FDA-MIMO雷達目標距離、角度及未知互耦參數估計

喬理揚, 崔忠馬, 楊赟秀, 舒 勤,*

(1. 四川大學電氣工程學院, 四川 成都 610065; 2. 北京遙感設備研究所, 北京 100854;3. 西南技術物理研究所, 四川 成都 610045)

0 引 言

多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)技術是一種具有許多優勢的靈活技術[1-3]。MIMO雷達通過使用多個天線同時發射相互正交的信號,并使用多個天線接收回波。這使得MIMO雷達具有比傳統的相控陣雷達更大的自由度,導致MIMO雷達的可識別性和分辨率顯著提高。頻控陣(frequency diverse array,FDA)與相控陣具有相似的結構,作為一種新型陣列雷達在2006年被首次提出[4]。FDA通過控制每個天線的載波頻率來控制具有不同距離-角度關系的波束形式[5]。正是這種距離-角度依賴的特性,使得FDA有了在距離和角度兩個維度上定位目標的能力。MIMO技術與FDA在文獻[6]中被首次合并,自此針對FDA-MIMO雷達的研究成了熱點問題。

陣列的參數估計研究有悠久的歷史,許多優秀的估計方法被提出。例如基于旋轉不變技術的信號參數估計技術(estimation of signal parameters via rotational invariance technique,ESPRIT)和多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)技術[7-8]。目前,大多數的估算方法都假定天線陣列是理想的。但實際中,天線陣列始終存在未知的誤差。典型的天線誤差包括陣列間的相互耦合,這是由天線元件的輻射效應引起的必然存在的誤差[9-10]。天線陣列互耦合會使得信號發射與回波參數估計帶來障礙。發射天線陣列互耦會影響電壓駐波比,可能導致能量輻射失敗[11-12];接收陣列互耦合可能導致目標參數估計誤差增大。因此，消除陣列互耦合對提高陣列與估計算法性能是非常必要的。本文重點研究接收陣列存在互耦合對目標距離和角度估計的影響,以及消除互耦合的參數估計方法。

傳統MIMO雷達的參數估計方法中,有許多針對存在陣列耦合的情況。文獻[13-14]提出了均勻線性陣列(uniform linear array,ULA)校準的方法,并且總結了ULA的信號模型與互耦合矩陣模型。文獻[15]中提出了用貝葉斯學習來研究到達角(direction of arrival,DOA)估計性能和陣列自校準的問題。文獻[16]提出一種DOA和互耦合系數聯合估計的方法,從此陣列參數和互耦合系數的聯合估計成為了新的研究方向。文獻[17]從信號角度分析信號的額外信息,從而進行參數估計。文獻[18]中從信號矩陣結構角度思考,提出了一種數據轉換策略方法來進行參數估計,然后通過迭代求解互耦合系數,迭代過程浪費了巨大的計算資源。文獻[19]提出了一種遞進方法,首先避免耦合影響并估計DOA,然后使用估計得到的DOA通過解決半定規劃問題估計耦合系數,迭代收斂的過程耗時較多,效率低下。文獻[20]改進了迭代的方法,通過建立拉格朗日乘數法解決二次優化問題,計算效率提升。

上述互耦合系數估計方法均適用于傳統MIMO雷達的信號結構。目前,鮮見有研究FDA-MIMO雷達互耦合校準方法,由于天線陣陣列間電磁輻射引起的互耦合效應不可避免,因而對FDA-MIMO雷達互耦合系數估計及影響分析缺失,對于FDA-MIMO雷達陣列性能評估是不充分的。本文針對FDA-MIMO雷達陣列間存在未知互耦合問題,提出一種天線間存在耦合情況下的距離和角度估計技術和耦合系數估計方法。

本文首先將傳統陣列耦合校準技術拓展到FDA-MIMO雷達,得到存在互耦的FDA-MIMO雷達接收信號模型,對此模型分解得到信號子空間和噪聲子空間,利用信號子空間和噪聲子空間的正交性得到譜函數,通過一種數據轉換方法,成功得到了距離和角度的估計值。再通過類似線性約束最小方差重構優化問題,求解未知耦合系數。仿真結果證明了方法的有效性。

1 信號模型

考慮一個具有M個發射陣元和N個接收陣元的單基地均勻線性FDA-MIMO雷達，則第m個陣元發送的復信號可以表示為

sm(t)=φm(t)ej2πfmt， 0≤t≤T;m=1,2,…,M

(1)

