剪切來流下串列三圓柱橫向振動響應機理研究

譚瀟玲，涂佳黃，雷 平，梁經群，鄧旭輝

(1.湘潭大學 土木工程與力學學院，湖南 湘潭 411105；2.中冶長天國際工程有限責任公司，長沙 410205)

實際工程中，當海洋平臺、海底管道、橋梁的斜拉索和橋塔等結構物置于流場中時，周圍來流的速度往往會隨著時間和空間而發生改變，因此，僅限于對均勻來流作用下的流致振動問題進行研究并不足以反映工程當中的實際情況，越來越多的學者將研究的重點放在了非均勻來流作用系統。按照來流性質的不同，非均勻來流可分為周期性來流、Poiseuille管道流以及剪切來流。其中，對于平面剪切來流作用下的結構系統，在任一高度截面圓柱體結構兩側的來流速度由上至下呈現出遞減的趨勢，從而使得圓柱體結構周圍渦量和流體速度分布呈現出較大的差異，速度差的存在引起的壓力差會影響結構的表面受力以及運動形式。

通過對平面剪切來流作用下鈍體繞流問題進行研究，發現來流剪切率的變化對結構表面的壓力系數、升阻力系數、渦脫落頻率、邊界層分離點的位置以及尾流渦結構等均有較大影響。Kang[1]采用浸泡邊界元法對低雷諾數工況下(50≤Re≤160)，單圓柱體結構繞流特性進行了數值模擬。研究發現隨著剪切率的增加(0≤K≤0.2)，結構的渦脫落頻率和平均升力系數保持不變或者小幅下降，而平均阻力系數則明顯增大。但是，Sumner等[2]通過實驗研究發現：亞臨界雷諾數(4×104≤Re≤9×104)與中低剪切率工況下(0.02≤K≤0.07)，單圓柱體結構的渦脫落頻率和平均壓力系數隨剪切率的增加而增大，但平均阻力系數則減小。另外，結構表面壓力的不對稱分布使得尾流渦結構的寬度變窄。王偉等[3]對Re=100工況下，剪切率的變化(k≤0.5)對單方柱系統繞流特性的影響進行了分析。研究結果表明，隨著剪切率的增加，尾流區域出現的卡門渦街逐漸消失，駐點位置會由最初向高速側分離點移動后逐漸轉變為不再發生變化，而升阻力系數和斯特勞哈爾數的變化趨勢在不同的剪切率范圍內會呈現出較大的差異。水慶象等[4]對不同剪切率工況下(k=0～0.4)的串列雙方柱系統繞流問題進行了數值模擬，研究發現：剪切來流的作用會抑制結構的渦脫落，駐點的位置隨剪切率的變化趨勢類似于單方柱工況。同時，剪切率的變化會改變串列雙方柱間隙流區域水平流速對結構渦脫落的影響。

對于平面剪切來流作用下的渦激振動問題，通過對以往的研究成果進行總結，發現隨著剪切率的增大，單圓柱體結構的渦激振動響應主要有以下三個方面的特征：①隨著剪切率的持續增大，結構的順流向最大振幅值最終會遠遠大于橫流向最大振幅值[5]；②結構鎖定區間的范圍會隨著剪切率的增加而擴大[6]；③在流體從均勻來流向平面剪切來流轉變的過程中，隨結構振動響應的變化，“8”字形運動軌跡的上半部分會逐漸消失，最終呈現為“雨滴”形運動軌跡[6-8]。而對于串列布置多柱體結構系統，隨著流場中結構數量的增加，振動響應會更加復雜，這主要是因為除了渦激振動之外，系統的振動機制還有可能出現尾激振動。在尾激振動系統當中，結構的振動響應主要受到上游結構尾流的影響，兩種振動機理的共同作用會引起結構更為劇烈的振動響應。目前，對于串列布置多柱體結構群流致振動響應的研究多集中于均勻來流工況。陳威霖等[9-10]對小間距比工況下串列雙柱系統的渦激振動問題進行了數值模擬，發現不同于單柱系統，上游圓柱體的振動響應僅存在上端分支。另外，捕捉到T+S和P+S兩種尾流模態。基于格子玻爾茲曼方法，Haider等[11]對Re=100時，不同間距比工況下串列雙圓柱系統的流致振動響應進行了數值模擬，研究表明：隨著間距比的增加，上游圓柱體受到下游結構臨近效應的影響，振幅會呈現出“先大于、后小于、再接近于單柱體工況”的變化趨勢。而下游圓柱在上游結構尾流渦干擾的影響下，振幅值在大多數間距比工況下均大于單柱體結構。Gao等[12]也考慮了間距比變化對串列三圓柱系統的影響，發現當L/D=2時，上游圓柱的振幅值為單柱體工況的兩倍。

