拋物型擬線性積分微分方程基于擴展混合有限元的兩層網格離散方法

曾國艷， 陳羅平， 付雪梅

（西南交通大學 數學學院，四川 成都611756）

考慮下列擬線性拋物型積分微分方程問題：

Ω是二維多邊形凸區域，A（t）和B（t，s）均是2×2的矩陣，A（t）、B（t，s）是對稱正定的.

積分微分方程可以從許多物理過程中產生，例如記憶性材料的熱傳導、多孔結構黏彈性體壓縮、氣體擴散現象等都歸結為方程（1）～（3）的情形.混合有限元方法是求解偏微分方程中一種重要的離散方法［1-2］.混合有限元方法的優點是通過引入中間變量，特別是通常與原變量的某些導數有關的中間變量（一般它們具有實際的物理意義），可以將高階微分方程降階，從而也能夠降低有限元空間的光滑性要求.Raviart和Thomas［3］在1979年針對2階問題，提出了Raviart-Thomas混合有限元的構造方法.20世紀80年代，Falk等［4］提出了一種改進的方法，擴展了混合有限元的適應性.

兩層網格算法最早是由Xu［5］提出來的針對一類非對稱的或非線性的橢圓型偏微分方程的一種高效數值求解算法，其基本思想是對連續問題建立2套粗細網格.在粗網格剖分下，求解原始的非對稱或非線性問題；然后以牛頓迭代為基礎，在細網格上，求解一個對稱或線性的偏微分方程.首先，該算法把非線性橢圓邊值問題在VH和Vh兩個空間上進行有限元離散化，在粗空間VH中，利用標準的有限元離散來獲得粗空間逼近；然后，以牛頓迭代為基礎，在細空間Vh上解線性方程組.因為粗空間的維數遠遠小于細空間的維數，所以在粗空間上的工作量相對很小.雖然細空間的維數較大，但是該算法已將問題模型簡化成了對稱或者線性問題，也降低了細空間的求解時間.收斂性分析表明，當粗細網格步長滿足特定條件時，兩層網格離散方法具有高效性.1996年，Xu［6］對半線性橢圓問題做進一步的粗網格校正，在粗網格上再解一次線性方程組，而且獲得了更高效的收斂結果.隨后，兩重網格算法及其思想被廣泛地運用于其他非線性問題.

在D-波超導體的Ginzburg-Landau模型中，Huang等［7］建立了基于兩網格思想的多層線性化方法，并進行了收斂性分析.Dawson等［8］研究了基于最低階RT元的混合有限元的兩重網格有限差分格式，并進行收斂性分析.Bi等［9］研究了線性和非線性橢圓問題的兩網格有限體積元法，并用兩網格間斷伽遼金方法研究了擬線性橢圓問題［10］.Chen等［11］將兩重網格算法思想運用到基于擴張混合有限元非線性反應擴散方程中.本文將兩網格方法的基本思想運用到基于擴張混合有限元方法的積分微分方程問題.在文獻［12］的基礎上，將兩網格法做進一步改進：在粗網格空間中，將隱格式的非線性項用上一時間步的f

代替，變成顯格式歐拉方程，從而在粗網格上求解一個線性問題.然后利用粗網格解作為泰勒展開式的展開函數，將細網格的非線性項f（pnh）作Taylor展開，從而求解一個線性問題.

1 混合有限元方法

首先引入下列表示標準的Sobolev空間的符號：

2 混合有限元先驗誤差估計

為了進行理論分析，引入3種投影算子：L2（Ω）投影算子、Fortin投影算子、橢圓投影算子.

3 兩層網格算法及其誤差估計

設VH×WH和Vh×Wh分別是基于網格尺寸為H和h（h＜H＜1）的擬一致三角形網格剖分上的有限元空間.其中VH×WH?Vh×Wh兩網格混合有限元算法一般是首先在粗網格上用牛頓迭代求解非線性系統，然后在細網格上求解線性系統.

下面在文獻［12］兩網格算法的基礎上，研究了將非線性方程的求解修改為利用顯示歐拉格式，從而求解一個線性問題.具體的算法如下.

