具有中空結構的雙層圓截面微梁熱彈性阻尼模型

2021-11-10 03:06:40羅志軍方玉明

振動與沖擊 2021年20期

關鍵詞：模型

羅志軍，李普，方玉明

(1.東南大學機械工程學院，南京 211189；2.南京郵電大學電子與光學工程學院、微電子學院，南京 210003)

隨著MEMS技術的廣泛應用，低功耗、高品質因數的諧振器備受青睞。熱彈性阻尼是MEMS諧振器中的一種固有能量損耗機制，決定了品質因數的上限。微諧振器的能量損耗方式主要包括空氣阻尼[1]、表面阻尼[2]、支承阻尼[3]和熱彈性阻尼[4]。前三種阻尼是外部阻尼，可以通過真空封裝、改善材料的表面特性、合理設計結構來減小或者消除。而熱彈性阻尼是諧振器的內部固有阻尼，在設計制造中無法完全消除，這使得預測諧振器的熱彈性阻尼成為提高微諧振器的靈敏度、穩定性、頻率選擇性等性能的基本要求之一。

熱彈性固體在振動時，當應力不均勻產生熱彈性效應，導致受壓縮的部分溫度升高，受拉伸的部分溫度降低，從而在結構內產生振蕩的溫度梯度。振動過程中，熱彈性固體本身的各個部分之間缺乏熱平衡，熱量從溫度高的部分向溫度低的部分傳遞。作為回應，固體結構將通過熱傳導在溫度梯度上重新建立熱平衡。由熱力學第二定律可知，這一不可逆過程產生熵，造成的能量損失即為熱彈性阻尼[5]。

經過研究，眾多學者相繼建立多種結構的熱彈性阻尼解析模型。1937年-1938年，Zener[6-7]首次提出微梁中的熱彈性阻尼。在Zener單層圓截面微梁中，當熱彈性阻尼僅保留第一項時，熱彈性阻尼可記為：

(1)

式中：τC=0.295CVR2/k；E為楊氏模量；α為熱膨脹系數；T0為平衡溫度；CV為單位體積的熱容；R為微梁的半徑；k為熱傳導系數。

Vengallatore[8]在Bishop等[9-10]的理論框架基礎上，研究了對稱三層矩形截面微梁諧振器的熱彈性阻尼，針對不同的材料組合下的熱彈性阻尼性能進行比較，為高性能多層彎曲梁諧振器設計提供了參考。Tunvir等[11-12]研究了中空單層圓截面微梁的熱彈性阻尼。在不考慮表面應力時，TR微梁的熱彈性阻尼可表示為：

(2)

式中：R1為內層半徑;R2為外層半徑。此外，針對矩形板[13]、圓板[14]和圓環[15]等結構的熱彈性阻尼解析模型也相繼建立，但關于具有中空結構的微梁的熱彈性阻尼模型仍待完善，如具有多層結構或不同振動模式的中空圓截面微梁的熱彈性阻尼解析模型。

本文以具有中空結構的雙層圓截面微梁為研究對象，推導出其彎曲振動時的熱彈性阻尼解析模型。通過與FEM模型的對比，證實了當前解析模型的有效性，同時研究了金屬鍍層和微梁的體積比對熱彈性阻尼的影響。本文建立的熱彈性阻尼解析模型是一維的，僅考慮沿徑向的熱傳導。

1 微梁中的熱彈性阻尼模型

1.1 溫度場分布函數的求解

圖1為具有中空結構的雙層圓截面微梁的示意圖。由圖可知：微梁的第一層厚度為h1=b-a,第二層厚度為h2=c-b,長度為l。微梁在靜電力驅動下沿z方向在x-z平面內做頻率為ω的小振幅簡諧振動。

圖1 具有中空結構的雙層圓截面微梁的示意圖Fig.1 Schematic diagram of hollow bilayered microbeam

微梁在z方向的彎曲變形可表示為：

w(x,y,z,t)=Y(x)eiωt

(3)

第m層微梁中的溫度場可以寫為：

θm(x,y,z,t)=Tm(x,y,z,t)-T0=?m(x,y,z)eiωt

(4)

式中：θm(x,y,z,t)為第m層微梁中相對于平衡溫度T0的波動溫度場函數。

不考慮表面應力，根據Duhamel-Neumann方程，熱-結構耦合的應力、應變關系可表示為：

(5)

εxx,m(x,y,z,t)=-z?2w/?x2

(6)

(7)

雙層微梁中的熱傳導方程可表示為[16]：

(8)

式中：λm和em分別為第m層梁中的熱擴散系數和體積膨脹。其中：

em=εxx,m(x,y,z,t)+εyy,m(x,y,z,t)+εzz,m(x,y,z,t)(9)

λm=km/Cm

(10)