本文基于四步半隱式特征線分裂算子有限元方法，對平面剪切來流作用下串列布置三圓柱體結構單自由度流致振動問題進行了數值模擬，重點分析剪切率、雷諾數與折減速度的變化對結構橫流向動力響應、流體力系數、相位階段變化、頻率特性與尾流模態等特性的影響，在實際工程中具有一定的參考價值。

1 數值方法及驗證

1.1 控制方程

基于任意-拉格朗日歐拉(ALE)描述下的不可壓縮黏性流體的N-S方程，其無量綱形表達式為

(1)

(2)

式中：t為時間；ui和p分別為流體速度和壓力；xi和xj分別為i,j方向的空間坐標；cj=uj-wj，其中cj為流體相對于網格移動速度的對流速度，wj為網格移動速度；雷諾數Re=ρU0D/v，其中U0和D分別為流場特征速度和特征尺寸，v為流體動力黏性系數，ρ為流體密度。

彈性支撐圓柱結構運動體系可假設為質量-阻尼-彈簧系統，考慮雙自由度運動的結構控制方程量綱歸一化形式為

(3)

(4)

1.2 網格更新

為了防止網格失效，求解Laplace方程得到每個動網格節點位移，其邊值問題表達式如下

(5)

式中：τ是網格形變控制參數；Si是網格節點i方向位移；gi為運動邊界節點位移；Гm是網格動邊界；Гf為網格固定邊界。

1.3 弱耦合分區算法

采用基于四步半隱式特征線分裂算子的弱耦合分區算法，運用Fortran語言編制相應的數值計算程序求解流固耦合問題，詳細的計算框架可參考文獻[13]，在此不再贅述。該算法在本課題組以前的工作中已多次驗證其能準確地求解鈍體結構群渦激振動問題[14]。

1.4 算例驗證

將本文計算結果與文獻[15]中均勻來流作用下串列布置三圓柱體結構的流致振動響應進行對比來驗證本文數值方法的可靠性和適用性。計算模型如圖1所示。三圓柱體均僅有橫向自由度，圓柱表面速度為u=?X/?t,v=?Y/?t。無量綱參數設置如下：Re=100，L/D=5，mr=2.0，ξ=0.0。計算域尺寸為[-30D，60D]×[-10D，10D]，上游圓柱(upstream cylinder,UC)、中游圓柱(midstream cylinder,MC)和下游圓柱(downstream cylinder,DC)的圓心位置分別為(-5D，0)，(0，0)與(5D，0)，邊界條件設置如下：入口為速度入口：ux=1，uy=0；出口為壓力出口：p=0；上下邊界為自由滑移邊界：?ux/?y=0,uy=0；結構表面為無滑移邊界：ux=uy=0。將本文計算得出的串列三圓柱體結構的橫流向最大振幅值與文獻結果進行對比，如圖2所示，通過對比發現，計算結果與文獻結果的高吻合度驗證了本文數值方法的可靠性和適用性。

圖1 驗證算例計算模型示意圖Fig.1 Model schematic of validation case.

圖2 串列三圓柱體橫流向最大振幅本文結果與文獻結果的對比Fig.2 Comparison of the present numerical results of the maximum value of the transverse vibration amplitude(Ymax/D)with existing results

2 問題描述

2.1 計算模型

平面剪切來流作用下串列布置三圓柱體結構流致振動響應的計算模型以及邊界條件，如圖3所示。三圓柱體僅具有橫流向自由度，無量綱參數設置如下：為了深入分析層流范圍內(Re<160～210)結構的動力響應以及流體與結構之間的互擾機理，取Re=100和Re=160，由于流體狀態較為穩定，可以采用二維模擬進行求解。入口為速度入口：ux=Uc+ky(Uc=1.0),uy=0。由于阻塞率B=0.05，為了保證入口處來流方向一致，剪切率k=0.00，k=0.05，k=0.10。間距比選取L/D=5.5，重點考慮上游結構尾流發展完全后對下游結構振動響應的影響。其他參數為：折減速度Ur=3～21，mr=2.0，忽略結構阻尼的影響，即ξ=0。UC、MC和DC三圓柱體結構的圓心位置分別為(-5.5D，0)、(0，0)和(5.5D，0)。計算域大小與其他邊界條件的設置與1.4節中完全一致。

