基于概率-區間混合模型的汽車乘員約束系統可靠性優化設計

劉 鑫，陳 德，周振華，胡 林

(1.長沙理工大學 道路災變防治及交通安全教育部工程研究中心，長沙 410114；2.長沙理工大學 工程車輛安全性設計與可靠性技術湖南省重點實驗室，長沙 410114)

在汽車的設計過程中，汽車碰撞安全性的研究價值日益凸顯。如何提高汽車乘員安全性，讓乘員受到更好的保護，使乘員受到的傷害最小化成為了汽車發展的一大課題[1-2]。汽車乘員約束系統作為汽車重要的被動安全裝置，主要包括安全氣囊、安全帶、座椅、方向盤、儀表盤等。大量實踐表明[3]，可靠的乘員約束系統能夠顯著降低二次碰撞對乘員造成的傷害，最大化地保證乘員的生命財產安全。因此，乘員約束系統的參數設計尤為重要，只有合理的參數設計才能充分保障乘員在事故中的安全性。

在乘員約束系統的設計方法中，進行實車碰撞實驗是比較可靠的方法，但是實車碰撞實驗的實驗成本高昂，不能作為乘員約束系統的唯一設計方法。而采用數值模擬和優化技術相結合的研究方法，可以有效地控制設計所需的成本。現有的乘員約束系統優化設計方法[4]通常將材料參數、載荷參數和設計參數考慮成確定性的參數。但是在實際的汽車碰撞過程中，許多參數如安全帶初始應變、卷收器特性參數、座椅剛度系數等存在不確定性，將其全部作為確定性參數來考慮，就會造成真實的系統響應和期望的系統響應有所偏差。往往這種偏差有時在極端條件下會使乘員約束系統失效，導致乘員生命安全無法得到保障。所以，針對汽車乘員約束系統的設計過程中需要對不確定性進行分析，對保證乘員約束系統的可靠性具有重要的工程意義。

目前，人們多采用概率模型[5]來描述系統的不確定性，并在大量的優化設計過程中得到了廣泛應用。但在實際的工程應用中，一些不確定性變量由于缺乏足量的數據樣本，無法獲得確切的概率密度分布函數，使得概率模型的應用存在一定的局限性。而區間模型[6]并不要求其精確的概率分布，只需要確定其上下限，因此在一定程度上避免了概率模型的局限性。尤其是針對汽車乘員約束系統這種具有高度復雜性[7]和非線性特征的可靠性優化設計問題，更需要考慮多種不確定性變量混合在一起的系統可靠性問題，這樣才能使得優化結果更加貼近實際情況，也更符合乘員約束系統的設計目的。然而，包含概率-區間混合模型的可靠性優化設計問題，本質上是一個三層嵌套的優化問題，無法直接使用傳統的可靠性優化設計方法來求解。而且，針對乘員約束系統這類復雜的可靠性優化問題而言，耗時的數值模型與高昂的計算成本往往會導致優化求解失效、約束違反等問題，從而造成極為低下的優化效率。

綜上所述，本文提出了一種基于概率-區間混合模型的汽車乘員約束系統可靠性優化設計方法。首先，通過MADYMO軟件建立了汽車乘員約束系統的數值模型，并進行了實車碰撞實驗來驗證和校準數值模型的準確性；然后，針對含概率-區間混合模型的汽車乘員約束系統可靠性優化設計問題，通過karush-kuhn-tucker(KKT)最優化條件和基于最大熵原理的二次四階矩方法實現優化問題的解耦，使得三層嵌套優化問題向單層優化問題進行轉化；最后，基于徑向基函數構建了近似可靠性優化設計問題，并通過遺傳算法對近似優化問題進行高效求解，從而確保汽車乘員的安全性和系統的可靠性。