式中：km和Cm分別表示第m層梁中的熱傳導系數和單位體積的比熱。

在細長梁中，由于沿y和z方向的溫度梯度遠大于沿x方向的溫度梯度，故?2θm≈(?2/?y2+?2/?z2)θm。將式(9)、(10)入式(8)，且ΔZener,m(1+υm)/(1-2υm)?1，y=rcosφ，z=rsinφ，則方程(8)可簡化為：

(11)

假設在r=b處，微梁具有完美的熱接觸；在r=a和r=c處為絕熱狀態，則邊界條件可表示為：

(12)

根據格林函數法[17]，雙層微梁中的溫度場可記為：

其中：

(14)

將式(14)代入式(13)，則溫度場可表示為：

(15)

熱傳導方程特征函數φm,n(r)可表示為[18]：

(16)

(17)

式中：A1,n、B1，n、A2，n和B2,n為待定常數。

將式(16)、(17)代入邊界條件(12)，可得：

(18)

A1,nJ11b+B1,nY11b=A2,nJ12b+B2,nY12b

(19)

(20)

(21)

為了滿足一般性，消除共同項A1,n(A1,n≠0)，則式(18)～(21)可以被改寫為：

(22)

常數B1,n、A2,n和B2,n可通過矩陣方程(22)求得：

(23)

(24)

(25)

式中：

(26)

根據式(15)可知：θm(r,φ,t)分為三項，第一項和第二項都是瞬時衰減項，只有第三項是穩態項。因此，忽略瞬態項時，θm(r,φ,t)可被簡化為：

1.2 熱彈性阻尼的計算

由式(27)、(28)可得出每層微梁中的能量損耗，即：

(29)

(30)

同時，可得出每層微梁中的最大彈性勢能，即：

根據Bishop和Kinra理論框架，雙層微梁的熱彈性阻尼可表示為：

(33)

將式(29)～(32)代入式(33)，可得出中空結構雙層圓截面微梁的熱彈性阻尼，即：

根據檢測報告，管道實際運行時間為的確定需要確定Cr、計算參數、檢測次數和有效性。對厚度小于壁厚的所有檢測點的減薄量取均值，得出Cr=0.09 mm/a，d=8.2 mm，可得到Art=0.027 4。該次檢測為低度有效，只進行了1次檢測，最終根據各參數，得到

2 與Zener梁模型和TR梁模型對比

上一小節推導出中空雙層微梁(hollow bilayered microbeam,HBM)的熱彈性阻尼解析模型，現將其與Zener[6-7]單層梁(zener’s microbeam,ZM)和TR(Tunvir和Ru)中空單層梁(TR’s microbeam,TRM)的熱彈性阻尼解析模型的計算結果進行對比。表1為計算涉及的多種微梁的幾何參數，表2為微梁在300 K時的材料力學特性參數，具體參數詳見表1、表2。

表1 微梁的類型及幾何參數Tab.1 Types and geometry parameters of microbeams

表2 微梁在300 K時的材料力學特性參數Tab.2 Materials properties of microbeams the at T0 =300 K

2.1 與Zener單層圓截面梁模型對比

當中空雙層圓面微梁滿足a→0,b≈c時，雙層微梁可近似為單層微梁，此時對比當前解析模型(式(34))和Zener梁模型(式(1))在HBM-1和ZM-1兩種微梁中計算所得的熱彈性阻尼。

圖2為當前解析模型與Zener梁模型的對比結果。由圖可知：中空雙層圓截面梁的當前解析模型在n=1時的熱彈性阻尼頻譜曲線與Zener單層圓截面梁模型的熱彈性阻尼頻譜曲線基本重合，而在n=20時的當前解析模型的熱彈性阻尼頻譜曲線與Zener梁模型有一定的差距，這種結果與Zener僅保留熱彈性阻尼第一項計算結果的情況相吻合。因此，當雙層環截面微梁滿足a→0,b≈c條件時，當前解析模型(n=1時)與Zener梁模型的計算結果一致。

圖2 當前解析模型與Zener梁模型的對比Fig.2 Comparison of TED between the present analytical model and Zener’s model

2.2 與TR中空單層圓截面梁模型對比

當中空雙層圓截面微梁滿足b≈c時，雙層微梁同樣可近似為單層微梁，比較當前解析模型(式(34))和TR梁模型(式(2))在HBM-2和TR-1兩種微梁中計算所得的熱彈性阻尼。

圖3為當前解析模型與TR梁模型的對比結果。由圖可知：中空雙層圓截面梁的當前解析模型在n=1時的熱彈性阻尼頻譜曲線與TR中空單層圓截面梁模型的頻譜曲線基本重合，而在n=20時，二者有差距。上述結果表明：當中空雙層圓截面梁滿足b≈c時，當前解析模型(n=1時)與TR梁模型的計算結果一致。實際上，TR梁模型在計算時將溫度場函數進行了近似處理，僅保留了前三項。因此，其熱彈性阻尼的計算結果僅與n=1時的當前解析模型重合。