圖3 計算模型示意圖Fig.3 The schematic diagram of the computational model

2.2 計算參數獨立性驗證

本文計算域的網格劃分采用非結構化的三角形網格，為了更準確地刻畫出圓柱周圍及尾流區域范圍內渦結構的形成和發展，對這兩個區域進行網格加密處理，如圖4所示。為了確保網格質量，對于單自由度串列布置三圓柱系統，選取Re=100，k=0.1與Ur=7工況對網格數量的變化對結構振動響應的影響進行分析，從而判斷哪種類型的網格更適用于求解該問題。由表1可知：該工況下，與粗網格GI相比，隨著網格密度的增大，GII工況下三圓柱體結構橫流向振幅(Ymax/D)的最大變化為4.40%，而在GIII工況下，最大變化則為4.89%。由于網格數量從GII增大到GIII時，振幅值變化相對較小，且若采用網格GIII進行計算，雖能獲得最高的計算精度，但是計算總耗時會大幅增大，計算效率降低。綜上所述，本文計算采用的網格密度和分布情況均與GII類似。另一方面，選取該算例，并采用GII網格，分析三種不同時間步長對計算結果的影響，從而判斷哪種類型的時間步長對求解該問題更加適用。由表2可知：與Δt=0.005工況相比，隨著時間步長的減小，Δt=0.002工況下三圓柱體結構橫流向振幅(Ymax/D)和渦脫落頻率(St)的最大變化分別為2.41%和4.65%，而在Δt=0.001工況下，最大變化則為2.61%和6.11%。因此，本文無量綱計算步長選取為Δt=0.002。

圖4 網格劃分示意圖Fig.4 Schematic of the computational mesh

表1 網格獨立性驗證：串列布置三圓柱單自由度計算結果(Re=100,k=0.10,Ur=7)Tab.1 Grid independence test:the results for the three tandem circular cylinders at Re=100,k=0.10,Ur=7

表2 時間步長獨立性驗證：串列布置三圓柱單自由度計算結果(Re=100,k=0.10,Ur=7)Tab.2 Time-step independence test:the results for the three tandem circular cylinders at Re=100,k=0.10,Ur=7

3 計算結果分析

3.1 動力響應

本節分析了Re=100和Re=160工況下，剪切率和折減速度的變化對串列布置三圓柱體結構橫流向動力響應的影響，如圖5所示。

由圖5可知，不同工況下，三圓柱體結構的振幅曲線均呈現出“先增加后減小再趨于平穩”的變化趨勢。根據不同的折減速度范圍內剪切率的變化對橫流向最大振幅值影響的差異，可將三圓柱體結構的振幅曲線劃分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ四個區域。對于UC，剪切率的變化對橫流向最大振幅的影響普遍較小，在區域Ⅰ(3≤Ur<5)范圍內，振幅值隨剪切率的增加小幅下降，相反，隨折減速度的增加線性增大。在區域Ⅱ～Ⅳ(Ur≥5)范圍內，UC橫流向最大振幅值隨剪切率的增加小幅增大。在Ur=5工況下，振幅曲線取得最大值0.59(k=0.1)，隨折減速度的進一步增大，振幅減小并逐漸趨于穩定。對于MC，區域Ⅰ的范圍擴大到3≤Ur<8。特別地，Ur=6工況下，剪切率的變化對橫流向最大振幅的影響明顯增強，k=0.0工況下的最大振幅值達到0.79，超過k=0.1工況(Ymax/D=0.32)振幅值的兩倍。與UC不同的是，在經歷了區域Ⅱ范圍內(8≤Ur<19)橫流向振幅隨剪切率的增加小幅增大后，MC振幅曲線在區域Ⅳ范圍內(Ur≥21)會再次出現隨剪切率的增加而減小的情況，且兩種變化模式中間存在一個過渡區域Ⅲ(19≤Ur<21)，即振幅不再隨著剪切率線性變化。另外，隨折減速度的增加，MC橫流向最大振幅整體變化趨勢與UC基本一致，分別在Ur=7(k=0.00)和Ur=8(k=0.05，k=0.10)工況下達到最大值，最大為1.04(k=0.10)。值得注意的是，Ur=4工況下，結構發生了“弱鎖定”現象，對應的橫流向振幅出現了極大值。對于DC，根據不同折減速度范圍內最大振幅值隨剪切率的變化差異所劃分出的四個區域的范圍進一步發生改變，分別為3≤Ur<10(區域Ⅰ)、10≤Ur<20(區域Ⅱ)、20≤Ur<24(區域Ⅲ)和Ur≥24(區域Ⅳ)。與中上游兩圓柱體不同的是，DC的振幅曲線中，在區域Ⅰ范圍內部分的折減速度工況下也發現了振幅隨剪切率的非線性變化現象。這主要是因為在中上游圓柱尾流的影響下，DC周圍旋渦分布會更加復雜，流場的復雜化使得剪切率對DC振動響應的影響發生了改變。不同剪切率工況下，DC振幅曲線的最大值為1.32(k=0.10,Ur=11)。

