滑模變結(jié)構(gòu)控制在凹版印刷機(jī)中的應(yīng)用

劉曉燕 楊 瑤 李秉晨

1.湖南鐵路科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院鐵道工程與信息學(xué)院湖南 株洲 412006

2. 湖南中醫(yī)藥高等專科學(xué)校護(hù)理系湖南 株洲 412012

3. 湖南工業(yè)大學(xué)軌道交通學(xué)院湖南 株洲 412007

0 引言

凹版印刷機(jī)是包裝印刷行業(yè)的重要設(shè)備之一[1]。盡管我國在1990年就生產(chǎn)了第一臺(tái)具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的凹版印刷機(jī)[2]，然而我國凹版印刷技術(shù)和設(shè)備與發(fā)達(dá)國家的還存在一定差距，多色套印系統(tǒng)的準(zhǔn)確度、印刷設(shè)備的穩(wěn)定性等有待提高。因而研制一種適用于國產(chǎn)凹版印刷機(jī)的高精度自動(dòng)套印系統(tǒng)，是提高我國凹印技術(shù)的關(guān)健。

基于傳統(tǒng)PID控制器的套準(zhǔn)系統(tǒng)已不能滿足高速高精的生產(chǎn)要求[3]。為此，國內(nèi)許多專家學(xué)者開展了眾多相關(guān)的研究。李坤全等[4]針對(duì)凹版印刷機(jī)放卷系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一個(gè)模糊自抗擾控制器，有效提高了系統(tǒng)控制的穩(wěn)定性和抗干擾性。Chen Z. H.等[5]設(shè)計(jì)了基于模型的前饋比例微分控制器，有效減少了由張力波動(dòng)引起的套準(zhǔn)誤差。Zhang E. P.等[6]提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的主動(dòng)擾動(dòng)抑制控制策略，并將其應(yīng)用于凹版印刷機(jī)的套印校正系統(tǒng)中。劉小剛等[7]針對(duì)凹版印刷機(jī)的無軸傳動(dòng)多軸同步控制系統(tǒng)，提出了模糊分?jǐn)?shù)階PID控制方法，極大改善了系統(tǒng)穩(wěn)定性。劉成等[8]設(shè)計(jì)了二階自抗擾控制器，實(shí)現(xiàn)了印刷色組單元的高精度控制。Huang G.等[9]提出了一種基于等價(jià)輸入干擾的未知外部干擾抑制方法，有效提高了系統(tǒng)對(duì)時(shí)變外部干擾的魯棒性。陳銀環(huán)[10]設(shè)計(jì)了一種相鄰交叉耦合控制策略，有效補(bǔ)償了凹版印刷機(jī)滾軸的跟蹤誤差及多軸之間的同步誤差。

盡管上述方法在提高凹版印刷機(jī)的套印精度方面取得了很好的效果，但它們的控制精度嚴(yán)重依賴于被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型。滑模變結(jié)構(gòu)控制方法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)、外界擾動(dòng)及數(shù)學(xué)模型不準(zhǔn)確具有很好的魯棒性[11-12]。基于此，本課題組擬以自動(dòng)套印系統(tǒng)中交流永磁同步伺服電機(jī)（permanent magnet synchronous motor，PMSM）為被控對(duì)象，采用基于比例切換控制策略的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，并對(duì)其仿真結(jié)果進(jìn)行分析比較，以期為自動(dòng)套印系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供參考。

1 系統(tǒng)模型

套印準(zhǔn)確是印刷的最基本要求，但由于各種因素的影響，套印不可避免地存在一定的偏差。PMSM以其體積小、功率因數(shù)高、響應(yīng)快速及維護(hù)容易等優(yōu)勢(shì)廣泛應(yīng)用于包裝印刷機(jī)械中[13]。因此，本課題組采用永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)伺服系統(tǒng)調(diào)整定位技術(shù)來修正套印誤差。其工作原理為：每個(gè)印刷單元配一臺(tái)永磁同步伺服電機(jī)，先檢測套印誤差，再根據(jù)控制算法計(jì)算驅(qū)動(dòng)電機(jī)的修正值，并調(diào)整修正輥的移動(dòng)以補(bǔ)償套印誤差。

兩相靜止αβ坐標(biāo)系下PMSM的數(shù)學(xué)模型[14]可描述為：

式中：iα、iβ分別為α、β軸定子電流；uα、uβ分別為α、β軸定子電壓；Lα、Lβ分別為α、β軸定子電感；Rs為定子電阻；ψr為永磁體磁鏈；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；θ為電機(jī)轉(zhuǎn)子位置。

