數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

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中圖分類號(hào)：A 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：（2021）-39-382

何為“數(shù)形結(jié)合”數(shù)形結(jié)合就是把幾何性質(zhì)的探究轉(zhuǎn)化為精確與規(guī)范嚴(yán)密的數(shù)量關(guān)系的探究。簡(jiǎn)而言之，就是把數(shù)學(xué)問題里面的數(shù)量關(guān)系和空間圖形聯(lián)系起來(lái)解決數(shù)學(xué)問題的思想方法。

數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮了極大的作用，展現(xiàn)了其獨(dú)特的魅力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，授人一“魚”不如授人一“漁”，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。因此，我們?cè)跀?shù)學(xué)解題中要堅(jiān)定不移地貫徹?cái)?shù)形結(jié)合思想。

一、數(shù)形結(jié)合的作用

有助于教師傳遞知識(shí)的信息。 “數(shù)形結(jié)合”在教學(xué)上有助于教師傳遞知識(shí)的信息，對(duì)于學(xué)生往往難以理解的抽象問題，老師可通過數(shù)形結(jié)合，使抽象化直觀，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)盡可能的形象化，能讓學(xué)生易感知并獲得成功的體驗(yàn)。從而把老師想表達(dá)的信息顯現(xiàn)出來(lái)了，達(dá)到了輕松教學(xué)的目的。

有助于學(xué)生學(xué)習(xí)?！皵?shù)形結(jié)合”有助于學(xué)生學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，把抽象的數(shù)學(xué)具體形象在腦海里，形成圖像數(shù)學(xué)，模型數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生記憶。同時(shí)，學(xué)生一旦掌握了數(shù)形結(jié)合法，并不斷地進(jìn)行嘗試、運(yùn)用、探索，就能品味到數(shù)學(xué)的樂趣，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的美，進(jìn)而激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、熱情和積極性，讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)[1]。

有助于提高解題速度。 “數(shù)形結(jié)合”提高了學(xué)生的解題效率。“數(shù)”與“形”的巧妙與正確結(jié)合，使學(xué)生充分理解題意，直觀的圖像勾勒了題意中的隱含條件，從而可從不同的角度分析題意，增強(qiáng)學(xué)生理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)信息，啟迪解題思路，使解題思路明朗化，以達(dá)到提高學(xué)生解題的速度和正確率的作用。

二、數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化原則

數(shù)形結(jié)合遵循兩大原則：簡(jiǎn)單性原則和雙向性原則。

簡(jiǎn)單性原則就是是把數(shù)學(xué)復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。但解題時(shí)，不要碰到任何與數(shù)、形有關(guān)的題目都建立“數(shù)與形的結(jié)合”，在解題過程中選擇一個(gè)突破口，恰當(dāng)設(shè)定參數(shù)、運(yùn)用參數(shù)、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化，最終達(dá)到使問題簡(jiǎn)單化，易于解答.

雙向性原則是指幾何直觀分析與抽象數(shù)量關(guān)系可相互轉(zhuǎn)化探討，克服其自身的局限性，發(fā)揮對(duì)方的優(yōu)越性。解題時(shí)，我們既要進(jìn)行幾何問題直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)表達(dá)式的探求，從兩方面去分析同一問題，以“形”直觀表達(dá)“數(shù)”，以“數(shù)”精確研究“形”.

三、轉(zhuǎn)化類型

“以形助數(shù)”。 用圖形解題，通過題目的數(shù)據(jù)畫出相應(yīng)的圖像，在圖像里面去理解題目里面數(shù)據(jù)的聯(lián)系。常見有由x=ab想到射影定理;由F（cosθ，sinθ）想到單位圓x2+y2=1上的點(diǎn)等等。

“以數(shù)輔形”。常見的有由坐標(biāo)法，向量法來(lái)解決平面幾何、立體幾何問題;用距離公式來(lái)證明線段的相等或不等;用斜率關(guān)系來(lái)描述直線平行或垂直等等。

“數(shù)形互助”。 特別體現(xiàn)在圓、橢圓、雙曲線這些圓錐曲線上[2]。

四、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

一是以形助數(shù)。

對(duì)于集合，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)，一般運(yùn)用數(shù)軸或韋恩圖。 對(duì)于方程，我們一般把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像來(lái)解決方程問題。對(duì)于函數(shù)，通過運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來(lái)幫助考察函數(shù)相關(guān)知識(shí)的理解和應(yīng)用。一般是一次函數(shù)、二次函數(shù)、絕對(duì)值等的混合組成的題型，故畫出它們的圖像有助于我們解題。對(duì)于三角函數(shù)，我們可畫出其三角函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可觀察出它的周期、奇偶性、單調(diào)性等。而且有時(shí)三角函數(shù)又與其他函數(shù)或者圓錐曲線聯(lián)系起來(lái)，解這類題型我們都需借用數(shù)形結(jié)合來(lái)簡(jiǎn)化題型，降低題的難度系數(shù)。對(duì)于數(shù)列，在數(shù)列中，我們需要數(shù)形結(jié)合的地方一般是在求數(shù)列的極值或取值范圍。

二是以數(shù)輔形。

我們一般采用在坐標(biāo)軸里面畫圖或者使用向量的知識(shí)畫出我們需要的圖形。

三是數(shù)形互助。

在圓錐曲線或線性規(guī)劃中，運(yùn)用數(shù)形互助。對(duì)于解圓錐曲線相關(guān)題型，給出的曲線方程可以畫出曲線的圖像，或給出圖像可以寫出曲線方程，其能形象直觀觀察出圓錐曲線的相關(guān)特點(diǎn)和性質(zhì)，能夠根據(jù)圖像寫出圓錐曲線的相關(guān)定義。在線性規(guī)劃題型中，圖像能幫助簡(jiǎn)化題型。

“數(shù)”與“形”的相結(jié)合，克服了“數(shù)”的抽象性與“形”的不完全性兩者之間的自身的缺點(diǎn)?！皵?shù)”與“形”相輔相成，挖掘題目中的隱含條件，以便充分理解題意，啟迪思路，理順解題線索。

盡管我們是站在偉人的肩膀上來(lái)研究數(shù)學(xué)的，但也不能停滯不前。以上證明數(shù)形結(jié)合思想的典型例題和方法，說(shuō)明時(shí)代的進(jìn)步，數(shù)學(xué)的進(jìn)步都離不開更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法。進(jìn)而這個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)還需要我們這些后輩們繼承光榮成果，繼續(xù)研究數(shù)學(xué)的奧秘，這條道路是曲折而漫長(zhǎng)的。

參考文獻(xiàn)

[1] 李志強(qiáng)·談數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想[J].教育研究，2010，（1）.

[2] 肖文華·數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo) 刊，2012（18）.