具有雙時滯SIRS傳染病模型的穩定性與Hopf分支

劉柏林,許友軍,王建偉

(南華大學 數理學院,湖南 衡陽 421001)

0 引 言

傳染病是由病毒或其它病原體引起的一類傳染性很強的疾病，主要在人與人或人與動物之間互相傳播。部分傳染病會與人類共存，另一部分則因人們采取措施而消亡。人類曾經發生過大規模流行性傳染病，比如流感、天花、黑死病等。人們在長期與傳染病抗爭的過程中總結出以下經驗：感染初期無明顯癥狀，在經過一段時間后表現出相應癥狀，并迅速以指數式的傳播增長。研究初期人們并未考慮到時滯延遲因素，后來研究者們發現引入時滯(單或雙時滯)因素，如疾病的潛伏周期，免疫周期等，得到的結果更加逼近實際。不少學者在傳染病動力學時滯延遲的研究方面已取得了很多研究成果[1-4]，為傳染病的防治提供了有效的理論依據。文獻[5]中作者研究了一類具有Logistic輸入率的雙時滯SIRS模型，如(1)所示：

(1)

其中S(t)、I(t)、R(t)分別代表t時刻的易感者人數，感染者人數，及康復者人數。參數r、K、β、α、μ、α1、γ、δ都是正常數。其中r是種群的凈增長率，K是理想環境下的最大種群容納量，β是感染者的平均接觸系數，α是與感染者有關的抑制飽和因子影響，μ是種群的自然死亡率，α1是種群的因病死亡率，γ是疾病的康復率，δ是疾病康復后再次復發的概率，τ1是疾病的潛伏周期，τ2是疾病感染者的康復周期。作者全面研究了正平衡點的穩定性，Hopf分支的方向與周期解的穩定性。

在文獻[5]基礎上，將疾病的發生率函數βSI/(1+αI)修改為βSI/(1+αS)，即疾病發生率的抑制飽和因子與易感者有關，再考慮到患者康復后存在一個免疫周期，即有再次感染的風險。因此得到以下模型：

(2)

其中τ2代表疾病的免疫周期，其它參數代表的意義與模型(1)相同。

1 正平衡點的局部穩定性與Hopf分支

經簡單計算可知，系統(2)總存在一個無病平衡點E0(K,0,0)。由基本再生數的生物學意義，定義系統(2)的基本再生數為:

顯然當R0>1時，系統(2)存在唯一的正平衡點E*(S*,I*,R*)。其中

將系統(2)在正平衡點E*處線性化可得到等價系統(3)

(3)

其中

系統(3)對應的特征方程為

λ3+m2λ2+m1λ+m0+(n2λ2+n1λ+n0)e-λτ1+p0e-λ(τ1+τ2)=0,

(4)

其中

情形1 當τ1=τ2=0時，方程(4)為

λ3+m12λ2+m11λ+m10=0,

(5)

其中

m12=m2+n2,m11=m1+n1,

m10=m0+n0+p0。

若方程(5)的系數滿足下列條件

(H1)m12>0,且m11m12-m10>0。

由Routh-Hurtitz準則可知，方程(5)的所有根都具有嚴格負實部。根據泛函微分方程的穩定性理論可得到定理1。

定理1 當τ1=τ2=0時，如果條件(H1)均滿足，系統(2)的正平衡點E*是局部漸近穩定的。

情形2 當τ1=0,τ2>0時，方程(4)可寫成如下形式

λ3+(m2+n2)λ2+(m1+n1)λ+(m0+n0)+p0e-λτ2=0,

(6)

假設λ=iω(ω>0)是方程(6)的一個純虛根，代入其中化簡得

-iω3-(m2+n2)ω2+i(m1+n1)ω+(m0+n0)+p0(cosωτ2-isinωτ2)=0。

分離實部和虛部得到

兩式平方相加得到

ω6+c2ω4+c1ω2+c0=0,

(7)

其中

令z=ω2，則方程(7)變為

z3+c2z2+c1z+c0=0,

(8)

定義函數

f(z)=z3+c2z2+c1z+c0。

(9)

