基于CEEMD-ARIMA的中美雙邊貿易額組合預測

朱彥名 張振華

摘要：文章使用互補集合經驗模態分解（CEEMD）和自回歸移動平均（ARIMA）組合預測模型對中美雙邊貿易進出口總額進行建模預測。傳統ARIMA模型的擬合精度較低，CEEMD-ARMA組合相比傳統時間序列模型預測精度更高，有效解決了原始數據的非平穩性。仿真結果表明，該模型優于其他模型，能夠以一定的精度預測中美雙邊貿易額走勢。

關鍵詞：CEEMD;ARIMA;組合預測;中美雙邊貿易額

一、引言

改革開放以來，我國的經濟迅速發展，進出口貿易的快速增長功不可沒。對外貿易作為拉動經濟發展的三輛馬車之一，合理的預測其發展走勢是必不可少的，這對制定未來貿易戰略方針具有重大的指導性作用，對外貿易市場的進一步擴大，參與全球化經濟競爭，保證我國經濟平穩快速增長，保證國民經濟平穩增長具有積極的意義。

進出口貿易是拉動經濟增長和實現對外交流的重要工具，近年來我國對外貿易發展迅速，尤其是出口經濟。但隨著國際形勢的日益復雜化和我國高新技術產業核心競爭力升級，近年來中美貿易摩擦日益嚴重。美國以“貿易逆差”為由對中國發動貿易戰，實則是為了遏制中國的崛起。自2018年3月以來，美國針對中國推出三輪提高關稅政策。另一方面，美國指責中國“竊取知識產權”和“強迫技術轉讓”，體現出美國試圖妨礙中國發展高新技術。中美關稅增加，貿易摩擦的產生必然對中美雙邊貿易產生影響。科學預測中美貿易的發展趨勢，對我國制定中美貿易戰略方針有著一定指導性作用。

目前針對進出口貿易額的預測應用分析，我國學者所選擇的預測方法各有不同，但預測方法多為單一模型。吳昕（2016）基于向量自回歸模型，采取定量與定性分析相結合的方式對我國進出口貿易趨勢進行了預測研究;陳銳（2015）基于“監督分組”主成分回歸對進出口貿易值與增速進行了預測?；貧w預測的缺陷在于只提取了線性規律而對非線性規律則無法進一步進行挖掘。杜江（2010）基于模糊時間序列模型，針對我國對外貿易的進口水平進行了預測;陳蔚（2015）使用人工BP神經網絡方法和ARIMA模型，對我國對外貿易的進口與出口貿易額進行了預測;王雅琴（2018）采用時間序列分析和彈性分析法就中美貿易戰局勢下對我國煤炭進出口貿易額進行了預測。目前傳統單一模型預測結果的平均絕對百分誤差多在10%～40%間，為了提高預測的精度，近年來更多的學者將神經網絡、時間序列、支持向量機（SMV）、灰色預測、模糊算法等相結合，形成多方法并用的組合預測算法模型。舒服華（2018）運用小波變換和灰色DGM（2，1）模型相結合的方法預測我國進出口貿易總額。本文選用時間序列預測模型，結合適用于非平穩時間序列的CEEMD分解法構建組合預測模型，該模型相比其他模型能夠有效地解決時間序列數據的非平穩性問題，且預測精度更高。

二、相關模型理論

（一）時間序列模型

根據時間序列模型的建模步驟，首先對原時間序列需進行平穩性檢驗和白噪聲檢驗。

1. 時間序列預處理

（1）平穩性檢驗。圖檢驗法和單位根檢驗法是常見的平穩性檢驗方法。圖檢驗法利用了平穩序列具有短期相關的特性，對序列自相關系數進行觀察，若其較快衰減到零而后在零附近波動，則原序列為平穩的。而常見單位根檢驗法有DF檢驗、ADF檢驗和PP檢驗，若檢驗出原序列存在單位根，則序列為非平穩時間序列，反之則為平穩序列。在實際分析過程中，由于經濟發展趨勢，大多數的經濟時間序列都是非平穩的。因此要對原序列進行平穩化，若原序列為非平穩時間序列，可通過對數處理和差分處理等方式將非平穩時間序列平穩化。

