邊坡下限求解的突變分析方法

丁心香，李 帥，2

（1. 河南省交通規劃設計研究院股份有限公司，河南 鄭州 451450；2. 河南省交通運輸行業公路建設與養護技術、材料及裝備研發中心，河南 鄭州 451450）

邊坡的極限荷載或者破壞荷載一直是巖土工程領域研究的重點，目前解決該問題主要有3 類方法：極限平衡法，有限單元法和極限分析法。 綜合來說，3 類方法各具優劣，極限平衡法理論簡單、發展完善， 在實際工程中廣泛應用并積累了大量的經驗，但其無法考慮土體內部的應力－應變關系，并不總能滿足靜力平衡條件和土體強度條件[1-2]；有限單元法能夠在各種土層性質、本構關系、加載情況等條件下表示出土體內部各階段的力和位移，但由于單元間的“Locking”效應往往造成求得的極限荷載值無法保證邊坡安全性，并且其安全程度是無法預估的[3]；極限分析方法不受結構幾何形狀以及外覆荷載條件的制約，只針對結構的最終狀態按照一定的破壞規則即可獲得一個實用的荷載值，但其需要構建滿足要求的應力場或速度場，并同時求解塑性流動方程，利用解析法通常難以實現[4-6]。

極限分析法包括上限法和下限法，上限解條件下，邊坡可能安全也可能破壞，邊坡賦存狀態難以準確評定，存在一定安全隱患[7-8]；下限解則是一個完全意義上的安全解，下限解條件下邊坡結構也處于完全意義上的穩定狀態[9-11]，下限解更能符合現今工程中偏安全或偏保守的設計理念。 研究下限法的解析求解思路，同時消除下限解的解析求解過程相對復雜的弊端，能夠獲得更有指導意義和更為實用的下限解。

研究表明：邊坡的破壞模式是一種由于強度不足而引起的不穩定現象[12-13]，具體表現為邊坡失穩破壞存在臨界點，臨界點以前，邊坡表現為漸變；一旦超過臨界點，邊坡狀態即突然發生破壞，表現為突變。 利用非線性突變理論來描述邊坡這種漸變－突變特征，對邊坡失穩機制進行分析更接近實際情況[14-15]。

研究借助理想鉸接桁架假設， 基于邊坡漸變－突變演化特征， 建立極限荷載下限分析突變模型，進而獲得邊坡極限荷載的一個下限解，解決常規解析法難以求解下限的問題。

1 下限分析的應力不間斷條件

極限分析下限定理假定土體為理想彈塑性材料，通過放松某些特定約束條件，繞過土體發生變形的彈塑性階段，而直接通過最終狀態尋求塑性極限荷載。 下限定理可以描述為[7]：如果能在物體內找到靜力平衡應力場σijs與邊界上面力Ti相平衡，且滿足屈服條件， 則施加的荷載就可以由一個彈性－理想塑性材料來承擔，物體在面力Ti和體力Fi的共同作用下是穩定的，所有該類狀態下的應力場所給出的值都是安全的，滿足這些條件的應力場為靜力許可應力場，顯然，滿足靜力許可的應力場應能夠滿足下列條件：

1） 一定體積范圍內，滿足靜力平衡條件；

2） 一定體積范圍內，不違背屈服條件；

3） 應力邊界上滿足應力邊界條件。

在進行下限分析時，首先構建滿足靜力許可的應力場。 將土體劃分為若干個應力區，則每個應力區內均應該滿足平衡條件、屈服條件和應力不間斷條件[4]，即在間斷面上的正應力σ 和剪應力τ 必須是連續的，如圖1 所示。

圖1 相鄰區域應力不間斷Fig.1 Stress discontinuity between adjacent domains

這里需要指出的是，上述不間斷條件并不嚴格要求相鄰區域兩側的應力狀態必須連續。

圖2 為相鄰區域的莫爾圓， 可以看出，P1，P2分別表示區域Ⅰ和區域Ⅱ莫爾圓的極點，兩區域內的應力分量σn和τ 在應力間斷線A 處是相同的，但兩莫爾圓可以分別表示不同的應力狀態，σt的值可以不同。

圖2 相鄰區域莫爾圓Fig.2 Mohr circle between adjacent domains

2 邊坡極限荷載下限分析

由下限定理可以看出，若在屈服點以下存在滿足應力平衡狀態的應力場，那么外界荷載即可由一個彈性－理性塑性材料構成的結構物來承擔， 凡是這個應力場下的值都是安全的[7]。 在對邊坡荷載進行下限分析時，假定邊坡土體為均質、理想的塑性材料，且服從摩爾－庫倫強度準則和流動法則。