1 乘員約束系統模型的建立與驗證

1.1 數值模型的建立

針對某型車100%正面碰撞的工況，通過多剛體仿真軟件MADYMO建立了乘員約束系統的數值模型。如圖1所示，該模型分為車體、假人、安全帶等3個部分，車體模型包含的座椅、地板、A柱、前圍板、腳踏板、轉向系統和前風窗玻璃采用多剛體模型構建。假人模型使用Hybrid Ⅲ 50百分位多剛體男性假人模型。安全帶模型使用包含織帶、帶扣、D-環和錨點的混合三點式安全帶模型。通過MADYMO軟件對整個碰撞過程分析求解，即可求得到假人主要損傷評價部位的動態響應曲線和損傷值。

圖1 乘員約束系統數值模型Fig.1 Numerical model of the occupant restraint system

本文采用加權損傷準則WIC(weighted injury criterion)[8]來體現乘員碰撞后的受損情況，并且在后續的優化設計中同樣使用WIC值作為優化目標函數，以此說明優化后乘員約束系統的保護性和功能性。WIC值的計算公式如下：

(1)

式中：HIC為HIC36頭部綜合損傷值；C3 ms為胸部3 ms加速度值,g；D為胸部壓縮量，mm；FFL為左大腿軸向壓力,kN；FFR為右大腿軸向壓力,kN。

1.2 數值模型的驗證

為了確認所建立的乘員約束系統數值模型的準確性，本文依據標準號為GB11551—2003的《乘用車正面碰撞的乘員保護》所描述的流程和方法進行了實車碰撞，如圖2所示。在完成碰撞試驗后，將收集到的試驗結果記錄保留，并與在同樣沖擊加速度曲線輸入下的數值模型響應作對比。如果兩者相差較大，則不斷修正數值模型直至誤差在規定的范圍內為止，此時可認定數值模型準確有效。

圖2 乘員約束系統數值模型與實驗模型對比Fig.2 Comparison between numerical model and experimental model of occupant restraint system

圖3為假人動態響應曲線仿真結果與實驗結果的對比。從圖3可以看出，各動態響應曲線的變化趨勢及峰值與實車碰撞試驗基本一致，只有右大腿軸向壓力FFR曲線存在一些誤差。因為在實車碰撞試驗過程中，負責鏈接車身與乘員座椅的部件發生了變形，影響了試驗假人的身體位置，使得假人相較于原來的位置產生了一定的偏轉，所以導致右大腿軸向壓力曲線略有不同。但從表1可以得出，假人損傷響應仿真峰值與試驗峰值的最大誤差不超過10%，所以可以認為該建模方法有效可行，得出的數值模型準確可靠，故使用該模型對乘員約束系統進行可靠性優化設計。

圖3 假人動態響應曲線仿真結果與實驗結果對比Fig.3 Comparison between simulation results and experimental results of dummy dynamic response curve

表1 假人損傷響應仿真值和試驗值對比Tab.1 Comparison between simulation value and test value of dummy damage response

2 汽車乘員約束系統可靠性優化設計問題的建立

汽車乘員約束系統需有效保障乘員的安全，因此選取加權損傷準則WIC作為乘員約束系統的優化目標函數；考慮到乘員約束系統的安全性能與安全帶上掛點位置X1和安全帶錨點位置X2的初始參數設置有關，因此選取上述兩個參數作為確定性設計變量；同時，考慮到制造安裝過程中的誤差，將座椅剛度系數P作為概率變量，安全帶的初始應變作為區間變量Q；并將頭部綜合損傷值HIC、胸部3 ms加速度值C3 ms、胸部壓縮量D、左大腿軸向壓力FFL和右大腿軸向壓力FFR對應的可靠性指標值設置為約束條件，即可得到基于概率-區間混合模型的汽車乘員約束系統可靠性優化設計問題：

minfWIC(X,μp,μQ)

(2)

s.t.

