考慮參數不確定性的列車-橋梁垂向耦合振動的PC-ARMAX 代理模型研究

韓 旭，向活躍，李永樂

(西南交通大學橋梁工程系，四川，成都 610031)

近年來，隨著高速鐵路建設的迅猛發展，列車的運行速度得到了大幅度的提升，而列車在橋梁上運行時，與橋梁間存在著動力相互作用，這種相互作用隨著列車速度的提升變得愈發顯著，進而對運行車輛的安全性和舒適性產生影響，為了確保高速列車在橋上運行時的安全性和舒適性，開展車-橋耦合振動分析顯得尤為必要[1-2]。

由于施工誤差、材料離散性、運營季節、運營環境等因素的影響，車體質量、剛度、阻尼和橋梁的彈性模量等參數存在隨機性，這會對車-橋耦合系統的動力響應產生不可忽略的影響[3]。對車-橋系統參數隨機性影響的研究，蒙特卡洛模擬(MCS)是最常用的一種分析方法，Wu 等[4]通過MCS 方法研究了車-橋系統的材料密度、彈性模量等隨機參數對結構響應的影響。但車-橋耦合系統的失效概率通常很低，采用MCS 則需要計算大量的統計樣本，由此產生的計算成本是無法接受的。

為了克服MCS 計算效率低的問題，隨機振動方法得到大量運用，其中包含概率密度演化法、響應面法、隨機攝動方法等[5-7]。余志武等[8]將廣義概率密度演化方法與數論選點法相結合，研究了列車參數隨機時車-橋耦合系統的響應，在精度滿足要求的前提下相比MCS 計算效率大幅度提高。Cho 等[9]通過改進響應面法研究了高速鐵路車-橋系統的可靠性，考慮了列車和橋梁的不確定性參數對列車運行時的安全性和舒適性的影響。晉智斌等[10]采用改進的隨機攝動法研究了橋梁結構參數不確定性對車-橋響應的影響，其結果和MCS吻合，且不存在長期項效應。劉祥等[11]通過改進點估計法對豎向車-橋系統振動響應的前四階矩進行了計算，考慮了列車和橋梁參數不確定性的影響，其結果與MCS 接近。上述研究在車-橋耦合系統隨機振動方面取得了積極進展。

高速列車屬于小概率失效事件[12]。隨機振動方法用于小概率事件評價時，計算效率會有所降低，近年來，采用代理模型代替動力方程求解的方法在車-橋耦合系統隨機性的研究中逐漸得到應用，且計算效率不會明顯受到失效概率變化的影響，也能較好的反映車-橋系統中的非線性特性。Kewlani 等[13]通過廣義混沌多項式(gPC)方法計算了四分之一車輛模型的響應，考慮了車輛剛度參數不確定性的影響。Mai 等[14]將混沌多項式展開(PCE)與NARX 模型結合，對四分之一非線性車輛模型在多種隨機參數影響下的響應進行了研究，討論了PC-NARX 模型計算次數對預測精度的影響，但基函數沒有通用的格式，不同結構需要進行試算。以上研究均未考慮完整的列車模型，忽略了車-橋系統間的耦合效應。Han 等[15]通過NARX-ANN 與重要樣本相結合的代理模型，對車-橋系統的響應進行了預測，該方法顯示了很好的預測性能。Xiang 等[12]采用NARX-SS/S 方法分析了車-橋在隨機激勵下的失效概率，能顯著減小樣本的計算時間和數量，且與MCS 結果吻合較好。但是以上車-橋系統的代理模型方法未考慮參數不確定性的影響。NARX 模型用于車-橋耦合分析時，需要較大的輸入和輸出時間滯才能獲得較好的預測效果，這在一定程度上影響了該方法的計算效率。

已有研究表明[13-14,16]，帶外部輸入的自回歸滑動平均(AutoRegressive Moving-Average with eXogenous inputs, ARMAX)模型能較好的體現時變系統的動態特性；而混沌多項式(Polynomial Chaos,PC)展開能很好的描述和量化動態系統的不確定性，以代理模型代替動力方程求解的方法可用于車-橋耦合振動分析的研究，從而實現不確定性傳遞的解耦。為了研究參數不確定性對車-橋耦合系統的影響，本文提出了PC-ARMAX 模型，該模型可考慮動態時變系統參數不確定性，進一步將該模型用于車-橋系統參數不確定性分析，考察了車體質量、二系剛度和阻尼等隨機參數對列車響應的影響，通過與MCS 的結果對比，分析了預測精度和計算效率；再討論了隨機激勵和隨機參數共同作用于車-橋系統對代理模型預測性能的影響。