第一步：在粗網格TH下，求線性系統的解.

相對于文獻［12］的算法，該算法避免了在粗網格上求解一個非線性問題.當時間步長Δt非常小時，文獻［12］需要在每個時間步上求解一個粗網格上的非線性方程與一個細網格上的線性方程組，修改后的算法在每個時間層的粗網格和細網格上，都是求線性方程組的解.

下面將討論具有顯示歐拉格式的兩網格算法的誤差.結合定理2.1的結果，類似于文獻［12］中的兩網格算法的證明過程，可以得到定理3.1.

4 數值算例

下面從數值算例的角度驗證兩重網格算法的理論結果.考慮擬線性拋物型積分微分方程：

表2 本文和文獻［12］的兩網格算法以及擴展混合有限元算法關于p的數值結果Tab.2 Numerical results of two-grid method and expanded mixed finite element method for p in this paper and literature［12］

表3 本文和文獻［12］的兩網格算法以及擴展混合有限元算法關于~p的數值結果Tab.3 Numerical results of two-grid method and expanded mixed finite element method for~p in this paper and literature［12］

從表1～3可以看出3種算法的離散解具有相同的收斂性精度.表4比較了本文和文獻［12］中的兩網格算法以及擴展混合有限元算法在每個時間層的CPU計算時間.數據表明，隨著網格剖分越來越細，本文的算法比文獻［12］中的兩層網格算法在每個時間層上所用的時間少，本文的算法比擴展混合有限元方法在每個時間層上所用的時間有所節省.可以預測，當時間層越來越多，網格越來越密時，本文中研究的算法比擴展混合有限元方法在時間上的節省也越來越多.

表1 本文和文獻［12］的兩網格算法以及擴展混合有限元算法關于y的數值結果Tab.1 Numerical results of two-grid method and expanded mixed finite element method for y in this paper and literature［12］

表4 本文和文獻［12］的兩網格算法以及擴展混合有限元算法的CPU時間比較Tab.4 CPU time of two-grid method and expanded mixed finite element method in this paper and literature［12］

圖1是本文在兩重網格算法下的數值解在t＝0.001處的收斂階，圖2是文獻［12］中兩重網格下的數值解在t＝0.001處的收斂階.在二維情況下，圖1和圖2的節點個數N約為數值結果與本文給出的理論結果是一致的.圖3～5展示了在兩重網格（H，h）＝（1／8，1／64），t＝0.5，Δt＝0.01的精確解以及數值解.可以看出，數值解和精確解幾乎是完全相同的.

圖1 本文在兩重網格算法下的數值解在t＝0.001處的收斂階Fig.1 Convergence order for two-grid numerical solutions at t＝0.001 in this paper

圖2 文獻［12］中兩重網格算法下的數值解在t＝0.001處的收斂階Fig.2 Convergence order for two-grid numerical solutions at t＝0.001 in literature［12］

圖3 變量y在兩重網格下的數值解（左圖）及精確解（右圖）Fig.3 Two-grid solution y（left）and its exact solution（right）

圖4 變量p在兩重網格下的數值解（左圖）及精確解（右圖）Fig.4 Two-grid solution p（left）and its exact solution（right）

圖5 變量在兩重網格下的數值解（左圖）及精確解（右圖）Fig.5 Two-grid solution（left）and its exact solution（right）

5 結論

本文研究了擬線性拋物型積分微分方程的基于擴展混合有限元的兩重網格離散方法.為處理方程的擬線性性質，采用了兩層網格離散方法.相對于經典的兩層網格算法，本文基于擴展混合有限元方法的兩層網格算法包含兩步.在粗網格上，求解基于顯式歐拉格式的線性問題；然后以牛頓迭代為基礎，在細網格上，通過將非線性項基于粗網格解進行Taylor展開，從而求解一個線性化的方程組.理論和數值結果顯示：當粗細網格步長滿足h＝H2時，該離散方法具有最優的收斂階，并和經典的兩層網格離散方法的數值解有相同的精度.