基于改進Johnson-Cook模型的Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金高溫流變行為研究

劉 暢 陳小敏 陳書涵 陳建兵

1. 長沙理工大學

創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育學院

湖南 長沙 410114

2. 長沙理工大學

汽車與機械工程學院

湖南 長沙 410114

0 引言

鎂合金以其較低的密度、優(yōu)越的阻尼特性、較高的比強度等特點，在航空航天、電子、交通運輸?shù)阮I域得到了廣泛應用[1-2]。鎂合金的加工和強化主要依靠熱塑性變形，經(jīng)過塑性加工后得到的變形鎂合金，其綜合性能可以得到顯著提升[3-5]。因此，鎂合金的熱變形規(guī)律及其熱加工工藝優(yōu)化具有十分重要的研究價值。

本構模型是描述金屬材料加工變形規(guī)律的一種數(shù)學模型，能夠定量分析金屬材料熱變形的流動應力與各變形參數(shù)之間的關系[6-7]。根據(jù)模型建模思想的不同，可將金屬材料本構關系模型大致分為唯象學模型、物理基模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型[8]。在唯象學本構模型中，較為常用的有Zerilli-Armstrong（Z-A）模型[9]、Arrhenius-Type模型[10]和 Johnson-Cook模型等。其中Johnson-Cook模型考慮了材料在實際加工過程中，影響材料流動應力大小的3種主要因素，因而得到了廣泛的應用[11]。Lin Y. C. 等[12]通過單軸拉伸試驗研究了一種高強合金的熱變形行為，并建立了描述合金流變應力與應變速率以及變形溫度關系的Johnson-Cook模型。Jia Z. 等[13]研究了AA6016-T6合金，在0.001～100 s-1應變速率下的動態(tài)力學性能及斷裂特征，建立了反映應變速率影響的修正Johnson-Cook模型。A. Shokry等[14]總結了不同動態(tài)加載條件下4種類別合金的應力-應變關系，提出了一種改進的通用Johnson-Cook模型（PMJC模型），并對模型的準確性進行了驗證。改進的Johnson-Cook模型都是選取參考溫度和應變速率下的應力-應變關系作為基準，再綜合考慮其它變形條件下的應力變化情況，最后得到能夠適用于所有變形參數(shù)下的流變應力本構方程[15]。因此，改進的Johnson-Cook模型可以準確預測不同變形條件下各類金屬的流變應力，但應用于稀土鎂合金熱變形行為的研究較少。

本文以實驗室制備的Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金為研究對象，借助恒溫等應變速率高溫拉伸實驗，研究該合金的熱變形行為。基于其不同變形條件下的真應力-真應變曲線，建立了一種改進的Johnson-Cook模型，以期為Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金的加工工藝參數(shù)優(yōu)化，以及有限元數(shù)值模擬提供模型基礎。

1 實驗

1.1 實驗材料與實驗儀器

實驗材料為Mg-5.5Gd-4.4Y-1.1Zn-0.5Zr合金，由長沙理工大學實驗室制備。

熱模擬試驗機，Gleeble-1500，美國DSI公司。

1.2 實驗過程

在400 ℃的溫度下將Mg-5.5Gd-4.4Y-1.1Zn-0.5Zr合金擠壓成 Ф400 mm的棒材，并根據(jù)ISO 783—1999《金屬材料高溫拉伸試驗》標準，加工成標準試樣。利用Gleeble-1500熱模擬試驗機進行高溫拉伸實驗，變形參數(shù)設置：溫度分別為250, 300, 350, 400℃，應變速率分別為0.001, 0.01, 0.1, 1 s-1。先將試樣以10 ℃/s的速率加熱至所設置的拉伸實驗溫度，保溫3 min后開始加載；將試樣以恒定的溫度和應變速率拉伸直到斷裂。

2 實驗結果與分析

2.1 應力應變曲線分析

圖1為高溫拉伸實驗得到的Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金的真應力-真應變曲線。

圖1 合金的真應力-真應變曲線Fig. 1 True stress-true strain curve of the alloy

由圖1可知，分別在變形溫度T=250 ℃以及應變速率= 0.001 s-1的變形條件下，Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金的流變應力曲線全部呈現(xiàn)出大致相同的變化趨勢，應變、變形溫度和應變速率均顯著影響流變應力的大小。在變形初始階段，受加工硬化作用的影響，合金的流變應力快速增大；隨著應變的增加，累積的變形儲能加快了動態(tài)再結晶的進行，導致流變應力在達到峰值之后趨于穩(wěn)定。各變形條件下的流變曲線均在應變ε=0.2之后進入流變穩(wěn)態(tài)階段。由于本構方程描述的是材料在穩(wěn)態(tài)流變階段的流變應力與溫度、應變速率等因素的關系，因此本文選取應變ε在0.2～0.8范圍內(nèi)的實驗數(shù)據(jù)作為建模依據(jù)。

2.2 Johnson-Cook 模型

Johnson-Cook模型認為在金屬材料塑性變形過程中，其流變應力的大小主要受應變速率硬化、應變硬化與熱軟化的影響。因此，該模型將應變速率、應變和變形溫度3種參數(shù)分別引入到方程中，其形式為