針對上式所示的可靠性優化設計問題，外層針對目標函數fWIC進行優化，而內層求解可靠性指標βi時，由于隨機變量和區間變量共存于極限狀態函數中，因此針對可靠性指標βi的求解將是一個雙層優化問題[9]。所以，式(2)所示的可靠性優化設計問題屬于一個典型的三層嵌套優化問題。如果使用傳統的優化算法來求解這類優化問題，則計算效率將十分低下，無法滿足工程設計的要求。為了使此類優化問題的計算效率得到提升，需采用一種高效的求解策略對問題進行解耦，然后再對汽車乘員約束系統可靠性優化設計問題進行求解。

3 汽車乘員約束系統可靠性優化設計問題的求解

3.1 可靠性優化設計問題的解耦策略

為了求解可靠性優化設計問題式(2)中的可靠性指標βi，以β1為例，需通過下式所示的基于概率-區間混合模型的可靠性分析問題進行求解：

(3)

式中：U為P映射到標準正態空間下的隨機變量；GHIC(X,U,Q)為gHIC(X,P,Q)映射到標準正態空間下的極限狀態功能函數。顯然，上述問題屬于一個雙層嵌套的優化問題，外層優化求解最小化的可靠性指標β1：

(4)

內層優化求解最小化的函數值GHIC(X,U,Q*)：

(5)

為了將式(3)所示的雙層嵌套的優化問題轉換為單層優化問題，本文利用karush-kuhn-tucker(KKT)最優化條件[10]可將區間變量Q轉換成服從區間[-0.07,0]均勻分布的隨機變量u：

Q～u(-0.07,0)

(6)

則極限狀態函數gHIC(X,P,Q)可以改寫成如下形式：

gHIC(X,P,u)=1 000-HIC(X,P,u)

(7)

則對應式(7)可靠性指標求解時面臨的可靠性分析問題如下式所示：

(8)

首先，將極限狀態函數gHIC(X,P,u)標準化為隨機變量y1：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：Φ-1(?)為標準正態分布函數累積分布函數的反函數。

因此，通過上述KKT最優化條件和基于最大熵原理的二次四階矩方法可以將雙層嵌套的優化問題式(3)最終轉換成通過積分方法來求解可靠性指標β1，而無需通過優化迭代來求解。

上述解耦過程同樣應用于其它可靠性指標β2、β3、β4和β5的求解，于是式(2)所示的三層嵌套可靠性優化設計問題轉化為以下單層優化問題：

minfWIC(X,μP,μQ)

(13)

s.t.

式中：μg=(μgHIC,μgC3 ms,μgD,μgFFR,μgFFL)T為各極限狀態函數的期望值；σg=(σgHIC,σgC3 ms,σgD,σgFFR,σgFFL)T為各極限狀態函數的標準差；ak=(ak1,ak2,ak3,ak4,ak5)T為各積分方程組的待定參數；y=(y1,y2,y3,y4,y5)T為各極限狀態函數標準化后的隨機變量。

顯然，通過上述數學轉換，原針對汽車乘員約束系統的三層嵌套可靠性優化設計問題轉變成式(13)所示的單層優化問題，成功實現了嵌套優化問題的解耦，從而有效提升了該優化問題的計算效率。

3.2 近似優化問題的建立和求解

為了進一步提高計算效率，本節采用徑向基函數(radial basis function)[12]來構建汽車乘員約束系統的近似模型，則式(2)所描述的優化問題可以轉換為如式(14)所描述的數學形式：

(14)

s.t.

然后，基于KKT最優化條件和基于最大熵原理的二次四階矩方法可以將上述近似優化問題轉為如下形式：

(15)

s.t.