1 車-橋耦合模型

1.1 車輛模型

車輛模型考慮為由一個車體、兩個轉向架和四個輪對組成的兩系懸掛系統，如圖1 所示。考慮到列車運行過程中，列車橫向系統中輪對受到復雜的非線性作用，代理模型進行分析仍有困難，因此本文主要針對垂向系統進行分析。為簡化模型和便于計算分析，作如下假設[17]：1)車體、轉向架和輪對均考慮為剛體；2)連接車體、轉向架和輪對的彈簧和阻尼器均不考慮非線性；3)輪對和鋼軌間始終保持密貼；4)不考慮列車的加減速過程，始終保持勻速運動。因此，每個車體和輪對考慮2 個自由度(浮沉和點頭)，且輪對無獨立自由度，每個車輛共6 個自由度。通過達朗貝爾原理，車輛運動方程表示為：

圖1 車輛模型Fig. 1 The vehicle model

1.2 橋梁模型

橋梁模型為某大跨度預應力混凝土連續剛構橋，跨徑組合為72 m+128 m+72 m，主梁為單箱單室變截面箱梁，最高橋墩為85 m，該橋的立面圖如圖2 所示。對于橋梁結構，通常采用有限元方法進行離散處理，其運動方程為：

圖2 橋梁立面圖 /cmFig. 2 The elevation drawing of bridge model

式中，阻尼常數α 和β 通過兩個特定的頻率和阻尼比確定。

式(1)和式(2)給出了車輛和橋梁子系統的運動方程，這兩個子系統相對獨立，通過輪軌接觸點的位移協調條件和輪軌作用力平衡條件來聯系。車-橋耦合系統通過分離迭代法[17]求解，車輛和橋梁子系統則分別采用Newmark-β 直接積分法進行求解，基于此求解方法，通過MATLAB 軟件編制了車-橋耦合振動分析程序[18]用于后續計算分析。

2 PC-ARMAX 模型

ARMAX 模型是由系統輸入輸出變量和噪聲干擾組成的黑箱模型，能較好的描述時變系統的動態特性。假設輸入序列為u(t)，對應的響應為y(t)，則該系統的ARMAX 模型可表示為[19-20]：

ARMAX 模型能較好的描述時變動態系統的動力學行為，其主要優點是具有滑動平均的殘差序列項，能提供無偏的參數估計[21]。

當考慮系統參數不確定性影響時，不同的系統參數會得到不同的回歸系數，為此對式(4)中的回歸系數按混沌多項式進行展開，可表示為[22-23]：

需要注意的是，正交多項式的形式和隨機變量 ξ的概率分布類型有關，常用的幾種隨機變量分布類型對應的正交多項式基函數形式如表1 所示。

表1 常用隨機變量分布及對應多項式基函數Table 1 Distribution types commonly used and corresponding polynomial basis functions

進一步，考慮多項式項數截斷后，將式(5)代入式(4)后，可得到PC-ARMAX 模型：

對于截斷的多項式項數p，可通過下式計算得到[24]：

式中，K為用于計算模型參數的時域樣本數(訓練樣本數)，提前由車-橋耦合數值模型計算得到，且對應不同的輸入激勵和隨機參數。

將式(8)代入式(5)可得：

在對PC-ARMAX 模型參數進行預測時，得到的結果與數值模型結果存在一個殘差κ，因此目標結果與預測值的關系為：

式中，v? 為預測的ARMAX 模型參數。

PC-ARMAX 模型參數的迭代求解過程就是使得式(10)中的殘差κ最小，可以通過最小二乘法得到θ，計算表達式為：

在確定模型參數后，可采用代理模型代替原車-橋耦合動力方程的求解過程，來進行MCS 模擬，統計響應的概率分布等信息，具體的分析步驟如下(見圖3)：

圖3 PC-ARAMX 模型流程圖Fig. 3 Flowchart of PC-ARMAX model

第一步，確定車-橋系統中隨機變量的分布類型，本文的隨機變量均考慮為高斯分布，進一步在隨機參數均值的基礎上確定變異系數；

第二步，根據不同車輛隨機參數對應的概率分布類型(本文參數服從高斯分布)和取值區間，采用等差值取值方法得到K個隨機車輛參數，再通過車-橋耦合振動分析模型計算得到K個車-橋時域樣本，包含軌道不平順輸入時程、隨機變量參數以及加速度、位移等響應時程，得到的K個樣本為代理模型的訓練樣本；通過ARMAX 模型對K個樣本進行訓練，以確定式(4)中模型的參數ak(ξ)、bk(ξ)和ck(ξ)，訓練中迭代搜索算法為LM最小二乘法，針對模型的多項式階次和時間滯，先通過輸入和輸出的相關性[15]確定初始值，再采用試算法進行參數的微調，直到滿足迭代終止條件(MSE[19]≤5×10-6和FPE[20]≤5×10-8)；