圖5 當Re=100時，串列布置三圓柱體結構橫流向最大振幅隨剪切率和折減速度的變化情況Fig.5 The variation of the maximum crossflow vibrating amplitudes with shear ratio and reduced velocity at Re=100

當Re=160時，隨著雷諾數的增大，三圓柱體結構周圍流場會逐漸出現三維效應，不穩定性明顯增強。流場的復雜化使得中下游兩圓柱體的橫流向最大振幅值隨剪切率的變化情況在不同的折減速度工況下具有較大的差異。與Re=100工況不同的是，三圓柱體結構的最大振幅曲線大致可以劃分為隨剪切率減小(區域Ⅰ)、增大(區域Ⅱ)以及非線性變化(區域Ⅲ)三個不同的區域，且區域Ⅰ和Ⅱ范圍內最大振幅值隨剪切率的非線性變化現象出現的頻率明顯增大，如圖6所示。另外，中上游兩圓柱體振幅曲線隨折減速度的整體變化趨勢與振幅峰值均接近于Re=100工況。不同的是，當Re=160時，UC達到峰值以及開始穩定所對應的折減速度減小，意味著流場的變化使得UC發生共振所對應的頻率值會增大。與僅受到來流影響的UC不同，中下游兩圓柱體周圍流場在旋渦脫落影響下的復雜程度遠遠大于來流，使得中下游兩圓柱體振幅難以較快地穩定下來，尤其是k=0.10工況。當中下游兩圓柱體的振幅曲線達到峰值后，k=0.10工況所對應結構的振幅值明顯大于其他兩個剪切率工況，說明雷諾數的增加會對大剪切率工況下結構的動力響應有較大的影響。當k=0.10時，DC分別達到峰值1.54(Ur=12)與1.17(Ur=18)，兩個區域中間過渡所對應的極小值點的位置為Ur=17。

圖6 當Re=160時，串列布置三圓柱體結構橫流向最大振幅隨剪切率和折減速度的變化情況Fig.6 The variation of the maximum crossflow vibrating amplitudes with shear ratio and reduced velocity at Re=160

3.2 柱體表面流體力特性

圖7～圖10分別給出了Re=100和Re=160工況下，串列布置三圓柱體結構表面阻力系數平均值和升力系數均方根值隨剪切率與折減速度的變化情況。

圖10 當Re=160時，不同剪切率工況下串列三圓柱體結構升力系數均方根值隨折減速度的變化情況Fig.10 The variation of the rms value of the lift coefficient with shear ratio and reduced velocity when Re=160

