轉子擠壓油膜阻尼器靜偏心對減振效果的影響

徐偉文， 張大海， 王 平， 劉璟澤， 費慶國， 姜 東

(1. 東南大學 江蘇省空天機械裝備工程研究中心， 南京 211189； 2. 東南大學 機械工程學院， 南京 211189；3. 中國航發湖南動力機械研究所， 湖南 株洲 412002； 4. 南京林業大學 機械電子工程學院， 南京 210037)

航空發動機中普遍采用擠壓油膜阻尼器(squeeze film damper，SFD)來抑制轉子的過度振動，減小支承外傳力，使轉子系統平穩越過臨界轉速，或抑制運行過程中突發的瞬態響應[1-2]。

對航空發動機進行精確建模是獲得準確的動力學響應的前提。針對航空發動機整機建模技術，曹芝腑等[3-4]提出了一種有限元模型修正方法，在保證精度的同時有效提高計算效率。對于航空發動機中支承結構的建模，也已進行了大量研究[5-6]。由于支承結構中油膜的高度非線性，轉子系統往往出現非線性振動[7-9]。

為了分析支承結構中油膜的作用與效果，Holmes[10]從求解雷諾方程出發，基于短軸承假設推導了SFD的油膜力表達式。劉楊等[11]從理論角度分析了轉子系統中擠壓油膜的減振效率，發現在一定轉速范圍內SFD能夠有效起到減振效果。試驗研究表明，SFD的減振效果還表現為對碰摩等故障引起振動的抑制作用[12]。

實際工程中，由于零部件加工誤差、裝配誤差和重力等因素的影響，SFD無可避免地產生一定程度的靜偏心。Sykes等[13]在不同靜偏心條件下進行了試驗研究，發現SFD靜偏心會導致轉子系統出現次諧波振動；祝長生等[14]試驗研究了SFD內外環部分接觸時的減振特性，發現靜偏心可能導致轉子無法通過共振轉速區域。劉占生等[15]利用脈沖激勵法測定SFD的阻尼系數并與理論值進行對比，發現在一定的靜偏心比范圍內兩者才能較好的吻合。趙項偉等[16]推導了靜偏心條件下SFD的雷諾方程，使用Jeffcott轉子模型研究了轉子系統的響應。李巖等[17]分析了阻尼器不同心及油膜環碰摩故障等因素作用下轉子系統的振動特性。劉展翅等[18]通過試驗研究了不同靜偏心條件下SFD的減振性能，結果表明靜偏心會導致轉子系統臨界轉速升高，失效不平衡量減小。由于靜偏心在SFD實際應用時必然存在，并會帶來轉子系統振動特性的改變，因此不容忽視。而目前有關SFD靜偏心的研究相對匱乏，且主要為試驗探究，故有必要進一步分析靜偏心對轉子系統減振特性的影響。

本文基于Reynolds邊界條件求解靜偏心條件下SFD的雷諾方程，推導了靜偏心條件下的SFD油膜力表征公式；建立模擬高壓轉子系統的有限元模型，分析了靜偏心對SFD減振特性的影響。

1 靜偏心SFD轉子系統

1.1 靜偏心SFD油膜力

同心型SFD常常通過鼠籠彈支進行定心。鼠籠彈支的外表面充當油膜內環，支承座或機匣的內表面作為油膜外環。外環一般處于固定狀態。在油膜外環和內環間形成擠壓油膜，便組成了SFD。SFD的理想狀態如圖1所示，其中Rj和Rb分別是油膜內環和外環半徑，二者間隙中的陰影部分即擠壓油膜區域。靜止時(圖1(a))SFD的油膜內環圓心Ob與油膜外環圓心Oj位置重合；工作狀態下(圖1(b))，內環圓心Ob圍繞外環圓心Oj進動。需要指出的是，圓形點劃線軌跡僅作為內環圓心的進動示意，并非真實運動軌跡。在實際應用中，零件加工、部件裝配等因素容易導致鼠籠彈支相對支承座發生相對偏移，造成油膜外環與油膜內環圓心位置不重合。如圖2所示，靜止狀態(圖2(a))下Oj相對于Ob偏移了一段距離es。此時，工作狀態下(圖2(b))的SFD內環不再圍繞油膜外環圓心Ob進動，而是圍繞初始靜偏心位置Oj0進動。這種變化會改變油膜壓力楔形區域，從而使油膜力發生改變，最終導致SFD工作特點與減振性能的變化。

