環的n-余撓維數

熊 濤

（西華師范大學 數學與信息學院，四川 南充637002）

0 引言

規定R恒指有單位元的交換環.對R-模N，pdRN代表N的投射維數.用gl.dim（R）（對應地，w.gl.dim（R））表示R的整體（對應地，弱整體）維數，未解釋的概念和符號可參考文獻［1-2］.

余撓模受到諸多文獻關注.文獻［3］中R-模C稱為余撓模，是指對任何平坦模F，都有Ext1R（F，C）＝0.每個模都有內射包，與內射包相對應的概念是投射蓋.人們自然要問，每個模是否有投射蓋.文獻［4］證明了每個R-模有投射蓋當且僅當R是完全環（每個平坦模是投射模）.隨著蓋包理論的發展，文獻［5］提出了平坦蓋猜測（Flat Cover Conjecture，縮寫為FCC）：每個R-模有平坦蓋.此后，多篇文獻討論了平坦蓋的存在性.文獻［6］借助余撓模，徹底解決了FCC：任何環上，每個模都有平坦蓋和余撓包.

按照同調理論的觀點，文獻［11］引入了模M

環R是完全環，是指每個R-模都有投射蓋，等價地，每個平坦R-模是投射模.文獻［12］的定義1.1稱R為n-完全環，是指每個平坦模的投射維數不超過n.文獻［11］推論7.2.7證明了環R是完全環當且僅當Cot.D（R）＝0；文獻［11］推論7.2.6證明了環R是n-完全環當且僅當Cot.D（R）≤n.

文獻［13］也引入了模的強余撓分解和模的強余撓維數，以及環R的強余撓整體維數S.Cot.D（R），并且證明了對任何環R，Cot.D（R）≤S.Cot.D（R）；Cot.D（R）＝0當且僅當S.Cot.D（R）＝0；自然地，每個模也應該有n-余撓分解以及相應的維數，環應該有相應的n-余撓整體維數.文獻［14］正是沿著這個思路，借助文獻［7］定義的n-余撓模，建立在整個R-模范疇上的n-余撓分解，任何模的n-余撓維數，以及環R的n-余撓整體維數Cn.D（R）.

文獻［4］引入環R的有窮投射維數FPD（R）＝sup｛pdRM｜MR-模滿足pdRM＜∞｝.這個同調維數受到學者們的廣泛關注.文獻［15］證明了R是完全環當且僅當FPD（R）＝0；滿足FPD（R）＝1的凝聚環R是Noether環.

R稱為幾乎完全環是指其每個真商環是完全環.文獻［16］證明了幾乎完全環或者是完全環，或者是整環.幾乎完全整環稱為APD整環.文獻［8］引理3.6和文獻［9］推論6.4證明了整環R是APD整環當且僅當內射模的商模是弱內射模.文獻［17］命題3.2證明了整環R是APD整環當且僅當FPD（R）≤1.這一結果啟示我們可以利用Cn.D（R）刻畫環的FPD（R）維數.這在文獻［14］中已有所體現.本文在文獻［14］的研究基礎上，繼續考慮更一般的情形.

1 n-余撓模與n-余撓維數

將n-余撓模簇記為Cn，將平坦維數不超過n的R-模簇記為Fn.

對任何n≥0，（n＋1）-余撓模是n-余撓模，反之則未必成立.

例1.1設Z是整數集.顯然有pdZZ／（2）＝1.由文獻［2］的定理7.17有Ext1Z（Z／（2），Z）?Z／2Z≠0，因此，Z不是1-余撓Z-模.

下面研究這種模類的性質.

定理1.3設n、m是給定的2個非負整數，則n-余撓模的m-階上合沖是（n＋m）-余撓模.特別地，任何模M的n-階上合沖是n-余撓模.

對任何模M，存在正合列0→M→E→C＝E／M→0和0→K→P→M→0，這里E是內射模，P是投射模，但無法得到C、K的屬性.給出可以限定C、K屬性的如下定理.

定理1.4對任何R-模M和N，存在正合列0→K→P→M→0和0→N→E→C→0，這里P，C∈Fn，K，E∈Cn.

證明運用命題1.2、文獻［18］的引理2.2.10和文獻［10］的引理2.1.2可得第一個正合列，由文獻［7］的定理3.4可得第二個正合列.

2 環的有窮投射維數

作為Cn.D（R）的應用，有刻畫環的有窮投射維數FPD（R）.

定理2.1設n是給定的非負整數，則FPD（R）≤n當且僅當Cn＋1.D（R）≤n.

證明假設FPD（R）≤n成立.對任何R-模M∈Fn＋1，由文獻［19］的命題6可得pdR M＜∞.由條件，M∈Pn成立.由文獻［14］的定理3可得Cn＋1.D（R）≤n.反之，如果Cn＋1.D（R）≤n成立.假如FPD（R）＞n，不失一般性，可設FPD（R）＝n＋1，則存在R-模M∈P∞滿足pdR M＝n＋1，即M∈Pn＋1.故由文獻［14］的定理3，pdRM≤n成立，顯然矛盾，因此，FPD（R）≤n.