第三步，確定PC 項的參數，如最大基函數階數、基函數形式等，本文考慮的隨機變量均為高斯分布，因此，正交多項式也均為Hermite多項式；通過式(11)得到PC-ARMAX 模型的參數θ；

第四步，利用抽樣方法，如隨機抽樣、拉丁超立方抽樣法[25]等，得到滿足隨機變量參數概率分布類型和取值區間的N個樣本點，進一步通過第三步得到的參數θ、式(9)和式(6)對車-橋系統的響應進行預測；對于預測得到的N個車-橋響應樣本，進行后處理，并與MCS 的計算結果進行對比，以評價代理模型的預測性能。

3 結果分析

車輛運行和橋梁服役過程中，隨機系統參數會對列車響應產生不同程度的影響，但橋梁隨機參數對列車響應的影響相對較小[11,26]，因此，本節忽略了橋梁參數的影響，僅分析討論車輛參數不確定性的影響。已有研究表明[8,27]：列車模型一系懸掛系統對車體垂向加速度影響較小，而二系懸掛系統對車體垂向加速度占主要影響，因此在后續分析中主要考慮車體質量、二系垂向剛度和二系垂向阻尼參數的隨機性對車體垂向加速度的影響。車輛模型采用CRH 型動車組，考慮的隨機參數如表2 所示。采用2×(動+動+動+拖)的8 節編組，其中動車和拖車的參數簡化為相同，且8 節車廂的參數隨機性一致，運行速度為200 km/h；德國低干譜運用廣泛，且計算結果偏安全[28]，本文選用德國低干譜來模擬軌道不平順樣本，模擬方法為AR 法[15]，空間步長為0.2 m。

表2 主要列車參數Table 2 Main parameters of train

3.1 車輛隨機參數的影響

針對較為復雜的車-橋耦合系統，通過等差值取值方法得到17 個車-橋樣本作為PC-ARMAX 模型的訓練樣本，模型訓練時參數迭代搜索算法設定為LM 最小二乘法，最大迭代次數為200，混沌多項式最大階次為6，在滿足迭代終止條件(MSE和FPE)后完成訓練，此時確定的模型參數na=4，nb=5，nc=2，nk=0；利用訓練好的PC-ARMAX 模型進一步對車-橋系統響應進行預測，預測樣本數量為104，并和MCS 的結果進行對比以驗證代理模型的預測精度。為突出列車參數不確定性的影響，先忽略了軌道不平順隨機性的影響，不同訓練樣本和預測樣本采用的軌道不平順相同，部分ARMAX 模型參數隨車體質量變化的規律如圖4所示，可以看出代理模型的參數較大時隨車體質量的變化規律較明顯，呈現一定的單調性；而在較小時則存在一定的波動，這會影響PC-ARMAX模型參數的估計準確性，從而影響模型的預測精度。

圖4 ARMAX 模型參數Fig. 4 The parameters of ARMAX model

圖5 給出了車體質量為37.712 t 時，PC-ARMAX模型對車體加速度的預測值與MCS 結果的時程對比曲線和誤差曲線，可以看出所采用的代理模型能較為精確的對車體加速度進行預測，即使是對于工程應用中較為關注的響應最大值，最大的預測誤差僅為2%。為了進一步對提出代理模型的整體預測性能進行評價，圖6 給出了兩種計算方法得到的104個樣本的最大加速度值的超越概率曲線，由圖6 可以看出，除了在尾部有較小的波動外，預測值和目標值的結果是一致的，這表明本文提出的PC-ARMAX 代理模型適用于車-橋耦合系統的參數不確定性分析。在計算效率方面，利用MCS 計算一個樣本的平均時間為36.4 s，而PC-ARMAX 模型訓練一個樣本的時間約為1.5 s，預測時間為0.05 s，由此可得出，在最大預測誤差僅為2%的情況下，所提出方法的計算效率較MCS提高了2 個～3 個數量級。