（2）白噪聲檢驗。白噪聲檢驗也稱作純隨機性檢驗，其目的是檢驗原時間序列是否為白噪聲序列。白噪聲序列的特點是任意兩個時點的隨機變量都無關系，即原序列中沒有任何動態規律可以為人所用。因此白噪聲序列是無法進行預測分析的。只有通過白噪聲檢驗，也就是說原序列為非白噪聲序列，預測建模才有意義。

2. 平穩時間序列建模

（1）自回歸模型。p階自回歸過程AR（p）的表達式為：

Yt=c+■？覬iYt-i+εt（1）

自回歸模型討論的是t時刻的序列值Yt與過去時序值Yt-i和常數項c的相關關系，φi（i=1，2，…，p）表示自回歸系數，且φp≠0，εt表示殘差，殘差應符合白噪聲序列。

（2）移動平均模型。q階移動平均模型MA（q）的表達式為：

Yt=c+■θiεt-i+εt（2）

移動平均模型討論的是t時刻的序列值Yt與現在干擾值εt以及過去隨機干擾值εt-i的相關關系。εt為t時刻的干擾值，c表示常數，θi（i=1，2，…，q）表示移動平均系數，且θq≠0。

（3）自回歸移動平均模型。自回歸移動平均模型討論的是t時刻的序列值Yt與現在干擾值εt、過去隨機干擾值εt-i，以及過去時序值Yt-i和常數項c的相關關系，即ARMA（p，q）模型、表達式為：

Yt=c+■？覬iYt-i+εt-■θiεt-i（3）

3.非平穩時間序列建模

單整自回歸移動平均模型，即ARIMA（p，d，q）模型，表達式為：

（1-■？覬iBi）（1-B）dYt=（1+■θiBi）εi（4）

ARIMA模型可用于非平穩時間序列，其中p為自回歸系數，q為移動平均系數，d表示差分階數。實際上ARIMA（p，d，q）模型可從ARMA（p，q）模型通過d階差分得到，即將非平穩時序通過差分的方式使原序列平穩化，再采用ARMA模型進行建模的過程。

（二）CEEMD分解

1. EMD分解思想

經驗模態分解法，也可稱為EMD分解法是一種自適應信號時頻處理方法。EMD方法由N. E. Huang（1998，2009）提出，該分解方法適合處理非線性、非平穩信號序列。相比較于傳統的小波分解，EMD分解更能保持原有序列的信息，信號損失更小，且局部表現能力更優，更適合對高頻、非線性的經濟宏觀數據進行處理。通過EMD方法分解得出來的分量被稱作本征模函數（Intrinsic Mode Function，簡稱IMF）。分解步驟如下：

（1）找出原始信號s（t）所有的極大值點，并將其用三次樣條函數擬合出原始信號的上包絡線;同理，找出信號所有極小值點，擬合出下包絡線。

（2）計算上下包絡線的均值，記為m1（t），那么原信號的第一個IMF分量為：

h1（t）=s（t）-m1（t）（5）

經驗模態分解法將信號分解為一系列表征時間尺度的IMF分量，使得各IMF分量是窄帶信號，即IMF分量必須滿足下面兩個條件：在整個信號程度上，極值點和過零點的數目必須相等或者至多只相差一個;在任意時刻，由極大值點定義的上包絡線和由極小值點定義的下包絡線的平均值為零，即信號的上下包絡線關于時間軸對稱。具體步驟如下：

找出原始信號x（t）所有的極值點，使用三次樣條函數擬合出原始信號的上包絡線emax（t）和下包絡線emin（t）;

