCO amplitude of simply supported perfect FGM beam

圖11所示為不同熱環境下，無缺陷簡支FGM梁(p=1)的固有頻率和0.75L點處的極限環振幅隨氣動力的變化曲線。假設FGM梁的內層為參考溫度T0，而外層溫度分別為300 K、450 K和600 K三種不同的工況。可以看出，隨著外層溫度的增加，FGM梁的臨界顫振動壓隨之下降，極限環振幅增大。這是由于梁內熱應力隨溫度的升高而增大，從而導致結構的整體剛度下降造成的。

圖11 溫度對無缺陷簡支FGM梁的固有頻率和極限環振幅的影響(p=1)Fig.11 The effect of the thermal gradient on the natural frequencies and LCO amplitude of the simply supported perfect FGM beam (p=1)

圖12和圖13所示為不同孔隙率下，簡支FGM梁(p=1)的固有頻率和0.75L點處的極限環振幅隨氣動力的變化曲線。總體而言，隨著孔隙率的增加，梁的臨界顫振動壓減小，極限環振幅增大。但是Ⅰ型孔隙對FGM梁氣彈特性的影響大于Ⅱ型，主要由于Ⅰ型孔隙均勻分布在厚度方向上，而Ⅱ型主要集中于中面附近，使得I型孔隙對于結構的整體剛度影響更大。

圖12 孔隙率對簡支FGM梁的固有頻率和極限環振幅的影響(Ⅰ型，p=1)Fig.12 The effect of the porosity volume fraction on the natural frequencies and LCO amplitude of the simply supported FGM beam (Type Ⅰ,p=1)

圖13 孔隙率對簡支FGM梁的固有頻率和極限環振幅的影響(Ⅱ型，p=1)Fig.13 The effect of the porosity volume fraction on the natural frequencies and LCO amplitude of the simply supported FGM beam (Type Ⅱ,p=1)

3 結 論

本文基于能量法，建立了適用于一般約束邊界下多孔FGM梁的非線性氣動熱彈性動力學模型，通過數值算例驗證了理論模型的正確性并開展了其動力學特性分析，主要研究結論如下：

(1)本文模型求解的梁的固有頻率和臨界顫振動壓與文獻結果基本吻合，驗證了本文方法的有效性。

(2)隨著邊界約束剛度的下降、FG材料指數的增加或熱載荷的增大，FGM梁的整體剛度下降，致使結構的臨界顫振動壓降低、顫振極限環振幅增大。

(3)隨著孔隙率的增大，FGM梁的臨界顫振動壓降低、顫振極限環振幅增大。由于I型孔隙對結構剛度的影響更為顯著，致使I型孔隙對FGM梁的氣彈特性的影響大于II型孔隙。

附錄A

梁的位移可展開為離散形式

u(x,t)=Hqu,w(x,t)=Hqw,φx(x,t)=Hqx

其中，

H=[ψ1(x),ψ2(x),…,ψM(x)]

qu=[A1,A2,…,AM]T，qw=[B1,B2,…,BM]T,

qx=[C1,C2,…,CM]T，Q=[qu;qw;qx]

因此，經離散后梁的結構線性剛度矩陣、結構非線性剛度矩陣、熱應力矩陣和氣動力矩陣分別為

kux0(H)T(H)|x=0+kuxL(H)T(H)|x=L,

kwx0(H)T(H)|x=0+kwxL(H)T(H)|x=L,

kxx0(H)T(H)|x=0+kxxL(H)T(H)|x=L,

梁的氣動阻尼矩陣和質量矩陣分別為