由圖7可知，不同剪切率工況下，三圓柱體結構的阻力系數平均值隨折減速度的變化趨勢與橫流向最大振幅曲線基本一致，均為先增加到最大值后逐漸減小并趨于穩定，且取得峰值所對應的折減速度工況也相當接近。值得注意的是，當結構置于流場中時，會在來流的作用下產生順流向的推力，而對于串列布置多柱體結構，受到來流影響越大的圓柱所產生的推力就會越大。從圖中可以看出，自由來流對三圓柱體結構的作用大小是依次遞減的，當Re=100時，中上游兩圓柱體的最小阻力系數平均值分別接近于1.00(UC)和0.40(MC)，會大于DC。當Ur=5～6時，部分剪切率工況下，下游圓柱體的阻力系數平均值接近于零，這主要是因為下游圓柱完全處于中上游兩圓柱體的尾流中而被屏蔽。另外，隨著剪切率的增加，下游圓柱的阻力系數平均值曲線所對應的最大值分別為1.61(k=0.00)，1.21(k=0.05)和0.91(k=0.10)，說明剪切來流作用下流體速度的不均勻分布減小了結構順流方向所受的流體力。由圖8可知，不同剪切率工況下，三圓柱體結構的升力系數均方根值隨折減速度的變化曲線呈現出“峰+平臺”的變化趨勢，且中間存在一個過渡區域Ur=5～8。剪切率的變化對中上游兩圓柱體升力系數均方根值的最大值影響較小。而對于下游圓柱，Ur=4工況下，最大值隨著剪切率的增加明顯減小。在過渡區域內，上游圓柱的升力系數均方根值接近于零，而中下游兩圓柱體正處于共振區域內，升力系數的波動性較大，結構的振動較不穩定。剪切率的變化對“平臺”范圍內上游圓柱升力系數均方根值的影響較小，而中下游兩圓柱體的升力系數均方根值則隨著剪切率的增加而減小，下游圓柱更為明顯，這與其振幅曲線的變化情況基本一致。這可能是因為折減速度較大時，結構剛度較小，流體與結構之間的耦合作用減弱，自由來流對下游圓柱體的影響增強，再加上圓柱表面渦量分布的差異，使得剪切來流作用下下游圓柱的升力系數均方根值會接近于上游圓柱穩定后的數值。

圖7 當Re=100時，不同剪切率工況下串列三圓柱體結構阻力系數平均值隨折減速度的變化情況Fig.7 The variation of the mean value of the drag coefficient with shear ratio and reducedvelocity when Re=100

圖8 當Re=100時，不同剪切率工況下串列三圓柱體結構升力系數均方根值隨折減速度的變化情況Fig.8 The variation of the rms value of the lift coefficient with shear ratio and reduced velocity when Re=100

當Re=160時，雷諾數的增大對上游圓柱體升阻力系數的影響較小，而對于中下游圓柱的影響較大，如圖9和10所示。由于來流不穩定性增強，中游圓柱最小阻力系數平均值減小50%。而對于下游圓柱，當Ur=4時，與Re=100工況不同，阻力系數平均值僅在k=0.10工況下出現極大值0.84，而在其他剪切率工況下則接近于零，這與振幅曲線的變化基本一致。另外，不同剪切率工況下，下游圓柱阻力系數平均值的最大值有所減小，特別是k=0.05工況，大約減小了20%。當k=0.10,Ur>15時，下游圓柱的阻力系數平均值略微大于其他剪切率工況，這與結構振動的第二個大振幅區域對應。另一方面，k=0.00和k=0.05工況下，下游圓柱的升力系數均方根值峰值的位置轉移到了過渡區域范圍內且數值明顯減小，而k=0.10工況下則恰好相反，與低雷諾數工況相比，最大值增加了37%。另外，不同剪切率工況下，由于下游圓柱產生劇烈振動所對應的區域范圍擴大，升力系數均方根值曲線過渡區域的范圍擴大到Ur=5～15范圍內。值得注意的是，平穩狀態的出現均會遲于Re=100工況，且剪切率的變化對升力系數均方根值的顯著影響會發生在大折減速度工況。

圖9 當Re=160時，不同剪切率工況下串列三圓柱體結構阻力系數平均值隨折減速度的變化情況Fig.9 The variation of the mean value of the drag coefficient with shear ratio and reduced velocity when Re=160

3.3 相位階段變化

圖11與圖12分別給出了Re=100和Re=160工況下，串列布置三圓柱體結構體系橫流向位移和升力系數之間的相位差隨剪切率和折減速度的變化情況。柱體結構的力和位移之間相位變化會影響柱體與流場之間能量的傳遞方式，從而影響結構的振動響應[16]。