計算上下包絡線均值，記為m1（t），用原始信號x（t）減去m1（t）：

m1（t）=（emintm1（t）+emaxm1（t））/2（6）

h1（t）=x（t）-m1（t）（7）

（3）對殘余的h1（t）作為原始信號重復上述步驟，直到得出的余量滿足以下兩個條件為止：函數在整個時間范圍內，局部極值點和過零點的數目必須相等，或最多相差一個;在任意時刻點，局部最大值的包絡（上包絡線）和局部最小值的包絡（下包絡線） 均值為零。此時得到第一個IMF分量，用IMF1（t）表示，此分量為原序列x（t）中最高頻分量。

h1k（t）=h1（k-1）（t）-m1k（t）（8）

c1（t）=h1k（t）（9）

（4）將分量IMF1（t）從原序列x（t）中剔除，得到殘余序列r1（t）：

r1（t）=x（t）-IMF1（t）（10）

將殘余序列r1（t）作為原始信號，重復上述步驟，則可以得到第二個分量IMF2（t），如此循環：

r2（t）=r1（t）-IMF2（t）（11）

rn（t）=rn-1（t）-IMFn（t）（12）

到此原始序列x（t）則被分解成n個IMF分量，其頻率由高頻逐漸到低頻，以及殘余函數rn（t），殘余函數rn（t）代表了序列的平均趨勢，

2. CEEMD基本思想

互補集合模態分解（complementary ensemble empirical mode decomposition，簡稱CEEMD）是由Yeh（2010）等人從EMD方法和EEMD方法不斷優化而來。相比EMD方法，他解決了EMD方法所存在的模態混疊效應與頻譜泄露問題，相比EEMD方法，他能更高效地抹去重組信號中的殘余輔助噪聲，在一定程度上提高了效率。其主要步驟為：

第一步：向原始序列x（t）中添加n組正、負成對的輔助白噪聲序列，得到

M■M■=1 11 -1x（t）N（13）

其中，N表示輔助白噪聲，加入白噪聲后重組數據為M1、M2。

第二步：對第一步處理后的數據進行EMD處理?？梢缘玫絀MFij，即第i個分量的第j個IMF。

第三步：計算均值得到

IMFj=■■IMFij（14）

其中，IMFj表示CEEMD分解后最終得到的第j個IMF分量，n為白噪聲組數。

三、實驗研究

（一）數據獲取

考慮數據的連續性及有效性，本文選取了2008年5月至2019年12月共140個數據作為本文核心數據，下文皆以此月度數據為核心，數據來源于中國商務部國別報告（https：//countryreport.mofcom.gov.cn/）。此外，為了提高預測結果的穩健性，本文選取了1985年第一季度至2020年第二季度共142個季度數據，數據來源于Wind數據庫。月度與季度數據原始數據時序圖（見圖1、圖2）。

（二）時間序列預測模型

1. 時間序列預處理

經濟學上的時間序列通常呈現非平穩性，通過觀察中美雙邊貿易進出口總額的時間序列圖，可以發現其整體存在著上升趨勢。本文采用ADF檢驗法對序列平穩性進行檢驗，ADF檢驗結果表明，t值為-2.401，均大于1%、5%、10%顯著水平下的臨界值，進一步表明中美雙邊貿易進出口總額時間序列為非平穩序列。

中美雙邊貿易的非平穩性通常是宏觀經濟波動和季節波動所造成的，欲將原始序列平穩化，本文先對原序列進行季節差分，再進行一階差分。差分處理后的數據如圖3所示，可見處理后的序列基本在零值附近波動，無明顯的上升趨勢。將處理后的序列再進行ADF檢驗，結果顯示，t值為-4.375，此時1%水平的臨界值為-3.493、5%水平的臨界值為-2.889、10%水平的臨界值為-2.581，t值小于各個顯著水平下的臨界值，同時p值小于0.01，表明處理后的序列不存在單位根。將處理后的時間進行Ljung-Box檢驗，發現其p值小于0.01，表明差分后的序列不是白噪聲序列。由此可見，經過預處理后的序列符合平穩非白噪聲序列，可以進行下一步建模。

2. 模型定階

中美雙邊貿易進出口總額時間序列進行差分后為平穩序列，建立ARIMA（p，d，q）模型，數據預處理中進行了季節差分和一階差分，因此可以將季節差分后的數據作為原始數據，再取差分階數d=1。由自相關函數圖和偏自相關系數圖（見圖4），可以確定模型中p與q的階數，本文的預選模型為ARIMA（2，1，2）和ARIMA（2，1，3）。