本文采用遺傳算法[13]對式(15)所示的近似可靠性優化設計問題進行求解，整個求解迭代過程如下：

(1)采用拉丁超立方實驗設計方法(latin hypercube design LHD)[14]在設計變量和不確定性變量空間上進行樣本點采樣，給定允許誤差值ε>0，置s=1。

(2)將所有樣本點導入乘員約束系統數值模型并計算乘員各項損傷值，構建目標函數和各極限狀態函數的近似模型，從而建立式(14)所示的近似可靠性優化設計問題。

(3)利用KKT最優化條件和基于最大熵原理的二次四階矩方法獲得如式(15)所示的單層近似可靠性優化設計問題。

(4)基于遺傳算法對近似可靠性優化設計問題(15)進行求解，從而獲得此近似優化問題的解X(s)。

(5)計算真實目標函數fWIC(X,μP,μQ)和乘員各項損傷值在近似優化設計解X(s)處的值。

(6)計算誤差δmax：

(16)

如果δmax<ε，則輸出優化設計解X(s)，迭代終止；否則，對樣本點重新采樣，更新樣本空間，并返回步驟2，并置s=s+1。

具體優化流程圖如圖4所示。

圖4 汽車乘員約束系統可靠性優化設計流程圖Fig.4 Flow chart of reliability-based design optimization for occupant restraint system

4 優化結果及分析

在整個優化過程中，可靠性指標預設閾值βt=2，近似模型允許誤差值ε=3%，初始樣本點為30個，遺傳算法的相關參數設置為：種群大小N=50，交叉概率pc=0.8，變異概率pm=0.02，最大迭代次數為100代。

圖5 優化迭代過程圖Fig.5 Iterative process in the optimization

表2則列出了當s=1時，近似優化解與真實仿真值的誤差對比。從表中可知，優化設計解處的各項乘員損傷指標的優化值與仿真值之間的最大誤差僅為2.03%，小于許可誤差3%。說明此時目標函數、約束函數用近似模型得出的響應值精度較好，使用該近似模型得出的優化結果有效。而且，在當前優化設計解處的各項乘員損傷指標值均低于問題中設定的閾值，因此優化結果達到設計要求。

表2 優化值與仿真值在優化設計解處對比Tab.2 Comparison of optimization value and simulation value at optimal solution

圖6為假人動態響應曲線優化后仿真值與優化前實驗值對比。從圖6可以看出，優化后的假人各動態響應曲線的變化趨勢與優化前實車碰撞試驗仍然基本一致。但從表3可以得出，假人的頭部綜合損傷值HIC、胸部3 ms加速度值C3 ms、胸部壓縮量D和左大腿軸向壓力FFL已經明顯低于優化前試驗值，雖然右大腿軸向壓力FFR優化后仿真值略高于優化前試驗值，但仍在人體耐受限度安全范圍內。而且，優化后加權損傷準則WIC為0.771，明顯小于優化前試驗值0.881 4,達到了優化效果。

圖6 假人動態響應曲線優化后仿真值與優化前實驗值對比Fig.6 Comparison between simulation results after optimization and experimental results before optimization of dummy dynamic response curve

表3 假人損傷響應優化后仿真值與優化前試驗值對比Tab.3 Comparison between the simulation value after optimization and the test value before optimization of dummy damage response

5 結 論

(1)本文構建了汽車乘員約束系統100%正面碰撞數值模型，通過實車碰撞試驗驗證了數值模型的有效性，并以此來研究汽車發生碰撞時乘員身體各部位的動態響應。

(2)為了有效保障汽車乘員安全性，提出了一種基于概率-區間混合模型的汽車乘員約束系統可靠性優化設計方法。該方法利用KKT最優化條件和基于最大熵原理的二次四階矩方法，將原始的三層嵌套可靠性優化設計問題轉變成單層優化問題，成功實現了嵌套優化問題的解耦；同時，使用徑向基函數構建了對應的近似可靠性優化設計問題，并采用遺傳算法進行求解，有效提升了計算效率。優化結果表明：該方法既能高效地為汽車乘員約束系統匹配最優設計參數，又能提高汽車的被動安全性，在汽車碰撞安全領域具有一定的工程應用價值。