式中:T為雷達脈沖持續時間;fm第m個天線上面增加的頻率偏移,并且有fm=f1+Δfm,f1為參考載波頻率,Δfm為第m(m>1)個陣元的頻率偏移,該頻率偏移相對載波頻率來說可以忽略不計;φm(t)表示單位能量波形,且波形滿足正交條件。

電磁波在空間任意傳播,假設雷達的遠場空間中存在n個目標,每個目標均會反射來自發射天線的信號,則接收陣列中,第n個接收陣元接收來自k個目標的反射信號表示為

(2)

(3)

式中:rk為第θk個目標的徑向距離;θk為第k個目標的角度;c為光速;dT和dR分別為發射陣列陣元間距和接收陣列陣元間距。

在接收端,通過下變頻和匹配濾波處理接收到的信號,輸出信號的第l個快拍可以表示為

y(l)=As(l)+n(l)

(4)

式中:A=[aR(θ1)?aT(r1,θ1),aR(θ2)?aT(r2,θ2),…,aR(θk)?aT(rk,θk)]∈CMN×K為導向矢量矩陣,?為Kronecker積;s(l)=[s1(l),s2(l),…,sK(l)]T∈CK×1為包含各目標復反射系數的信號矢量;n(l)∈CMN×1為獨立0均值復高斯分布的噪聲向量;aT(rk,θk)∈CM×1為發射陣列的導向矢量,aR(θk)∈CN×1為接收陣列的導向矢量,其中,

(5)

(6)

在發射和接收陣列陣元間存在耦合的情況下,陣列發射和接收的信號將會產生列相關效應,且aT和aR均會被互耦合矩陣影響[20]。

具有M×M個陣列天線的天線間互耦合效應可以通過M×M的互耦合矩陣來描述,其矩陣為可以表示為

(7)

在互耦合矩陣C中,元素ci, j為陣列中第i個陣元與第j個陣元之間的耦合系數。ci, j的大小與陣元之間的距離成反比,隨著陣元間距超過某一定值,耦合將可忽略不計[13]。ULA的耦合矩陣具有對稱Toeplitz結構[21],設CT和CR分別為發射陣列和接收陣列的互耦合系數矩陣,并且假設發射陣列與接收陣列的每行各有P和Q個非零互耦合系數,則

(8)

cT=[cT1,cT2,…,cTP]T和cR=[cR1,cR2,…,cRQ]T為互耦合系數向量。

因此,L個快拍信號模型寫為矩陣形式為

Y=(CRAR)?(CTAT)S+N=CAS+N

(9)

式中:C=CR?CT∈CMN×MN為耦合矩陣;S∈CK×L為信號矩陣；N為高斯噪聲矩陣。

2 所提算法

2.1 距離與角度估計

根據子空間算法,首先求得Y的協方差矩陣:

R=E{YYH}=CARsAHCH+σ2IMN

(10)

式中:Rs是信號協方差矩陣；σ2是噪聲方差;IMN為單位矩陣。

對式(10)進行特征值分解,得到:

(11)

可以使用MUSIC的方法,遍歷搜索區域中的距離Z和角度Θ,可以用以下譜函數的K個峰估算所有目標的距離和角度[22]:

(12)

式中:F(Z,Θ)的K個最大峰值將對應估計的源的角度和距離。

但是,上述譜函數因為陣列未知互耦合效應的存在,譜函數會受未知互耦合矩陣C影響,形成嚴重的相關效應,估計性能急劇下降。為了消除陣列互耦合的影響,可以使用下述方法。

首先,令:

(13)

式中:ΦT∈CM×P與ΦR∈CN×P均為與導向矢量相關的轉換矩陣;CT和CR為影響發射陣列和接收陣列的耦合矩陣,設φ=1,2,…,P,φ=1,2,…,Q。并且,令

(14)

(15)

經過上述轉換,譜函數可以表達為

(16)

(17)

則距離和角度的估計值可表示為

(18)

2.2 互耦合系數估計

在估計距離和角度的過程中需要避免c為0的特殊情況,通過類似線性約束最小方差來重構此問題。在這里定義eTc=1。其中,e=[1,0,…,0]T∈CM×1。

因此，式(18)可以表達為

min(cHΠc)

s.t.eTc=1

(19)

構建代價函數:

