基于MATLAB 的整體式轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

趙振全，曹 智，汪兆興，韓國強(qiáng)，屠 強(qiáng)

（1.沈陽航空航天大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110136；2.沈陽航達(dá)機(jī)載設(shè)備有限公司 設(shè)計(jì)所，遼寧 沈陽 110048）

汽車轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)在汽車設(shè)計(jì)中占據(jù)重要的地位，轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)直接影響汽車的轉(zhuǎn)向性能，合理的設(shè)計(jì)可以保證汽車在轉(zhuǎn)向時(shí)內(nèi)、外轉(zhuǎn)向輪盡可能作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，從而減小輪胎的磨損，保證良好的轉(zhuǎn)向性能并提高汽車的操縱穩(wěn)定性。本文以某型地面保障設(shè)備的整體式后置轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例，通過建立轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化的平面數(shù)學(xué)模型，以MATLAB 軟件作為主要優(yōu)化工具進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，獲得了理想的優(yōu)化結(jié)果。

1 整體式轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)建模與特性計(jì)算

1.1 整體式轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)建模

1.1.1 基本假設(shè)

本文以整體式轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)作為研究對(duì)象，在合理的范圍內(nèi)，為了使所求的目標(biāo)函數(shù)不過于復(fù)雜，便于設(shè)計(jì)計(jì)算，作出如下基本假設(shè)：①忽略轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)零部件之間的空間夾角和間隙；②假設(shè)車輪為剛性，忽略輪胎彈性側(cè)偏等對(duì)轉(zhuǎn)向特性的影響；③忽略車輪定位參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的影響。

1.1.2 理想的轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角函數(shù)

理想的整體式轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的理論基礎(chǔ)是阿克曼轉(zhuǎn)向原理。阿克曼轉(zhuǎn)向原理的特點(diǎn)是：汽車在直線行駛時(shí)，轉(zhuǎn)向輪和定向輪的軸線是相互平行的，并且都與汽車縱向中心面垂直；汽車在轉(zhuǎn)向行駛時(shí)，轉(zhuǎn)向輪和定向輪都繞同一個(gè)瞬時(shí)中心做圓周滾動(dòng)。理想的內(nèi)、外側(cè)轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)向角關(guān)系簡(jiǎn)圖如圖1 所示，圖中θi表示內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向輪的轉(zhuǎn)角，θo表示外側(cè)轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角，K 表示主銷間距（兩主銷中心線延長(zhǎng)線到地面交點(diǎn)之間的距離），L 表示設(shè)備的軸距。

圖1 理想的內(nèi)、外側(cè)轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)向角關(guān)系簡(jiǎn)圖

若要保證所有車輪在轉(zhuǎn)向時(shí)都以同一個(gè)瞬時(shí)轉(zhuǎn)向中心行駛，則轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)應(yīng)保證內(nèi)、外側(cè)轉(zhuǎn)向輪的轉(zhuǎn)向角有如下關(guān)系：

若取θo為自變量，則因變量θi的期望值為：

1.1.3 實(shí)際的轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角函數(shù)

實(shí)際情況下，組成轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的各個(gè)零部件之間存在著各種誤差，轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)只能近似地滿足上述理想情況下的轉(zhuǎn)角函數(shù)。轉(zhuǎn)向時(shí)內(nèi)、外側(cè)轉(zhuǎn)向輪實(shí)際的轉(zhuǎn)角關(guān)系如圖2 所示。圖中實(shí)線四邊形ABFE 是轉(zhuǎn)向前的轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)形狀，虛線四邊形ABF1E1是外側(cè)轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)過θo以后的轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)形狀。

圖2 轉(zhuǎn)向時(shí)內(nèi)、外側(cè)轉(zhuǎn)向輪實(shí)際的轉(zhuǎn)角關(guān)系

聯(lián)立式（3）～（7）得內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向輪實(shí)際轉(zhuǎn)角：

式中：m 為轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的臂長(zhǎng)；γ 為轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的底角；θo表示外側(cè)轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角；表示內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向輪的實(shí)際轉(zhuǎn)角。

1.2 轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)特性計(jì)算

為了分析整體式轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)中內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向輪的實(shí)際轉(zhuǎn)角與理想轉(zhuǎn)角之間的誤差值，選取某型地面保障設(shè)備的整體式后置轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)作為實(shí)例分析：設(shè)備軸距L=1750mm ；主銷間距K=1030mm；轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的臂長(zhǎng)m=162mm；轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的底角γ=81°。應(yīng)用MATLAB 軟件對(duì)內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向輪的實(shí)際轉(zhuǎn)角與理想轉(zhuǎn)角進(jìn)行對(duì)比，在MATLAB 軟件上編輯的M 文件如圖3 所示，得到的運(yùn)行結(jié)果如圖4 所示。