圖5 車體加速度時程和誤差曲線Fig. 5 Time history of vehicle body acceleration and errors

圖6 車體加速度超越概率曲線Fig. 6 Exceeding probability of acceleration with random car body mass

為了分析不同隨機參數對PC-ARMAX 模型預測性能的影響，圖7 給出了車體質量、二系剛度和二系阻尼這三個參數隨機時，車體加速度預測值最大值和目標值最大值的對比結果，圖8 給出了對應的預測值和目標值概率密度函數對比結果。由圖7 和圖8 可以得出，代理模型對于車-橋耦合系統不同隨機參數都有較高的預測精度，預測值和目標值的結果較為接近；PC-ARMAX 模型對不同隨機參數的預測性能有差異，對于二系剛度隨機時的預測精度最高，車體質量隨機時的精度最差，但整體上差異較小。不同隨機參數對車-橋系統的影響存在差異，車體質量隨機的影響最大，二系剛度隨機時影響最小，這和文獻[8]的結論是一致的；二系剛度隨機時引起的車體加速度相對差異達到了16.6%，表明在車-橋耦合振動分析時考慮結構參數的隨機性是很有必要的。

圖7 不同參數隨機時車體加速度最大值對比Fig. 7 Maximum absolute values of acceleration with different random parameters

為了進一步研究PC-ARMAX 模型用于車-橋系統參數不確定性分析時的總體和局部預測性能，對預測得到的104個樣本進行分析，得到了NRMSE和NMAE，其計算公式為：

圖9 給出了104個樣本的NRMSE 和NMAE 的框圖，可以看出，提出的代理模型的預測精度較高，其中對二系剛度隨機時的預測性能相對較好，但三個隨機參數的差別不大，這與圖7 和圖8得出的結論是一致的。

圖8 不同參數隨機時車體加速度概率密度函數Fig. 8 PDFs of acceleration with different random parameters

圖9 不同參數隨機時車體加速度的NRMSE 和NMAEFig. 9 NRMSE and NMAE of acceleration with different random parameters

3.2 隨機激勵和隨機車輛參數共同影響

軌道不平順作為隨機過程，是車-橋系統的主要激勵，使得車-橋系統的動力響應表現出很強的隨機性[29-30]。實際工程中，參數隨機通常伴隨著隨機軌道不平順同時出現，同時考慮系統參數不確定性和軌道不平順隨機性的影響是必要的。

為了研究隨機激勵和隨機車輛參數共同作用時PC-ARMAX 模型的適用性，圖10 給出了考慮軌道不平順和車體質量參數同時隨機時車體加速度最大值的對比結果，圖11 給出了只考慮參數隨機時和同時考慮激勵和參數隨機時的概率密度函數對比。

圖10 考慮激勵和車體質量隨機時車體加速度最大值對比Fig. 10 Maximum absolute values of acceleration with different random excitations and car body mass

由圖10 可得，在同時考慮激勵和車輛參數隨機時，仍然能獲得較好的預測精度，表明本文提出的模型可較好的適用于隨機車-橋耦合系統分析。由圖11 結合圖10 和圖7 可知，在考慮隨機軌道不平順后，預測精度略微降低，但車體加速度響應的變化范圍也更大，與不考慮軌道不平順隨機性相比，增大了72.2%。因此軌道不平順和車-橋系統參數不確定性的影響都不可忽略，車-橋耦合振動分析中應同時考慮兩者的隨機性。

圖11 只考慮參數隨機和同時考慮參數和激勵隨機的概率密度函數Fig. 11 PDFs of acceleration with only random parameters and both random excitations and random mass

4 結論

本文提出了可考慮動態時變系統的參數不確定性的PC-ARMAX 模型，將該代理模型用于車-橋耦合系統的參數不確定性研究，分析了車體質量、二系豎向剛度和二系豎向阻尼等參數不確定性對車體加速度響應的影響，進一步考慮了不同隨機參數對提出模型預測精度的影響。得到以下結論：

(1)提出的PC-ARMAX 模型可代替車-橋系統動力方程的求解過程，實現不確定性傳遞的解耦，且對每個樣本的預測誤差均小于2%，與蒙特卡洛模擬(MCS)的結果吻合較好，且計算效率提高了2 個～3 個數量級，也可同時考慮不確定性參數與隨機激勵的影響。

(2)不同隨機參數對車輛響應有不同程度的影響，車體質量參數隨機的影響最大，隨機參數的影響在車-橋耦合振動分析中不可忽略。同時考慮軌道不平順和車輛參數隨機性，預測精度仍然較高，且車體加速度的變化范圍增大了72.2%。