推論2.2對環R及非負整數n，以下陳述等價：

1）FPD（R）≤n；

2）Pn＝Fn＋1；

3）Pn＝F∞.

推論2.3環R有FPD（R）≥n＋1當且僅當Cn＋1.D（R）＝n＋1.

FPD（R）作為一種同調維數，需要找出它與環的整體維數的差距.

定理2.4設k≥n.如果w.gl.dim（R）≤k且Cn.D（R）≤m，則gl.dim（R）≤m＋k－n.

例2.9設L是域，F是L的擴域，且［F：L］＝∞.構造環R＝L＋xF［x］.則由文獻［16］知R是APD整環，即FPD（R）≤1.由于R不是Noether環，故R不是Dedekind整環，自然gl.dim（R）≥2.由推論2.5可得w.gl.dim（R）＝∞.

文獻［20］稱環R是強n-完全環，是指Pn＝Fn.文獻［4］定義了R的弱 finitistic維數：FFD（R）＝sup｛fdRM｜M是任意R-模滿足fdRM＜∞｝.現在用強n-完全環和FFD（R）來刻畫環的FPD維數.

引理2.10設R是環，則：

1）R是強n-完全環當且僅當Cn.D（R）≤n；

2）對任何正整數n＜m，強n-完全環是強m-完全環；

3）FFD（R）≤n成立當且僅當Fn＝Fn＋1.

證明1）由文獻［14］定理3可得，3）即文獻［14］引理1.

2）只須證強n-完全環是強（n＋1）-完全環即可.設R是強n-完全環.對任何R-模M∈Fn＋1.考慮正合列0→K→P→M→0，這里P是投射模，K∈Fn.由條件，K∈Pn，自然可得M∈Pn＋1，故R是強（n＋1）-完全環.

定理2.11設n是給定的非負整數，環R滿足FPD（R）≤n當且僅當R是滿足FFD（R）≤n的強n-完全環.

證明假設FPD（R）≤n成立.對任何R-模M∈Fn，自然也有M∈Fn＋1.由定理2.1可得Cn＋1.D（R）≤n.再由文獻［14］定理3可得M∈Pn，即Pn＝Fn成立，所以R是強n-完全環.由推論2.2可得FFD（R）≤n.反之，設R是滿足FFD（R）≤n的強n-完全環.由引理2.10，Cn.D（R）≤n和Cn＋1.D（R）≤n＋1同時成立.由文獻［14］定理3，Pn＝Fn?Fn＋1＝Pn＋1成立.由引理2.10可得Pn＝Fn＋1.再由推論2.2可得FPD（R）≤n.

對任何正整數n＜m，強n-完全環R是強m-完全環.但反之則未必成立.

例2.12設Q是有理數域，X是Q的未定元.設m＝（X）.構造環R1＝Z＋XQ［X］m與R2＝Z4，這里Z是整數集合.再構造環R＝R1×R2.由文獻［21］的例4.5，FPD（R）＝2和FFD（R）＝1成立.則由定理2.11可知，R是強2-完全環，且不是強1-完全環.

由文獻［15-17］可得，幾乎完全環都有FPD（R）≤1，自然都是強1-完全環.但強1-完全環卻未必是幾乎完全環.

例2.13設R是實數域.構造環T＝Q＋xR［x］，由文獻［16］可知T是APD整環.由于FPD（T）＝1，則T不是域，從而由推論2.7，T不是完全環.構造環R＝T×T，則R是強1-完全環，I＝（T，0）≠0是R的理想.則T?R／I是R的真滿同態像，但不是完全環.故R不是幾乎完全環.

定理2.14設（RDTF，M）是Milnor方圖，其中D是Prüfer整環，F是D的商域.如果有FFD（T）≤1，則FFD（R）≤1成立.

設T＝L＋xF［［x］］及R＝D＋xF［［x］］.由右Milnor方圖，運用文獻［24］的定理4.7和定理4.11可得T不是凝聚環，T是APD整環.由文獻［25］引理3.1，FPD（T）＝1.則由定理2.11，有FFD（T）≤1成立.由左Milnor方圖，運用定理2.14，FFD（R）≤1成立，且再次由文獻［24］的定理4.7和定理4.11可得R不是凝聚整環.再次由文獻［25］，R不是APD整環.由定理2.6，R不是強1-完全整環.

正如凝聚環未必有gl.dim（R）≤1一樣，凝聚環也未必有FPD（R）≤1.

例2.16設X是Q上的未定元.構造環R＝Z＋XQ［X］.則由文獻［24］的命題4.4和定理4.12可知，R是非Noether的凝聚整環.故R不是APD整環，從而FPD（R）≤1不成立.

當然，滿足FPD（R）≤1的環也未必是凝聚環.

例2.17設C是復數域，X是C上的未定元.構造環R＝Q＋XC［X］.由于C是Q的擴域，故R是APD整環，自然滿足FPD（R）≤1.但由于［C：Q］＝∞，則由文獻［24］定理4.11可知，R不是凝聚環.

致謝西華師范大學博士科研啟動項目（17E087）對本文給予了資助，謹致謝意！