由圖可知，不同雷諾數和剪切率工況下，三圓柱體結構橫流向位移與升力系數之間相位差的變化趨勢基本一致：當折減速度較小時，相位差接近于0°，結構會從流體當中獲得能量，且隨著系統剛度逐漸減小，結構受周圍流體的影響增強，從而引起共振現象的發生，激發出較大的振幅。隨著折減速度的增加，結構的振動模式發生轉變的過程中，相位差會逐漸轉變為180°，發生轉變所對應的工況稱為“相位開關”。當Re=100時，不同剪切率工況下，三圓柱體結構“相位開關”所對應的位置均為Ur=6工況，流場的不穩定性以及剪切率的變化會對相位的轉變過程產生較大的影響，中游圓柱體力和位移之間的相位差從0°完全轉變為180°所對應折減速度的范圍明顯擴大，如圖11所示。而對于下游圓柱，影響則更為顯著，相位差隨折減速度的變化曲線波動性較大，力和位移的相位關系在結構不規則運動的過程中會發生顯著變化，使得大折減速度工況下，難以快速轉變為完全反相的狀態，且這種現象隨著剪切率的增大愈加明顯。當Re=160時，上游圓柱以及均勻來流作用下下游圓柱的“相位開關”提前至Ur=5工況，如圖12所示。剪切率的變化對中游圓柱相位差的影響增強，Ur≥8范圍內，相位差隨折減速度的變化曲線會呈現出下凹趨勢，且下凹的幅度以及范圍會隨剪切率的增加而增大。相反，與Re=100工況相比，下游圓柱的相位關系受剪切率的影響減小。

圖11 當Re=100時，不同剪切率工況下串列三圓柱體結構橫流向位移與升力系數相位差隨折減速度的變化情況Fig.11 The variation of the phase difference between the crossflow displacement and the lift coefficient with shear ratio and reduced velocity when Re=100

圖12 當Re=160時，不同剪切率工況下串列三圓柱體結構橫流向位移與升力系數相位差隨折減速度的變化情況Fig.12 The variation of the phase difference between the crossflow displacement and the lift coefficient with shear ratio and reduced velocity when Re=160

3.4 頻譜特性

圖13與圖14選取了Re=100和Re=160時，部分工況下中下游兩圓柱體橫流向位移能量譜密度(power spectral density,PSD)曲線的變化情況。在結構橫流向位移的PSD曲線當中，振動頻率的階數越高，結構的振動響應就會越復雜，主頻所對應的能量越大，結構的振動越劇烈。

由圖13(a)可知，當Re=100時，均勻來流作用下，中下游兩圓柱體振動位移所對應的PSD曲線隨折減速度的變化趨勢和3.1小節結構的振動響應一一對應。隨折減速度的增加，中游圓柱體的PSD曲線中主頻的大小基本一致，且振動主頻所對應的能量在共振區間內明顯增大。而下游圓柱的主頻則隨Ur增加逐漸減小，且共振區間內次頻的數量明顯增大。當Ur=3時，結構的動力響應較弱，PSD曲線中僅出現一個振動頻率，且對應的能量較小。隨Ur增加，次頻數量的增多以及主頻能量的增大使得結構的振動出現“調制周期”、不規則振動等不同的模式，動力響應更加劇烈。當中下游兩圓柱體的振動響應隨折減速度的變化曲線處于下降段時，PSD曲線中次頻的數量以及主頻所對應的能量值也隨之減小。大振幅區域內，下游圓柱主頻所對應的能量值明顯大于中游圓柱，與兩圓柱體最大振幅值對應，如圖5所示。剪切來流作用時，部分折減速度工況下，兩圓柱體均會出現一個數值接近于零的振動頻率，且當Ur=20和Ur=40時，該頻率所對應的能量值相當大，但由于頻率值較小，對于結構振動響應的影響可以忽略不計，如圖13(b)所示。

圖13 當Re=100時，不同剪切率工況下中下游兩圓柱體結構橫流向位移能量譜密度隨折減速度的變化情況Fig.13 The variation of the power spectral density of the crossflow displacement with shear ratio and reduced velocity when Re=100