(a) 靜止狀態

(a) 靜止狀態

假設流體不可壓縮，黏度為常數，根據SFD的廣義雷諾方程[19], 可得含靜偏心項的SFD雷諾方程

(1)

式中：h是局部油膜厚度；p(θ,z)代表SFD內壓力分布，θ是油膜起始角，從最大油膜厚度處開始計算，z是軸頸軸向坐標。各參數含義如圖3所示。圖3中：x和y分別代表水平與豎直方向坐標，并在x方向出現靜偏心；μ是潤滑油的黏度；u1和u2分別代表油膜內外邊界的圓周速度；v1和v2分別代表油膜內外邊界的徑向速度；er代表相對動偏心，即軸頸中心實際運動位置Oj與靜偏心位置Oj0的連線距離；e代表絕對動偏心，是軸頸中心實際運動位置Oj與油膜外環中心Ob的連線距離。由于油膜外環固定，故有u1=v1=0。

圖3 靜偏心SFD雷諾方程計算模型Fig.3 Calculation model of SFD Reynolds equation withstatic eccentric

在短軸承假設下，式(1)的解析解

(2)

角度θ處的油膜厚度為

h=c(1+εcosθ)

(3)

(4)

α是油膜起始角與相對動偏心連線間的夾角，α和θ滿足如下關系

(5)

此時油膜支承力的徑向和切向分量為

(6)

式中：R是SFD半徑，由于SFD間隙遠遠小于其半徑，故可以認為R=Rb=Rj。式(6)的求解需要根據邊界條件確定油膜起始角θ的值，本文考慮與實際情況更接近的Reynolds邊界條件[20]。該邊界條件認為SFD在θ<π的某一點θ1處開始出現油壓，并存在于θ1～θ1+π的范圍內，而其他部位壓力為零。故令式(2)為零即p(θ,z)=0，可得

(7)

代入式可得

(8)

將式(3)代入式(6)，并在SFD軸向長度范圍內積分可得

(9)

將式(5)代入式(9)可得

(10)

式中，I1、I2和I3是著名的Sommerfeld積分

(11)

當不存在靜偏心時，有er=e，式(10)退化為SFD油膜力經典模型

(12)

式(11)可以通過查詢Booker積分表[21]求得，避免直接積分從而提高計算速度。將支承力在直角坐標系中給出

(13)

1.2 轉子系統建模

本文采用試驗文獻中的轉子系統模型。轉軸上安裝兩個不同的圓盤,分別模擬壓氣機盤和渦輪盤。如圖4所示，轉子系統左端為彈性支承，包括鼠籠彈支和擠壓油膜；右端為剛性支承。將軸劃分為8個軸段，共9個節點，采用Timoshenko梁單元模型對轉子進行建模，具體結構參數如表1所示。其它支承參數參見原實驗模型，其中SFD的長徑比L/2R<1/2，滿足短軸承理論適用條件。

圖4 轉子系統模型Fig.4 Model of rotor system

表1 轉子結構參數Tab.1 Structural parameters of rotor

由于轉子軸向被約束，且系統中并無軸向力的作用，因此忽略梁單元的軸向自由度，考慮每個梁單元兩個節點各4個自由度，如圖5所示。xA，yA和θxA，θyA分別表示橫向位移和轉動位移，下標A和B分別表示軸段中兩個相鄰節點A和B。

每個軸段的單元位移矩陣ue為

ue=[xA,yA,θxA,θyA,xB,yB,θxB,θyB]T

(14)

(15)

圖5 軸和盤的有限元模型Fig.5 FE model of a shaft element and rigid disk

(16)

式中：ω是轉子自轉角速度，es是靜偏心量矩陣，q是轉子系統的廣義位移

q=[x1,y1,θx1,θy1,…,x9,y9,θx9,θy9]