原始的Johnson-Cook模型（式（1））參數(shù)較少，且都具有明確的物理意義，計算方便。但原始的 Johnson-Cook模型僅能在參考應變率和參考溫度下才顯示出良好的預測結果。其主要原因是原始模型假設了應變硬化、應變速率硬化和熱軟化是3個不相關的因素，忽略了應變、應變速率和變形溫度之間的相互影響。

2.3 改進的Johnson-Cook 模型

基于原始的Johnson-Cook模型，并針對材料熱塑性變形過程中溫度、應變速率與應變3種影響因素的耦合效應，對模型進行改進。改進后的模型為

式中A1、B1、B2、B3、C、λ1、λ2均為無實際物理意義的材料常數(shù)。

分別選取 250 ℃（523 K）和 0.001 s-1作為改進的 Johnson-Cook 模型的參考變形溫度和參考應變速率。當變形溫度和應變速率均取參考值時，可以將式（2）改寫為

通過對參考溫度和參考應變速率下的應變、應力值進行多項式擬合，可求得擬合曲線各項的系數(shù)，即為模型（3）各參數(shù)A1、B1、B2、B3的值，如圖 2 所示。

圖2 參考溫度和參考應變速率下流變曲線的多項式擬合Fig. 2 Polynomial fitting of rheological curves at reference temperature and reference strain rate

當T=250 ℃（523 K）時，式（2）改寫為

圖3 參考變形溫度下 σ/(A1 + B1ε + B2ε2 + B3ε3)與ln 的線性關系Fig. 3 The linear relationship between σ/(A+ Bε + Bε2 +1 12 B3ε3) and lnat the reference deformation temperature

令λ=λ1+λ2ln，λ是與應變速率相關的材料常數(shù)，對于給定的應變速率，λ可以被看作是一個定值。式（2）可改寫為

對式（5）兩邊取自然對數(shù)得

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，本文可以得到不同應變速率下，ln{σ/[(A1+B1ε+B2ε2+B3ε3)(1+Cln)]}與T-Tref的數(shù)據(jù)點，并將其進行線性擬合，結果如圖 4 所示。

圖4 不同應變速率下 ln{σ/[(A1 + B1ε + B2ε2 + B3ε3)·(1+Cln )]}與T-Tref的線性關系Fig. 4 Linear relationship between ln{σ/[(A1 + B1ε + B2ε2 + B3ε3)(1+Cln)]}and T-Tref at different strain rates

根據(jù)圖4中的線性擬合關系，可以得到應變速率分別為 0.001, 0.01, 0.1, 1 s-1時模型（6）中參數(shù)λ的值，結果如表1所示。

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)描點，并進行線性擬合，結果如圖5所示。根據(jù)λ與ln的擬合直線，可計算出λ1和λ2的值。

表1 不同應變速率下參數(shù)的取值Table 1 Values of parameter under different strain rates

圖5 λ 與 ln 的關系Fig. 5 The relationship between λ and ln

綜上所述，可求得改進Johnson-Cook模型（式（2））的參數(shù)，如表2所示。

表2 改進Johnson-Cook模型的參數(shù)值Table 2 The parameter values of improved

2.4 模型預測精度分析

不同變形條件下，Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金的流變應力，即改進Johnson-Cook模型的預測值與實驗值，如圖6所示。

圖6 不同變形條件下合金的流變應力模型預測值與實驗值比較Fig. 6 Comparison of predicted value and experimental value of alloy flow stress under different deformation conditions

為了進一步評估改進模型的預測精度，特引入相關度（R）和平均相對誤差（Δ）來定量分析[16]。相關度作為反映變量之間線性相關程度的指標，在這里用來表示改進模型預測值與實驗值之間的符合程度。相關度高不一定表明預測值與實驗值吻合準確，還有可能出現(xiàn)數(shù)值的偏離。平均相對誤差指相對誤差的平均值，在這里用來表示模型預測值與實驗值的偏離程度。

相關度和平均相對誤差的數(shù)學表達式為

式中：σexp為熱拉伸實驗得到的流變應力值；

σp為改進Johnson-Cook模型的預測值；

N為選取的觀測點數(shù)量。

將不同變形條件下的預測值與實驗值代入式（7），并將二者在Origin軟件中進行比較分析，所得結果如圖 7 所示。

圖7 改進模型的預測值與實驗值的相關度Fig. 7 The correlation between the predicted value of the improved model and the experimental value

通過計算可得，改進Johnson-Cook模型的預測值與實驗值的相關度為0.994，平均相對誤差為4.5%，這表明該模型能夠準確預測Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金不同變形條件下的流變應力。

3 結論

綜上所述，可得如下結論：

1）在Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金高溫變形過程中，應變速率的升高和變形溫度的降低均會導致合金的流變應力明顯升高。合金流變曲線顯示出典型的動態(tài)再結晶軟化機制，且在較高的變形溫度（350, 400 ℃）及較低的應變速率（0.001, 0.01 s-1）下，動態(tài)再結晶軟化效果明顯。

2）基于實驗得到的流變曲線，并綜合考慮了熱軟化、應變速率硬化和應變硬化3種因素的影響，建立了Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金改進的Johnson-Cook模型。將改進模型的預測值與實驗值進行對比，可知模型預測值與實驗值的相關度（R）達到了0.994，平均相對誤差（Δ）只有4.5%，表明模型的精度較高，能夠準確地描述和預測Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金的高溫流變應力。