討論方程(8)根分布情況，由文獻[6],得到以下引理:

引理1 對于方程(8)的系數

(i)若c0<0,方程(8)至少有一個正實根；

現在假設f(z)的系數滿足下列條件

(H2)c0<0或者c0≥0,Δ>0,z*>0,f(z*)≤0。

根據Hopf分支理論[7],需要驗證橫截性條件。設λ(τ)=α(τ)+iω(τ)是方程(7)在τ=τ20處且滿足α(τ20)=0,ω(τ20)=ω20的根，下面尋找橫截性條件，對方程(6)兩邊關于τ2求導，得到

因此，有

注意到

顯然，當滿足下列條件時

定理2 當τ1=0,τ2>0時，有

(1)若(H2),引理1(ii)成立，則系統(2)的正平衡點E*對所有τ2>0都是局部漸近穩定的；

(2)若(H2),(H3)成立，則當τ2∈(0,τ20)時，系統(2)正平衡點E*是局部漸近穩定的；當τ2>τ20時，系統(2)的正平衡點E*是不穩定的；當τ2=τ20時，系統(3)在正平衡點E*處出現Hopf分支。

情形3 當τ1>0,τ2=0時,方程(4)重寫為

λ3+m2λ2+m1λ+m0+(n2λ2+n1λ+n0+p0)e-λτ1=0,

(10)

此時類似情形2，采用相同的研究方法，可得到類似的結論:

定理3 對于τ1>0,τ2=0時，若與(H2),(H3)相對應的條件成立，則當τ1∈(0,τ10)時，系統(2)正平衡點E*是局部漸近穩定的;當τ1>τ10時，系統(2)的正平衡點E*是不穩定的；當τ1=τ10時，系統(2)在正平衡點E*處出現Hopf分支。

情形4 當τ1>0,τ2>0且τ2∈(0,τ20)時。此時系統(3)的特征方程就是方程(4)

λ3+m2λ2+m1λ+m0+(n2λ2+n1λ+n0)e-λτ1+p0e-λ(τ1+τ2)=0

將τ1視為分支參數，令λ=iω(ω>0)是方程(4)的根，代入其中并分離實部和虛部可得

其中

兩式平方相加，并展開得到

l1(ω)+2l2(ω)cosωτ2+2l3(ω)sinωτ2=0

(11)

其中

假設

(H4)方程(11)有有限個正根，記這些根為ω11*,ω12*,ω13*,…,ω1k*。

那么對每一個固定的ω1j*(j=1,2,3,…,k)，相應的時滯臨界值為

記

因為

所以有

其中

進一步作代換，有

(12)

其中

所以只需滿足下列條件

(H5)AD+BC≠0。

2 數值模擬

參考文獻[5]提供的數據，取r=0.02,K=150,μ=0.037 5,α=0.002 5,α1=0.05,β=0.075,γ=0.035,δ=0.042。得到系統(2)特殊系統如下：

(13)

通過計算，可得到系統(13)的正平衡點為E*(1.6400,0.3119,0.1373)。

(1)τ1=0,τ2>0

計算得到τ20≈49.506 4，由定理2知，系統(13)的正平衡點E*在τ2∈(0,τ20)是局部漸近穩定的；在τ2>τ20時不穩定；并在τ2=τ20處發生Hopf分支，詳見圖1和圖2。

圖2 當τ1=0,τ2=60>τ20時，正平衡點E*不穩定Fig.2 E* is unstable when τ1=0,τ2=60>τ20

圖3 當時，正平衡點E*漸近穩定Fig.3 E* is asymptotically when

圖4 當時，正平衡點E*不穩定Fig.4 E* is unstable when

3 結 論

本文研究了一類具有免疫潛伏時滯的SIRS傳染病模型，重點討論了正平衡點的局部漸近穩定性。可以得出當潛伏期時滯較小時，免疫期的時滯影響系統的穩定性；反之當免疫期時滯較小時，潛伏期時滯影響系統的穩定性。關于正平衡點E*的Hopf分支的方向以及分支周期解的穩定性，還有待進一步的研究。