L(Z,Θ)=cHΠc-λ(eTc-1)

(20)

式中:λ是常數。對c求偏導,令?/?cL(Z,Θ)=0得

2Πc+λe=0

(21)

從式(21)中獲得

c=μΠ-1e

(22)

其中,μ為常數:

(23)

由式(22)和式(23),可以得到互耦合系數的估計值:

(24)

3 仿真分析

在仿真中,M和N均設置為20,dT和dR均設置為0.5c/fM+B,B≈Δf2,f1設置為10 GHz,對每個天線的頻率偏移采用對數法則[23],即Δf=lnmΔf,其中Δf=20 kHz。發射陣列和接收陣列的互耦系數分別設置為cR=[1,0.8+0.5j,0.1+0.2j]T,cT=[1,0.6+0.3j,0.2+0.1j]T。考慮空間中有兩個待測目標其距離和角度分別為(80 km,20°)和(130 km,55°),信源發射信號快拍數為200,如圖1所示。

圖1 發射陣列與接收陣列示意圖Fig.1 Schematic diagram of transmitting array and receiving array

仿真 1所提算法對目標進行估計的結果

采用所提算法對目標參數進行估計的結果如圖2所示。角度的搜索范圍為[20 km,200 km],間隔為[20 km,200 km];距離的搜索范圍為[20 km,200 km],間隔為1 m,信噪比(signal to noise ratio, SNR)設置為10 dB。可以看出,在收發陣列存在互耦合影響的情況下,所提算法在不需要預知互耦合系數的前提下,就可以較為精確地獲得目標距離和角度的估計值,這是本文算法的優勢。由于FDA-MIMO結構本身不能消除互耦合,因而直接使用傳統估計算法結果是不理想的。圖2為參數估計的譜結果三維圖,可以清晰看到目標的距離和角度參數估計結果,圖中強峰為每個目標的距離和角度參數。

圖2 所提算法的譜圖(三維)Fig.2 Spectra of the proposed algorithm (three dimensional)

圖3是圖2譜結果圖在距離角度平面上的投影,其中橫坐標為角度,縱坐標為距離,圖中紅框位置為譜峰,譜峰即為距離和角度的估計值。

圖3 所提算法的譜圖(二維)Fig.3 Spectra of the proposed algorithm (two dimensional)

仿真 2算法估計距離和角度的統計性能

定義距離和角度估計結果的均方根誤差(root mean aquare error, RMSE)分別為

(25)

式中：K為目標個數；W為蒙特卡羅實驗次數；仿真中W=500。SNR與角度和距離結果的RMSE的關系如圖4所示。

圖4 角度和距離的RMSE與SNR的關系Fig.4 Relationship between RMSE and SNR of angle and range

圖4顯示,在陣列互耦合存在的情況下,所提算法在一定SNR范圍內均具備較好的估計性能。文獻[18]和文獻[19]中算法同樣可以進行參數估計但是誤差相對較大,傳統MUSIC方法則在互耦合情況下性能喪失,所提方法在保證準確估計的前提下,提升了估計準度。

仿真 3算法估計互耦合系數的統計性能

定義互耦合系數估計結果的RMSE為

(26)

根據所提算法分別對發射陣列耦合系數cR和接收陣列耦合系數cT進行估計。圖5給出了耦合系數估計時的SNR與RMSE的關系。

圖5 耦合系數估計的RMSE與SNR的關系Fig.5 Relationship between RMSE and SNR of mutual coupling coefficient estimation

由圖5可以看到,在一定SNR范圍內,耦合系數估計的RMSE隨SNR的增加而減小,所提方法與對比算具有相似的估計性能,所提方法體現更優的估計結果。

4 結 論

本文提出一種FDA-MIMO雷達陣列間存在互耦合效應時的參數估計方法。該方法首先構造了存在未知互耦合陣列的接收信號模型,通過子空間分解的方法得到用于參數估計的譜函數;并且采用一種數據轉換策略,解決了譜函數由于未知耦合矩陣存在而失真的問題,最終得到了FDA距離和角度參數的估計值;通過類似線性約束最小方差重構優化問題,估計出耦合系數矩陣。仿真結果顯示,本文提出的方法解決了發射陣和接收陣共同存在耦合情況的參數估計問題,并且避免了迭代方法造成的資源浪費,提升了計算效率,并且估計性能均優于現有算法。