質量臨界情形下一類具平方反比勢的非齊次非線性Schr?dinger方程

李玉林， 黃 娟

（1.西南科技大學城市學院 通識教育學院，四川 綿陽621000； 2.可視化計算與虛擬現實四川省重點實驗室，四川 成都610066；3.四川師范大學 數學科學學院，四川 成都610066）

研究具有平方反比勢的質量臨界非齊次非線性Schr?dinger方程的Cauchy問題

下保持L2不變性，即‖uλ（t）‖L2＝‖u（t）‖L2.具有這種特殊結構的方程（1）吸引了很多人研究［1-6］，尤其是對Cauchy問題（1）駐波的穩定性研究［2-4］.

當a＝b＝0時，該方程（1）就是經典的非線性Schr?dinger方程，Weinstein［2］通過研究變分問題，獲得了方程的最佳Gagliardo-Nirenbeg不等式.Cazenave［3］構造出Cauchy問題（1）的一個顯示爆破解，在此基礎上，Genoud［4］利用類似的方法，得到在a＝0時Cauchy問題（1）的一個顯示爆破解，并且證得Cauchy問題（1）駐波的強不穩定性.隨后，Combet等［5］獲得Cauchy問題（1）的最小質量爆破解.而當b＝0時，Csobo等［6］也取得與a＝0時相似的結果.

綜上，當a≠0且b≠0時，文獻［7］得到了具有平方反比勢的三次非齊次非線性Schr?dinger方程駐波解的強不穩定性；然而，對于這類質量臨界的方程（1）駐波解的強不穩定性，現有文獻還沒有研究，也沒有找到對應的最佳Gagliardo-Nirenbeg不等式.在這種情況下，Viral等式剛好等于能量的整數倍，這使得傳統證明爆破方法［8］失效.基于以上原因，本文將研究Cauchy問題（1）的駐波的強不穩定性.

1 預備知識

2 解的整體存在性

本文利用最佳Gagliardo-Nirenbeg不等式得到Cauchy問題（1）的解u（t，x）是整體存在的，并且得到u（t，x）在空間˙H1a（RN）中是有界的.

3 駐波的強不穩定性

利用偽共形變換構造Cauchy問題（1）的一個具有臨界質量的爆破解，并且得到其駐波是強不穩定的.

因此

注3.2由非線性Schr?dinger方程對時間具有不變性知，對c＞0，若u（s，y）∈C（［－S，0］，H1（RN））是Cauchy問題（1）的解，也可以構造uc（t，x）∈C（［－T，0］，H1（RN））是Cauchy問題（1）的解.

當c→0，（15）和（16）式都趨近于零.因此，對任何δ＞0，存在cδ＜0，使得當cδ＜c＜0時，