圖3 當前解析模型與TR梁模型的比較Fig.3 Comparison of TED between the present analytical model and TR’s model

3 當前解析模型的有效性和討論

3.1 當前解析模型的收斂性

中空雙層圓截面梁的當前熱彈性阻尼解析模型(式(33))表現為無窮級數的形式，需檢查當前解析模型的收斂性。

圖4為當前解析模型在HBM-4中的收斂性結果。由圖可知：隨著n取值的增大，微梁的熱彈性阻尼隨之增大；而當n=10和n=20時，熱彈性阻尼的頻譜曲線發生重合。因此，只需截斷當前解析模型計算后的前10項結果即可保證HBM-4中熱彈性阻尼的收斂性。

圖4 當前解析模型在HBM-4微梁中的收斂性Fig.4 Convergence of TED in present analytical model for HBM-4 microbeam

(35)

式中：

(36)

通過式(35)可以發現，熱彈性阻尼的收斂性由Sn決定。圖5 為HBM-4中Sn隨n的變化情況。由圖可知：前20項Sn中，第一項相比其他項高出兩個數量級；第1項、前5項之和與前10項之和分別占據前20項之和的比重為97.5%，99.34%和99.77%。因此，可認為僅保留熱彈性阻尼計算結果的第一項(n=1)能表達HBM-4中熱彈性阻尼精確值的主要部分；保留前10項(n=10)能夠充分表示HBM-4中熱彈性阻尼值達到收斂要求。

圖5 HBM-4中Sn隨n的變化情況Fig.5 Changes of Sn with n in HBM-4

在本文的所有當前解析模型的計算過程中，均對熱彈性阻尼進行類似的收斂性判斷，結果發現截斷前20項都可以滿足本文涉及的熱彈性阻尼收斂性要求。

3.2 當前解析模型與FEM模型的對比

為了驗證當前解析模型的有效性，將其與FEM模型進行對比。在ANSYS中建立中空雙層圓截面微梁結構的三維模型，采用Solid227 三維十節點四面體單元對建立的雙層微梁進行的熱-結構耦合分析，求解出熱彈性阻尼。針對不同外層厚度的中空雙層圓截面微梁中的熱彈性阻尼，在當前解析模型(式(33))和FEM模型中分別進行計算，通過比較兩種模型中的熱彈性阻尼值，檢驗當前解析模型的有效性。

圖6為當前解析模型與FEM模型計算的三種HBM的熱彈性阻尼的比較結果。由圖可知：HBM-3、HBM-4和HBM-5的當前解析模型計算的熱彈性阻尼結果均與FEM模型的計算結果基本吻合。表3為圖6中不同頻率下HBM-4中的熱彈性阻尼。由表可知：通過當前解析模型(式(33))計算的HBM-4中的熱彈性阻尼與通過FEM模型計算的熱彈性阻尼在四種頻率下的最大誤差為3.38%。因此，FEM模型驗證了當前解析模型的有效性；進一步可以通過在整個頻帶范圍內對熱彈性阻尼的當前解析模型與FEM模型和實驗測量的結果進行對比，在合理的誤差范圍內，可以認為，當前解析模型的計算結果是準確的。

圖6 當前解析模型與FEM模型計算的三種HBM的熱彈性阻尼的比較Fig.6 Comparison of TED between the present analytical model and FEM model for three HBM

表3 不同頻率下HBM-4中的熱彈性阻尼Tab.3 TED of HBM-4 with different frequency

3.3 金屬鍍層對熱彈性阻尼的影響

隨著微諧振器應用范圍的延伸，通常需要在硅基的諧振器表面增加金屬鍍層，充作電極或者用于改善器件表面特性、增大導電率和增強反光性。常用的金屬鍍層包括Cu、Ag、和Ni等。

圖7為Cu、Ag、和Ni鍍層對Si基微梁的熱彈性阻尼的影響。由圖可知：鍍有Cu(HBM-8)、Ni(HBM-9)、和Ag(HBM-10)的微梁在整個頻帶范圍內均比均質Si(HBM-11)材料微梁的熱彈性阻尼大；在相同的鍍層厚度下，鍍Cu微梁中的熱彈性阻尼具有最大的峰值，其次為鍍Ni和鍍Ag微梁。其中，鍍Ag微梁中的熱彈性阻尼在整個頻帶范圍內均小于鍍Cu微梁。上述現象表明：采用了金屬鍍層的微梁熱彈性阻尼明顯增大；并且與Srikar[8]對稱三層矩形截面微梁中的研究結果一致。