定子電感為

式中Ld、Lq分別為d、q軸定子電感。

電磁轉(zhuǎn)矩（Te）為

式中：iq為q軸定子電流；np為極對(duì)數(shù)。

機(jī)械方程為

式中：Tl為永磁同步電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B為轉(zhuǎn)矩阻尼系數(shù)；ωm為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；Bωm為阻尼轉(zhuǎn)矩。

由于三相交流永磁同步伺服電機(jī)具有較強(qiáng)的耦合性和嚴(yán)重的非線性，且某些電氣參數(shù)具有可變性，因此該伺服系統(tǒng)的模型較為復(fù)雜。本課題組選取位置伺服系統(tǒng)的近似傳遞函數(shù)[15]，即

式中：Θ(s)、U(s)分別為位置θ和定子電壓u的拉普拉斯變換；K為位置伺服單元系數(shù)；T為速度伺服單元時(shí)間常數(shù)。

2 滑模控制器設(shè)計(jì)

對(duì)交流傳動(dòng)等快速變化的非線性復(fù)雜系統(tǒng)，專家學(xué)者已經(jīng)提出了各種控制方案。這些控制方案雖然解決了一些問題，但新的矛盾也涌現(xiàn)出來。有些方案因算法太復(fù)雜、穩(wěn)定性及收斂性難以證明而不能實(shí)用。因此對(duì)快速變化的復(fù)雜工業(yè)系統(tǒng)，研究一種工程實(shí)用的有效控制方法是急待解決的問題[4]。

滑模變結(jié)構(gòu)控制方法響應(yīng)快，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和外部干擾呈不變性，這保證了系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。尤其可貴的是其算法簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)[16]。因此，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計(jì)伺服系統(tǒng)的位置控制器。其中，電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角θ是控制對(duì)象的輸出量，定子電壓u是其輸入量，參數(shù)K、Ts+1可以通過系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)測得。為構(gòu)建一個(gè)簡單而有效的滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)，本課題組采用比例切換控制策略。

采用比例切換控制策略后，式（6）可表示為

式中：a1=0；a2=1/T；b=K/T。設(shè)b=133，a2=25，可得電機(jī)參數(shù)T=0.04 s，K=5.32。

輸入量u為

對(duì)于位置伺服系統(tǒng)[17]，

式（9）～（10）中：α′、β′為待求解的控制增益；θr為給定的角位移；θ為實(shí)際的角位移。

根據(jù)廣義滑模條件

式（10）表示在有限時(shí)間內(nèi)滑模面外的任意點(diǎn)必可到達(dá)滑模面。

反饋控制系統(tǒng)要求系統(tǒng)在進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)區(qū)后的運(yùn)動(dòng)必須是漸進(jìn)穩(wěn)定的，因此需確定恰當(dāng)?shù)那袚Q函數(shù)s，使得其滿足：

滑模面為

可得：

取c1=30，可得α′=500，β′=10。

3 系統(tǒng)仿真結(jié)果與分析

3.1 被控對(duì)象為時(shí)不變系統(tǒng)

在本設(shè)計(jì)中，系統(tǒng)的魯棒性可以通過比較被控對(duì)象即電機(jī)參數(shù)（T,K）改變前后的響應(yīng)特征曲線進(jìn)行衡量。若系統(tǒng)具有強(qiáng)魯棒性，則在電機(jī)參數(shù)發(fā)生變化后仍然具有很好的動(dòng)態(tài)、靜態(tài)性能。實(shí)驗(yàn)時(shí)，輸入采用單位階躍響應(yīng)。

1）T值不變，改變K值

圖1為參數(shù)K值變化時(shí)（K值減少20%和增加20%）的系統(tǒng)響應(yīng)曲線。圖中，曲線1為參數(shù)K變化前的響應(yīng)曲線，曲線2為參數(shù)K變化后的響應(yīng)曲線。

圖1 K值變化時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig. 1 System response curve with changes in K

由圖1可知，當(dāng)T值不變時(shí)，K取值越小，系統(tǒng)的響應(yīng)越快，且與輸出給定值的誤差越小。

2）K值不變，改變T值

圖2為參數(shù)T值變化時(shí)（T值減少20%和增加20%）的系統(tǒng)響應(yīng)曲線。圖中，曲線1為參數(shù)變化前的響應(yīng)曲線，曲線2為參數(shù)變化后的響應(yīng)曲線。