當Re=160時，均勻來流作用下，除了Ur=12工況外，其他折減速度工況下中游圓柱所對應的振動主頻均略微大于Re=100工況，如圖14(a)所示。而當Ur=12時，會出現兩個能量接近的頻率值。對于下游圓柱，Ur=12工況下結構振動主頻所對應的能量值由0.8(Re=100)增加到1.0(Re=160)。剪切來流作用下，中下游兩圓柱體橫流向位移PSD曲線對應的主頻均減小，如圖14(b)所示。另外，大振幅區間內下游圓柱體PSD曲線中出現復雜的“多頻”現象，會影響能量在流體與結構之間的傳遞，從而改變結構的振動特性。

圖14 當Re=160時，不同剪切率工況下中下游兩圓柱體結構橫流向位移能量譜密度隨折減速度的變化情況Fig.14 The variation of the power spectral density of the crossflow displacement with shear ratio and reduced velocity when Re=160

3.5 尾流模態

圖15和圖16分別給出了Re=100和Re=160時，部分工況下三圓柱體結構群尾流場瞬時渦量圖，所對應的時刻均為下游圓柱最大正位移處。由圖可知，剪切率的變化對三圓柱體結構上下兩側尾流的分布影響較大。當Re=100時，均勻來流作用下，周圍流場強弱分布的差異較小，尾流場的旋渦分布相對來說較為規則。而剪切來流作用下，柱體表面自由來流的速度由上至下逐漸減小，使得三圓柱體結構上表面的旋渦明顯強于下表面，下側旋渦在向尾流區域發展的過程中受到上側渦流的擠壓、結構的運動以及流體之間慣性力的影響較大，在尾流場的分布會呈現出較大的不規則性，如圖15所示。尾流模態隨折減速度的具體變化過程如下：均勻來流作用下，當Ur=3時，結構振動較為穩定，尾流模態呈現為標準的雙行2S模式(S：單渦)。當Ur=5時，上游圓柱的振幅增大，2S模態的橫流向間距也隨之增大，中上游兩圓柱體尾流對下游圓柱的“屏蔽”作用進一步增強，周圍流場速度的減小使得結構的橫向流體力減小，從而減弱振動幅度Ymax/D=0，如圖5(c)所示。隨折減速度進一步增大，脫落旋渦與結構之間的耦合作用增強，中下游兩圓柱逐漸激發出大幅振動。特別是當Ur=7時，中游圓柱的振幅達到峰值，其上下表面脫落的旋渦受到結構強烈的擺動作用而明顯加長，從而正面撞擊下游圓柱并在其上下兩側分裂成一大一小兩個子旋渦，在下游圓柱表面形成一對相反的作用力，使得結構表面升力系數接近于零，振動幅度減弱，如圖8(c)所示。當Ur≥9時，結構尾流場呈現為規則的2S模態，且隨著結構振動響應逐漸減小而趨于穩定，渦街的橫向間距以及旋渦數量明顯減小。另外，下游圓柱周圍渦街的分布均呈現為中上游圓柱下表面脫落的旋渦恰好或即將到達下游圓柱下表面，而上側旋渦即將脫落的形式，但是四種折減速度工況下下游圓柱的振動幅度卻有較大的差異，這主要是旋渦在下游圓柱表面所產生的壓力區的強弱差異造成的。剪切來流作用下，大多數折減速度工況下，由于下側旋渦強度較弱且距離較遠，下游圓柱的運動主要受到上側渦流的影響。當Ur=3和Ur=5時，三圓柱體結構尾流模態呈現為上下兩側渦量差異較大的2S模態，由于旋渦的強度以及脫渦頻率較大，上側渦流在向遠尾流區域發展的過程中隨著能量的耗散會出現渦量堆積的現象。另外，中上游兩圓柱體對下游圓柱的“屏蔽”作用會持續至Ur=6工況。結構產生大振幅響應所對應的折減速度區域內，尾流場旋渦強度較大且分布的不規則性進一步增強。值得注意的是，當Ur=11時，中下游兩圓柱體周圍渦流的數量明顯增大，在MC尾流區呈現出P+S模態(P：對渦)。同時，耦合作用的變化使得柱體上下兩側渦量差減小，引起DC發生劇烈的振動響應Ymax/D=1.32，如圖5(c)所示。隨著折減速度的進一步增大，到Ur=40時，中游圓柱與周圍旋渦的耦合作用與均勻來流工況類似，然而下游圓柱卻有很大的差異，尾流模態類似于Ur=5工況，使得下游圓柱的振幅逐漸趨近于零，遠小于k=0.00工況。

