方程S（SL（n））＝φe（n）（e＝3，4，6）的可解性

王慧莉， 廖群英， 杜 珊

（四川師范大學 數學科學學院，四川 成都610066）

1 引言及主要結果

早在18世紀，杰出數學家歐拉就提出了著名的歐拉函數的概念.正整數n的歐拉函數φ（n）定義為序列1，2，…，n－1中與n互素的整數個數［1］.該函數在數論中具有重要的地位，并且在研究數論函數方程中應用十分廣泛，早在20世紀70年代，歐拉函數就成為RSA公鑰密碼體制得以建立的重要數學工具之一.歐拉函數的出現引發了數學界對含有歐拉函數的數論方程的廣為探討.2002—2007年，Cai等［2］將歐拉函數進行推廣，提出了廣義歐拉函數的概念.對任意給定的正整數e，正整數n的廣義歐拉函數φe（n）定義為序列中與n互素的數的個數，即

后來，人們根據Smarandache函數定義了偽Smarandache函數Z（n）和Smarandache LCM函數.其中，Smarandache LCM函數SL（n）定義為最小的正整數m，使得1，2，…，m的最小公倍數能被n整除［11］，即

關于Smarandache函數的性質的研究，已有一些結果.例如：羅文力等［12］研究了Smarandache函數的準確計算公式以及相關數論方程，白海榮等［13］給出了Smarandache函數S（pα）的準確計算公式，并且給出了Smarandache函數的幾類推廣函數及其性質.基于Smarandache函數的性質，有很多關于Smarandache函數相關的方程問題的研究［14-18］.張利霞等［19-20］研究了函數方程S（SL（n））＝φe（n）（e＝1，2）的可解性，并得出它的所有正整數解；文獻［21-22］研究了數論函數方程S（SL（n2））＝φe（n）（e＝1，2）的可解性，并得出它的所有正整數解；等等.最近，廖群英等［23］研究了函數方程S（SL（n2））＝φ3（n）的可解性，并給出了其全部正整數解.本文在此基礎上，進一步討論數論函數方程的問題，利用已有的廣義歐拉函數的計算公式，討論當e∈｛3，4，6｝時，廣義歐拉函數與Smarandache函數S（n）和Smarandache LCM函數SL（n）的復合函數之間的關系，旨在討論當e∈｛3，4，6｝時，數論函數方程

的可解性，并給出其全部正整數解，即證明如下主要結果.

2 相關引理

為敘述方便，設n為正整數，記Ω（n）為n的素因子個數（重復計數），ω（n）為n的不同的素因子的個數，并規定Ω（1）＝ω（1）＝0.為證明本文主要結果，需要以下幾個引理.

3 主要結果的證明

定理1.1的證明可直接計算知，n＝1，2，3均不是方程（1）的解.

綜上所述，定理1.1得證.

定理1.2的證明可直接計算知，n＝1，2，3，4均不是方程（1）的解.

比較兩邊ps的個數可得αs＝1，此時（10）式即為（ps－1）φ（m）＋（－1）Ω（n）·2s＝4ps.又ps為奇素數，不妨設ps－1＝2r t，其中r≥1，gcd（2，t）＝1.此時（10）式即為

當r≥2時，顯然s≥2，此時φ（m）為偶數，則方程（11）即為

對比（13）式兩邊的奇偶性可知s＝2，即2r－2tφ（m）＝2r t＋1＋（－1）Ω（n）＋1.若Ω（n）為偶數時，則2r－2tφ（m）＝2r t，即φ（m）＝4，故m＝5，8，10，12，相應地，n＝5ps，23ps，2×5ps，22×3ps，與題設矛盾.故Ω（n）為奇數，則2r－2tφ（m）＝2r t＋2，故2r－2t｜2，即t＝1，r＝2，3，此時ps＝5或9，與題設矛盾.

4 小結與展望

本文基于Smarandache函數、Smarandache LCM函數基本性質，以及φe（n）（e＝3，4，6）的準確計算公式，利用初等的方法和技巧，研究了數論方程S（SL（n））＝φe（n）（e＝3，4，6）的可解性，并確定了其全部正整數解.對于e＝3，4，6的情形，后續可以研究方程S（SL（n2））＝φe（n）（e＝3，4，6）的正整數解問題.