(17)

xi,yi,θxi和θyi代表第i(i=1,2,…,9)個節點的位移與轉角。Fg是轉子系統重力矩陣，Fb是SFD的油膜力矩陣。SFD油膜力僅作用在節點1上，節點1處的油膜力為

(18)

其中Fx和Fy由式(13)求得。Fu是不平衡激勵，作用在1#圓盤即節點3處，該處的不平衡力為

(19)

φ是圓盤的角位移。當轉子系統處于升降速過程中時，式(19)演化為

(20)

采用Newmark-β與Newton-Raphson相結合的方法求解系統微分方程(16)，前者具有計算速度快，容易收斂的優點；后者適用于系統中油膜力帶來的非線性項。Newmark-β法系數α=1/2，β=1/4，此時該算法是無條件穩定的。

2 靜偏心對臨界轉速的影響

參照文獻中的試驗情況，設置6組在x軸正方向的靜偏心率，分別為εs=0.06，0.25，0.31，0.44，0.56，并取相同的不平衡量U=10 g·cm。當靜偏心率進一步增大時，SFD容易發生碰摩現象，超出油膜力模型適用范圍。分別在以上靜偏心條件下計算轉子系統在相同不平衡量激勵下的升速振動響應，獲得2號圓盤的振動幅值隨轉速的變化如圖6所示。計算時，以前一個轉速下的穩態響應作為下一個轉速的初始輸入，得到轉子系統在升速階段的漸近穩態響應。

圖6 不同靜偏心下振動響應Fig.6 Vibration response under different static eccentricity

由圖6響應圖線可以看出，轉子系統的臨界轉速隨著靜偏心量的增大而增大，且所對應的振幅呈逐漸減小趨勢。與原文獻試驗結果對比發現，當靜偏心率在0.6以下時具有相同的變化趨勢，驗證了本文所建立模型在該靜偏心率范圍內的準確性。

在臨界轉速區域附近選取一特定轉速3 500 r/min，繪制轉子系統在不同靜偏心條件下的SFD軸頸軸心軌跡如圖7所示。由圖線可知，當靜偏心率很低時，軸心進動軌跡接近正圓；隨著靜偏心率的增加，軌跡中心向靜偏心方向偏移，軸心軌跡逐漸被壓縮。這種現象同時出現在靜偏心方向(水平方向)，和與靜偏心方向垂直的方向。當靜偏心率較大時，軸心軌跡已經變得不規則，且非常接近碰摩邊界(SFD油膜外環)。此時SFD的抗振性能大大降低，若繼續增加不平衡量，或者突加載荷，SFD可能會發生碰摩而失效。

可見，在轉子系統加工裝配階段應盡量保證同心度，避免臨界轉速區域偏移至工作轉速附近；在轉子系統的設計階段也應考慮到臨界轉速的偏移，在臨界轉速與工作轉速間預留足夠的安全裕度。當不平衡量相同時，靜偏心增加雖會提供更優的減振效果，但是也降低了轉子系統的抗振性能，SFD容易出現碰摩失效。

圖7 不同靜偏心下的軸心軌跡Fig.7 Shaft orbit under different static eccentricity

3 靜偏心對承載能力的影響

為進一步評估靜偏心的影響，此處引入最大不平衡量的定義。由圖7可知，當靜偏心率為0.56時，阻尼器進動軌跡已經非常接近油膜外環，此時若繼續增大不平衡量，或者對轉子系統施加非常小的擾動，都會使軸頸與外環發生碰摩，導致SFD失效。不妨以SFD軸頸的位移響應達到SFD油膜間隙的95%作為界限，定義此時對應的不平衡量為該轉子系統在這一靜偏心率下的最大不平衡量，用以衡量SFD的承載能力。基于該定義，在不同的靜偏心條件下，逐漸增加不平衡量，分別計算臨界轉速峰值處的不平衡響應，獲得相應的最大不平衡量。在上文中的靜偏心條件下插入幾組工況，最終所設置的靜偏心條件為εs=0.12，0.18，0.25，0.31，0.38，0.44，0.50和0.56，得到對應的最大不平衡量如圖8所示。隨著靜偏心量的增加，阻尼器最大不平衡量呈現減小的趨勢， SFD承載能力被逐漸削弱。