圖15 當Re=100時，不同剪切率工況下串列三圓柱體結構瞬時渦量圖隨折減速度的變化情況Fig.15 The variation of the instantaneous vorticity contourswith shear ratio and reduced velocity when Re=100

當Re=160時，流場的復雜化使得尾流分布以及向遠尾流區域發展過程當中的不規則性、渦流的數量和強度明顯增強，如圖16所示。最顯著的變化就是受到結構運動與慣性力的影響，流場當中大部分旋渦的長度增大，發生分裂之后會導致近尾流區域分布較多的強度較弱的子旋渦。均勻來流作用下，當Ur=3和Ur=5時，中下游圓柱的尾流模態均呈現出2S模式，但渦街向下游發展的過程中有發生偏斜且轉變為交替分布、間隔較遠的雙行渦街的趨勢。當Ur=6時，中游圓柱的振動幅度明顯大于Re=100工況，尾流區域渦街的橫向間距增大。隨折減速度的進一步增大，雷諾數的增大改變了三圓柱體結構運動與旋渦脫落之間的關系，從而改變結構周圍旋渦和壓力區的分布。當Ur=9和Ur=18時，中游圓柱尾流區均出現了P+S旋渦模態，但對下游圓柱的影響有所不同，其橫向振幅相差近兩倍，即Ymax/D=1.17(Ur=9)與Ymax/D=0.43(Ur=18)。剪切來流作用下，當Ur=3時，下游圓柱體尾流區域的旋渦在較大的慣性力的影響下難以維持2S模態，在近尾流區域呈現為不規則的分布。當Ur=5時，上下兩側渦流的橫向間距進一步增大，這主要是因為下側強度較弱的渦流發生偏斜，與均勻來流工況下僅受到結構振幅的影響不同。值得注意的是，當Ur=18時，中游圓柱的尾流會從下游圓柱上下兩側通過，有利于其表面旋渦的發展，從而加劇結構的振動，形成了第二個峰值，如圖6(c)所示。其余折減速度工況下，尾流區域旋渦的分布則更加的不規則。

圖16 當Re=160時，不同剪切率工況下串列三圓柱體結構瞬時渦量圖隨折減速度的變化情況Fig.16 The variation of the instantaneous vorticity contourswith shear ratio and reduced velocity when Re=160

4 結 論

基于四步半隱式特征線分裂算子有限元方法，本文對平面剪切來流作用下串列布置三圓柱體結構的單自由度流致振動響應進行了數值模擬，深入探討了雷諾數、剪切率與折減速度的變化對結構群橫流向動力響應、流體力系數、相位特征、頻譜特性與尾流模態的影響，闡釋了流體與結構群之間的耦合效應，得到的主要結論如下：

(1)雷諾數的增加對大剪切率工況下結構的振幅響應有明顯的促進作用。不同的雷諾數工況下，三圓柱體結構的振幅曲線隨剪切率呈階段性變化，最大振幅值會隨剪切率的增加而小幅增大。

(2)雷諾數和剪切率的變化對下游圓柱的影響大于中上游兩圓柱體。隨雷諾數的增加，下游圓柱體在部分剪切率工況下升阻力系數的最大值及其對應的位置會發生明顯的改變。剪切率的變化對下游圓柱體共振區間內的升阻力系數以及大折減速度范圍內的升力系數均方根隨剪切率變化的波動性較大。

(3)隨著雷諾數和剪切率的增加，中下游兩圓柱體發生相位轉變所對應的區域范圍明顯擴大。值得注意的是，由于中下游兩圓柱體在整個振動周期內相位變化的差異較大，使得大多數工況下兩圓柱體的相位差不會呈現出完全同相或反相的狀態。

(4)雷諾數和剪切率的增大會顯著增大橫流向位移能量譜密度曲線中頻率的階數，從而影響能量在流體與結構之間的傳遞，改變結構群的動力響應。

(5)三圓柱體結構尾流場的旋渦分布隨折減速度變化規律性較強，主要會出現2S與P+S等尾流模態。但隨雷諾數和剪切率的增加，尾流場的旋渦分布在較大的慣性力以及來流速度差的影響下變得更加復雜。