圖3 輸出圖形程序

圖4 化前的內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向輪的實(shí)際轉(zhuǎn)角與理想轉(zhuǎn)角

從圖4 中可以看出，隨著外側(cè)轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角的增大，內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向輪的實(shí)際轉(zhuǎn)角與理想轉(zhuǎn)角的偏差會(huì)逐漸增大，尤其是在外側(cè)轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角達(dá)到極限位置時(shí)，偏差也達(dá)到了最大值。而某型地面保障設(shè)備在轉(zhuǎn)向時(shí)，牽引桿往往處于轉(zhuǎn)向極限位置，而此時(shí)輪胎的側(cè)滑情況最為嚴(yán)重，輪胎磨損嚴(yán)重。

2 轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 確定目標(biāo)函數(shù)

將（2）式和（8）式代入（9）式得

在MATLAB 軟件上編輯目標(biāo)函數(shù)f（x）的M 文件，內(nèi)容如圖5 所示。

圖5 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

2.2 確定約束條件

在轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，當(dāng)設(shè)計(jì)變量轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的臂長(zhǎng)m 及轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的底角γ 過小時(shí)，會(huì)造成轉(zhuǎn)向橫拉桿上的轉(zhuǎn)向力過大；當(dāng)m 過大時(shí)，會(huì)使轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)過大，影響整體布局，所以對(duì)m 的上下限設(shè)置約束條件；當(dāng)γ 過大時(shí)，轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)近似于矩形，使得目標(biāo)函數(shù)值越來越偏離理想值，所以對(duì)γ 的上下限設(shè)置約束條件。綜上所述，設(shè)計(jì)變量的約束條件為：

此外，由機(jī)械原理知識(shí)可知，四連桿機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)角δ 不宜過小，通常取δ≥δmin=40。如圖2 所示，轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)在汽車右轉(zhuǎn)彎到極限位置時(shí)，δ≥δmin即可。利用該圖所做的輔助虛線及余弦定理，可推出最小傳動(dòng)角約束條件為

式中：δmin為最小傳動(dòng)角；δmin為設(shè)計(jì)變量m 及γ 的函數(shù)。

在MATLAB 軟件上編輯目標(biāo)函數(shù)f（x）的優(yōu)化約束條件的M 文件，內(nèi)容如圖6 所示。

圖6 優(yōu)化約束條件

2.3 優(yōu)化結(jié)果分析

運(yùn)用 MATLAB 優(yōu)化工具箱中的fmincon 有約束的非線性最小化函數(shù)，編輯好主程序、初始點(diǎn)及設(shè)計(jì)變量m 及γ 的上下限，內(nèi)容如圖7 所示。

圖7 優(yōu)化主程序

運(yùn)行該M 文件，MATLAB 軟件就會(huì)對(duì)該轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化分析，最后得出最優(yōu)解，如圖8 所示。

圖8 優(yōu)化結(jié)果

由圖8 可知，優(yōu)化后的轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的梯形臂長(zhǎng)m=179.9727mm，梯形底角γ=71.0512°。對(duì)參數(shù)取整后得梯形臂長(zhǎng)m=180mm，梯形底角γ=71°。

應(yīng)用MATLAB 軟件對(duì)內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向輪的理想轉(zhuǎn)角與優(yōu)化前后轉(zhuǎn)角進(jìn)行對(duì)比，在MATLAB 軟件上編輯的M 文件如圖9 所示。根據(jù)圖10 所示的運(yùn)行結(jié)果，相比于優(yōu)化前的曲線，優(yōu)化后的曲線更加接近理想曲線，達(dá)到了優(yōu)化的效果。

圖9 輸出圖形程序

圖10 內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向輪的理想轉(zhuǎn)角與優(yōu)化前后轉(zhuǎn)角

3 結(jié)論

本文主要選取某型地面保障設(shè)備的整體式后置轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)作為分析對(duì)象，通過轉(zhuǎn)向特性阿克曼轉(zhuǎn)向原理建立了整體式轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化的平面數(shù)學(xué)模型，確定了轉(zhuǎn)向梯形的特性函數(shù)、優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)及約束條件，運(yùn)用MATLAB 優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)求得最優(yōu)解。

利用Matlab 軟件作為優(yōu)化設(shè)計(jì)工具，避免了繁瑣的程序設(shè)計(jì)與調(diào)試，縮短了研發(fā)周期及成本，優(yōu)化結(jié)果清晰明了。此方法對(duì)新轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和舊轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的改進(jìn)都有很大的指導(dǎo)作用。