3. 建模

利用R.Studio軟件，本文分別對預處理后的數據進行ARIMA（2，1，2）和ARIMA（2，1，3）建模，參數估計的結果如表1所示。

根據表1可以看出，ARIMA（2，1，2）模型的AIC值比ARIMA（2，1，3）模型的AIC值更小，說明ARIMA（2，1，2）模型更優。因此本文選用ARIMA（2，1，2）模型進行預測。預測擬合結果如圖5所示，帶有“▲”的曲線表示原始序列，帶有“×”的曲線表示預測序列。均方誤差（MSE）為42.0707可見其預測性能一般，有待提高。

（三）CEEMD-ARIMA組合預測模型

1. 中美雙邊貿易進出口總額時間序列的經驗模態分解

根據CEEMD的分解算法，利用Python3.7軟件對中美雙邊貿易進出口總額時間序列進行分解。得到的各頻斷信號如圖6所示，從上至下第一項為原始信號圖，中間四項分別為IMF1到IMF4，自上而下頻率由高到低，最后一項為剩余分量。

用x（t）表示原始數據，rn表示殘余分量，則原始數據與各分量的數學關系為：

x（t）=■IMFi+rn（15）

2. 混合預測模型

中美雙邊貿易進出口總額時間序列為非平穩序列，運用傳統的時間序列模型預測存在一定的誤差。本文對時間序列進行CEEMD分解，可以有效地降低其非平穩性。如表2所示，經過ADF檢驗，分解出來的IMF1至IMF4分量均在0.01水平上顯著為平穩序列。如表3所示，經過Ljung-Box檢驗，IMF1為白噪聲序列，IMF2至IMF4分量在0.01水平上顯著通過白噪聲檢驗，因此對于IMF2至IMF4分量無需差分即對每一頻帶分別進行ARIMA模型預測，IMF1分量取0值，無需進行預測。

其擬合效果如圖7所示，從左至右以此為IMF2至IMF4分量的擬合圖，帶有“▲”的曲線表示原始序列，帶有“×”的曲線表示預測序列，由圖7可看出擬合效果非常好。

（四）誤差分析

為了體現誤差分析的穩健性，本文選用平均絕對百分誤差（MAPE）和均方誤差（MSE）作為指標來進行預測結果的分析對比，其數學表達式如式（16）、（17）所示。

MAPE=■■■×100%（16）

MSE=■■（xi-pi）2（17）

其中，xi表示原始序列的真實數據，pi表示預測結果，N為樣本數。

本文采用CEEMD分解法，從月度數據和季度數據兩個層面與傳統時間序列模型進行對比驗證，另外在模型定階上對比了ACF/PACF圖形定階法與自動定階法。得出的平均絕對百分誤差（MAPE）以及均方誤差（MSE）如表4所示。

從表4中可以看出，無論是季度數據還是月度數據，CEEMD-ARIMA組合預測模型的表現都明顯優于傳統時間序列模型，平均絕對百分誤差（MAPE）和均方誤差（MSE）也更小，因此采用CEEMD-ARIMA組合預測模型的精度更高，預測效果更佳。此外，對比月度數據和季度數據可以看出，在近乎相同數據量的情況下，時間跨度小的月度數據比跨度大的季度數據預測結果更加精確，因此用月度數據進行預測更加具有可靠性。

四、結語

本文采用了互補集合經驗模態分解與ARIMA的組合預測方法建模，較之于傳統的單一時間序列模型使用差分等方法處理序列的非平穩，采用分解的方式對原始序列的信息損失更小，且計算精度更高。通過對非平穩的中美雙邊貿易額的實際數據實驗對比，可以看出互補集合經驗模態分解與ARIMA的組合模型在非平穩時間序列預測中比傳統模型預測效果更加良好。

本文給予了中美兩國進出口貿易的預測，一方面發現月度數據比季度數據預測效果更好，另一方面驗證了CEEMD-ARIMA預測模型的實用性。能否就此將此方法應用在兩國出口貿易、進口貿易，乃至某行業某領域進出口貿易，還有待探究。

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*本文受全國統計科學研究重點項目資助（項目號2016LZ18）。

（作者單位：廣東外語外貿大學。張振華為通訊作者）