將邊坡視作承載楔體結構，如圖3，假設所有運動均發生在平面內，將邊坡極限荷載問題簡化為二維平面問題，為方便分析及對比，忽略土體自重。 承載楔體左右對稱，坡體外覆荷載Q 由理想鉸接桁架承擔。 根據以上條件構建滿足靜力要求的完整應力場分布，如圖4，應力場沿壓力軸線左右對稱，假定區域Ⅰ和區域Ⅲ處于雙向應力狀態，區域Ⅱ和區域Ⅳ分別處于單向應力P 和單向應力q′的作用，α、β代表的夾角如圖4 所示。

圖3 鉸接桁架結構圖Fig.3 Idea map of pin connected truss

圖4 桁架完整應力場Fig.4 Field of stress of truss

為方便起見，只對桁架左半部分的應力場進行分析，右側應力狀況與之對稱。 對三角形微元AOB所構成的應力場進行分析，如圖5 所示，作用在三角形微元AOB 上的荷載Q 由作用在微元上應力P和應力q 平衡，可以進一步推導出：當P 取最大值時，對應的Q 為其中一個最大下界，并且只需要滿足Ⅰ區域和Ⅱ區域內的應力狀態在屈服點以下，整個系統即為滿足要求的應力場分布，所得到的Q 值也就是結構上覆荷載其中的一個下限解。

圖5 結構微元AOB 的應力場分布Fig.5 Field of stress of domain AOB

當應力P 取其最大值時，假定此時Ⅱ區土體抗剪強度達到臨界值，結構處于臨界破壞階段，根據摩爾－庫倫強度準則可得

式中：c，φ 分別為土體黏聚力和內摩擦角。

考慮到所做論述均在平面范圍內，令LAB=1，則根據三角形角邊對應關系：LAB/sinβ=LBO/sin90°，得LBO=1/sinβ，則作用在微元AOB 斜邊BO 上的力可以表示為：Psin（α+β）×LBO=Psin（α+β）/sinβ；同理作用在微元AOB 水平方向的力可以表示為：q×LAO=q×cotβ。

進一步對微元AOB 受力進行分析， 如圖6，則根據AOB 垂直方向力的平衡條件可得

圖6 微元AOB 受力分析Fig.6 Load analysis of triangle infinitesimal AOB

結合相鄰區域Ⅰ區和Ⅱ區莫爾應力圓（圖7），假定臨界狀態時， 微元AOB 處于完全意義上的塑性狀態，此時應滿足摩爾－庫倫屈服準則

圖7 相鄰Ⅰ區域和Ⅱ區域莫爾應力圓Fig.7 Mohr circles of Domain I and Domain II

3 邊坡極限荷載分析的突變模型

邊坡土體的破壞是一個漸變－突變過程，具有十分典型的非連續性、不確定性和不可逆性特征[16-17]，其演化路徑存在著分叉行為。 可利用數學領域的分叉集（集中奇點）來描述邊坡失穩的這種行為特征。文章引入突變理論[13，18]，通過研究突變集性質來研究邊坡失穩破壞的這種躍遷、不連續和突變的行為特征。

3.1 折迭突變基本模型

折迭突變模型由一個控制變量u 和一個狀態變量x 構成，其勢函數V（x）的表示為

對式（7）進行求導，得到勢函數臨界點方程

圖8 為模型的平衡曲面和分歧點集，函數的相空間為二維，分歧點集將勢函數分為u+和u-兩個區域：u>0 時，臨界點方程無實數根，相應的勢函數無臨界點， 表示為系統狀態不會發生突變；u<0 時，臨界點方程存在兩個實數根，相應勢函數在空間內存在兩個臨界點[13]，根據折迭突變模型性質，其在相空間內存在有兩個平衡狀態，穩定和不穩定，也就是說，u<0 時兩個實數根也應該對應相空間內的兩個平衡狀態。

圖8 折迭突變基本模型Fig.8 Basic model of fold catastrophe

3.2 邊坡極限荷分析的突變模型

式（6）為利用極限分析理論推求出的邊坡極限荷載下限的平衡方程，可以看出：當荷載Q′<極限荷載Q 時，邊坡土體處于約束塑流狀態，部分土體發生塑性形變， 但由于周圍土體均處于彈性狀態，邊坡土體的變形主要為約束塑性變形，其整體仍然保持穩定；Q′=Q 時，邊坡土體處于約束塑流和塑流破壞間的過渡狀態， 該過渡狀態存在一個極值點，在極值點處對Q′的微小增量都會導致土體由約束塑流狀態突變至自由塑流狀態，邊坡相應發生突然破壞，具體表現也就是當Q′>Q 時，土體會發生無限制的塑性流動而使邊坡整體破壞。 利用突變模型來表示邊坡這一漸變－突變特征， 將突變極限值定位在土體由約束塑流的穩定狀態突變至自由塑流的破壞狀態。