圖2 T值變化時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig. 2 System response curve with changes in T

由圖2可知，當(dāng)K值不變，T值越大，系統(tǒng)的控制性能越好，響應(yīng)越快，且與輸出給定的誤差越小，但T值不能太大，太大會(huì)出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象。

通過上述改變T、K的仿真結(jié)果可得：基于比例切換控制策略的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法能夠較好地克服永磁同步伺服電機(jī)參數(shù)變化帶來的影響，系統(tǒng)具有較好的魯棒性和跟蹤精度。

3.2 被控對(duì)象為時(shí)變系統(tǒng)

交流伺服系統(tǒng)中永磁同步電機(jī)具有強(qiáng)耦合和嚴(yán)重的非線性，且部分電氣參數(shù)可變。也就是說，除對(duì)上述時(shí)不變系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行討論分析外，還有必要研究時(shí)變系統(tǒng)的輸出情況。

設(shè)電機(jī)參數(shù)如下：

輸入分別為方波信號(hào)和正弦波信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)情況如圖3所示。

圖3 不同信號(hào)作用下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線Fig. 3 System response curve under different signals

由圖3可知，當(dāng)被控對(duì)象參數(shù)按非線性變化時(shí)，基于比例切換滑模變結(jié)構(gòu)控制方法的永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)仍然有著很好的動(dòng)態(tài)跟隨性能。

3.3 兩種控制方式的比較

當(dāng)控制器分別采用PI控制器和滑模變結(jié)構(gòu)控制器時(shí)，本課題組對(duì)其系統(tǒng)性能進(jìn)行對(duì)比分析。為使兩種控制方式具有可比性，將被控對(duì)象校正成典型II型系統(tǒng)。按閉環(huán)幅頻特性峰值Mr最小準(zhǔn)則，取頻寬h=5，以確定PI控制器參數(shù)。設(shè)計(jì)PI控制器時(shí)，比例系數(shù)Kp越大，系統(tǒng)超調(diào)量變大，但系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，可以獲得盡可能小的穩(wěn)態(tài)誤差；積分系數(shù)Ki越大，積分作用越弱，系統(tǒng)超調(diào)量變小，但系統(tǒng)響應(yīng)速度變慢。綜合考慮超調(diào)量不會(huì)過大的情況下，系統(tǒng)能有相對(duì)較高的系統(tǒng)響應(yīng)速度，選擇控制器增益：Kp=19.94，Ki=1。

圖4為兩種控制方式下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。

圖4 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線Fig. 4 System step response

由圖4可知，采用PI控制器的系統(tǒng)響應(yīng)在0.9 s后達(dá)到給定值，而采用滑模變結(jié)構(gòu)控制器的系統(tǒng)響應(yīng)在0.2 s后就達(dá)到給定值。可見，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制器的系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間明顯小于采用PI控制器的（兩者相差0.7 s），且采用PI控制器的系統(tǒng)有較明顯的超調(diào)現(xiàn)象。

圖5為兩種控制方式下系統(tǒng)的擾動(dòng)響應(yīng)曲線。

圖5 系統(tǒng)擾動(dòng)響應(yīng)曲線Fig. 5 System disturbance response

由圖5可知，在1 s時(shí)加入擾動(dòng)，采用PI控制器的系統(tǒng)響應(yīng)有較明顯的波動(dòng)，且需要較長一段時(shí)間（約0.4 s）才能重新達(dá)到原來的穩(wěn)定值；而采用滑模變結(jié)構(gòu)控制的系統(tǒng)響應(yīng)曲線未出現(xiàn)波動(dòng)，在擾動(dòng)下依然能夠很好地穩(wěn)定跟蹤給定值。

4 結(jié)語

本課題組以凹版印刷機(jī)套印系統(tǒng)中交流伺服系統(tǒng)為控制對(duì)象，為確保系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)的速度穩(wěn)定性、電流快速性和位置準(zhǔn)確性，設(shè)計(jì)了基于比例切換控制策略的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法。著重討論了被控對(duì)象為時(shí)不變和時(shí)變時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)情況，并對(duì)PI控制和滑模變結(jié)構(gòu)控制兩種控制方式下系統(tǒng)的響應(yīng)、過渡時(shí)間、超調(diào)、抗干擾能力等進(jìn)行了仿真分析。理論分析與仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)方法能對(duì)具有數(shù)學(xué)模型不精確、非線性、強(qiáng)耦合的被控對(duì)象進(jìn)行控制，極大提高了伺服控制系統(tǒng)的性能。