圖8 不同靜偏心下最大不平衡量Fig.8 Maximum unbalance under different static eccentricity

為了進一步研究靜偏心對SFD減振效果的影響，分別在不同靜偏心率條件下，計算轉子系統達到最大不平衡量時臨界轉速處的幅值響應(2#盤位置)，并以純彈性支承下(剔除油膜力)對應不平衡量的臨界轉速處幅值響應作為參照。如圖9所示，彈性支承與SFD支承二者幅值響應之間的陰影區域，代表SFD的減振效果，隨著靜偏心率的增加，減振效果區域逐漸變窄。這表明在最大不平衡量下，靜偏心降低了SFD的減振效果。為更加直觀的觀察減振效果的變化，由圖9計算不同靜偏心率在對應最大不平衡量下的減振效率如圖10所示，可見在不同靜偏心條件下達到對應的最大承載能力時，SFD的減振效率隨靜偏心率的增加而降低。

圖9 不同靜偏心率對應最大不平衡量下的振動響應Fig.9 Vibration response under maximum unbalancecorresponding to different static eccentricity

圖10 不同靜偏心率對應最大不平衡量下的減振效率Fig.10 Damping efficiency under maximum unbalancecorresponding to different static eccentricity

為分析靜偏心對轉子系統變速過程中幅值跳躍的影響，取三種靜偏心工況分別計算轉子升降速過程的響應。按照表2設置不平衡量進行計算，這種參數設置方法可大大降低計算量，并形成若干組橫向對比和縱向對比。加速度取定值±7.85 rad/s2，分別計算臨界轉速附近區域內的升降速幅值響應如圖11～13所示。

由圖11(a)可以看出，當靜偏心率εs=0.06時，在較大的不平衡量下(U= 24 g·cm)，轉子系統在升速過程中出現了嚴重的幅值跳躍以及波動現象；不平衡量下降到U= 15 g·cm時見圖11(b)，轉子系統的升速響應曲線變化則較為平緩。類似的規律分別在εs=0.31(圖12)及εs=0.56(圖13)中得到了復現。

(a)U= 24 g·cm

(b) U= 15 g·cm圖11 升降速過程振動響應(εs=0.06)

(a)U= 15 g·cm

(b) U= 10 g·cm圖12 升降速過程振動響應(εs=0.31)

(a)U= 10 g·cm

(b) U= 5 g·cm圖13 升降速過程振動響應(εs=0.56)

表2 靜偏心與不平衡量參數

當不平衡量U= 10 g·cm時，對比靜偏心率εs=0.31和εs=0.56兩種工況，可見在較大的靜偏心率下升速響應出現了幅值跳躍以及波動，而靜偏心率較低時，升速響應曲線變化則較為平緩。類似的規律在U=15 g·cm時得到了復現。這種規律表明靜偏心率的增加會使出現幅值波動或跳躍的不平衡量降低，轉子系統的振動響應更傾向于出現不穩定的運動。

4 結 論

本文在Reynolds邊界條件下推導了考慮靜偏心的SFD油膜力表征公式，建立了模擬高壓轉子的有限元模型，并通過數值仿真方法研究了靜偏心對SFD支承的轉子系統的振動特性的影響。在靜偏心率低于0.6的工況下進行分析，得出以下結論：

(1) 隨著靜偏心率增大，轉子系統的臨界轉速呈增大趨勢。在轉子系統設計與應用中應考慮到靜偏心導致的臨界轉速偏離設計范圍現象的出現。

(2) 在相同不平衡量下，隨著靜偏心率的增大，臨界轉速的峰值有降低趨勢。從這一角度而言，SFD靜偏心提高了減振效果，但也降低了系統抗振性能。

(3) 靜偏心率增加降低了SFD的承載能力，同時降低SFD在達到最大承載能力時的減振效率。

(4) 靜偏心率增加會導致出現幅值跳躍的不平衡量降低，使得轉子系統在升速過程中更易出現幅值跳躍。