式中：x，u 分別為系統狀態變量和控制變量； 參數a0，a1，a2表示與邊坡有關參量。

從圖8 中可以看出，u>0 時， 系統為空狀態，無實際意義u<0 時，式（7）所表示的圖形為一拋物線，u=0 將該拋物線分為上、下兩支，分別表示系統的穩定平衡狀態和不穩定平衡狀態。 并且當u<0 時，系統存在有兩個平衡狀態的定態A1和A2。

式中：A1和A2分別代表系統的穩定平衡狀態和不穩定平衡狀態。 對于一維連續動力系統，它的定態對應于其位勢在極值條件下的位置，并且位勢值越小，系統就越穩定，令

式中：w 為位勢值；f*為廣義應力，且f*=-?V（x）/?x。

對于文章所用模型來說， 兩個定態A1和A2對應的位勢值ω1=-6x1<0，ω2=-6x2>0， 定態A1為穩定平衡狀態，定態A2為不穩定平衡狀態。 由分歧點集的概念，勢函數相應的分歧點集為：u=0，此時兩個定態A1和A2成為一個定態，即臨界定態，從式（9）勢函數的形式可以看出，該臨界定態對應的是平衡曲線的拐點，也即

4 算例驗證

為驗證研究所述方法的可行性，選取一均質邊坡算例[19-20]對邊坡極限荷載的下限進行分析。

邊坡具體形狀及幾何尺寸如圖9 所示，坡比為1∶2，土體主要參數如下：重度γ=0 kN/m3，黏聚力c=30 kN/m2，內摩擦角φ=0，邊坡坡頂作用有均布荷載Q，邊坡關于荷載中線左右對稱，針對該算例對邊坡的極限荷載進行分析。

圖9 邊坡尺寸及幾何形狀Fig.9 Size and geometric configuration of slope

利用文章所示方法構建的邊坡極限荷載折迭突變模型對邊坡進行下限求解， 當γ=0 kN/m3、φ=0時，得到結果：Q=2c（1+sinα）=113.66 kPa。 該解能夠保證邊坡處于完全意義上的靜力穩定狀態。張學言[19]給出γ=0 kN/m3，φ=0 情況下經典塑性力學下限分析的理論解析解為

式中：v，δ 分別表示應力間斷線與坡頂及坡面的夾角，其余符號意義同前。 將不同φ 值下所述方法結果與塑性力學解析解匯總于圖10。

從圖10 可以看出，當γ=0 時，邊坡極限荷載Q隨著黏聚力的增加而增加， 兩者表現為線性關系；進一步的，內摩擦角φ 值越大，極限荷載Q 隨黏聚力c 變化的速率也就越快。

圖10 極限荷載與黏聚力間變化關系Fig.10 Values of ultimate load with the changes of cohesion

內摩擦角φ=0 時研究得到的下限解與塑性力學得到的解析解是完全一致的，而當內摩擦角φ 值越大時，研究所述方法得到的解與塑性力學解析解間誤差越大，但在常規巖土力學參數范圍內，其誤差能控制在25%以內。

為進一步對比分析，利用研究所述方法、經典塑性力學[19]和有限元極限分析[20]計算極限荷載P 隨內摩擦角φ 的變化，如圖11。

圖11 極限荷載與內摩擦角間變化關系Fig.11 Values of ultimate load with the changes of internal friction angle

從圖11 可以看出，φ≤40°時，上述3 種方法得到的計算結果基本一致，并且該范圍內3 種方法極限荷載值隨內摩擦角的增大均基本呈線性增大趨勢；φ>40°時，3 種方法的極限荷載值隨內摩擦角值的增大均呈急劇增大趨勢，上述3 種方法得到的計算結果間差別也逐漸增大，但計算結果的差別基本上在合理范圍內。

上述算例驗證了研究所述方法在邊坡極限分析中的可行性。 與經典塑性力學解析法和有限元極限分析法相比，研究所述方法計算結果與它們基本保持一致，而其計算過程則更為簡便、直觀，較好解決了邊坡極限分析難以解析求解的難題，并充分體現出了邊坡失穩破壞的突變特征，是解決邊坡極限分析問題的一種新思路。

5 結論

研究引入非線性分析突變理論，解決了邊坡下限難以解析求解的難題：

1） 基于理想鉸接桁架假設構建滿足要求的應力場，進而推導出邊坡極限荷載下限求解公式。

2） 基于邊坡失穩破壞的突變特征，以土體發生完全塑性變形作為邊坡失穩破壞的依據，通過對模型性質及邊坡失穩破壞機理進行分析，獲得邊坡極限荷載的一個下限解。