分數階半主動顆粒阻尼隔振系統動力學特性分析

薛 程， 夏兆旺,2， 盧志偉， 鞠福瑜， 茅凱杰

(1.江蘇科技大學 能源與動力學院，江蘇 鎮江 212003;2.江蘇海事職業技術學院 輪機電氣與智能工程學院，南京 211100;3.中國船舶重工集團公司第七一一研究所，上海 201108)

顆粒阻尼作為一種結構簡單、能適用于惡劣環境且幾乎不影響機械結構的隔振元件，近年來在航空航天、車輛機械、海洋工程等重要領域得到了廣泛應用[1-4]。其按技術類別可劃分為被動顆粒阻尼技術、半主動和主動顆粒阻尼技術。主動顆粒阻尼技術成本高，在工程應用中實現較為困難；被動顆粒阻尼主要通過顆粒間的相互碰撞和摩擦耗散系統能量；而半主動顆粒阻尼通過磁場力進一步控制顆粒運動，實現調節系統耗散的功能，其減振機理在多物理場耦合下變得更加復雜，傳統的線性模型無法精確描述其非線性特征。因此，構建能準確描述半主動顆粒阻尼的力學模型對于研究其隔振系統的動力學特性具有重要意義。

21世紀以來，分數階理論在非線性振動研究領域取得了飛速的發展[5-8]。研究者們發現分數階導數在模擬黏彈性等非線性材料的本構關系時具有良好的精度[9-12]。溫少芳等[13]采用平均法研究了分數階與時滯耦合的Duffing自治系統;楊旭等[14]基于空間分數階微積分方法建立了分數階非牛頓流體本構模型，為研究非牛頓流體的記憶特征提供了新的建模方法。彭海波等[15-17]采用分數階理論對新型慣容器、動力吸振器進行參數優化，為隔振設計提供了新的思路。但針對半主動顆粒阻尼器的分數階模型還未見相關研究。為此，建立了半主動顆粒阻尼器的分數階模型，并通過試驗驗證了分數階模型的準確性。之后，研究了含半主動顆粒阻尼裝置的單層隔振系統，通過平均法求解隔振系統的解析解，并通過Grünwald-Letnikov數值方法驗證了解析解的正確性。最后，研究了分數階參數對半主動顆粒阻尼隔振系統穩態響應的影響規律。該研究為半主動顆粒阻尼器的應用與發展提供了借鑒。

1 半主動顆粒阻尼器分數階模型及試驗驗證

1.1 半主動顆粒阻尼器分數階數學模型

半主動顆粒阻尼試驗模型如圖1所示。采用PP材質的柱狀容器作為半主動顆粒阻尼的容納裝置；容納裝置上下端均安置輕質塑料擋板，裝置外壁則均勻纏繞1 700匝銅導線。裝置中填充的顆粒為直徑2 mm的鋼球，如圖2所示。

圖1 半主動顆粒阻尼裝置Fig.1 Semi-active particle damping equipment

改變半主動顆粒阻尼器力學性能的物理參數主要為顆粒填充率和外線圈電流。適當增加顆粒填充率會提高半主動顆粒阻尼器的質量并使得顆粒間摩擦和碰撞機率提升；改變半主動顆粒阻尼器的外圈電流可改變顆粒阻尼器的內部磁場，通過控制顆粒的運動狀態來改變顆粒阻尼器的內損耗能力。基于分數階理論建立半主動顆粒阻尼器的動力學模型，如式(1)所示

(1)

圖2 填充顆粒Fig.2 Filled particle materials

設方程在簡諧激勵下有如下形式的解

(2)

式中，θ為加速度信號與力信號的相位差。將式(2)代入式(1)，并采用簡諧函數分數階求導法則可得

m2(2πf)2acos(2πft+θ)+kpa(2πf)α×

(3)

將簡諧函數展開并根據待定系數法整理得到以下方程組

(4)

解此方程組得

(5)

1.2 分數階模型參數識別

半主動顆粒阻尼器試驗測試系統如圖3和圖4所示，阻抗頭安裝在激振器頂桿的末端并通過轉接頭與半主動顆粒阻尼器剛性連接。將阻抗頭上產生的信號反饋給信號源控制儀，通過信號源控制儀和功率放大器調節激振力以保證恒定的激勵。同時，采集顆粒阻尼器上端的加速度信號。通過改變顆粒填充率和線圈電流，分別研究這兩個物理參數與分數階參數之間的定量關系。

圖3 試驗測試流程圖Fig.3 Experimental flow chart

圖4 試驗裝置圖Fig.4 Experimental setup

半主動顆粒阻尼器初始質量m2為0.72 kg；文獻[18]通過掃頻試驗得知，該系統在激勵頻率20 Hz附近相角變化穩定，此時顆粒充分運動，能達到較好的阻尼效果。故在本試驗中將激勵頻率f設為定頻20 Hz；初始電流為0.3 A；試驗中的顆粒填充率為一種質量占比填充率，即填充的顆粒質量占顆粒阻尼器空間所能容納的最大質量比例；其中每填充10%的顆粒，質量增加約10 g。試驗過程中，顆粒填充率的工況為0～80%，間隔10%；外圈電流工況為0.3～2.4 A，間隔0.3 A。之后，以試驗數據為基準，采用最小二乘法求得使理論值與試驗值平均誤差最小的參數解。文中誤差E的表達式為

(6)

在所建立的分數階力學模型中，存在兩個未確定參數(分數階階次和分數階系數)。為判斷未確定參數與已知物理量(顆粒填充率和外圈電流)之間的對應關系，先假設分數階階次與顆粒填充率相關；通過參數識別可發現:當分數階階次值在限定范圍內變化時，對顆粒填充率的影響很小，甚至可以忽略不計，為此可認為分數階階次是顆粒填充率變化的非敏感性因素。

半主動顆粒阻尼器模型的分數階系數與激振力幅值、顆粒填充率的關系如表1所示(其他電流下也具有相似規律)；從表1中的數據可知：當顆粒填充率為0%時，令kp=0，則半主動顆粒阻尼器的分數階模型退化為傳統整數階模型，此時試驗值與理論值的誤差為10.33%；在引入分數階參數后，試驗值與理論值誤差明顯降低，說明分數階模型比整數階模型具有更好的精度。從表1的第3～4行數據可知：保持分數階系數和階次不變而改變激振力的幅值對分數階模型的精度影響很小。

表1 激振力幅值及顆粒填充率對分數階系數的影響規律(電流0.6 A)

根據曲線擬合，便可確定分數階系數kp與顆粒填充率D之間的定量關系，擬合曲線如圖5所示。從圖5中可以看出：分數階系數kp與顆粒填充率D滿足線性關系，具體表現為顆粒填充率每增加20%，kp的值降低5。

根據上述定量識別過程，可得到分數階系數kp關于顆粒填充率D的表達式

kp=-25D+32.5

(7)

半主動顆粒阻尼器的分數階階次與外圈電流的關系如表2所示(其他顆粒填充率下也有相似規律)；從表2中數據可知：分數階階次隨外圈電流的增大而增大；加速度響應幅值隨外圈電流的增大而減小，這主要是因為電流的增大提高了半主動顆粒阻尼器的內損耗能力。

圖5 試驗參數擬合曲線Fig.5 Fitting curve of experimental parameter

表2 電流對分數階階次的影響規律(顆粒填充率 50%，激勵幅值13 N)

根據曲線擬合，便可確定分數階階次α與外圈電流I之間的定量關系，擬合曲線如圖6所示。

圖6 試驗參數擬合曲線Fig.6 Fitting curve of experimental parameter

根據上述定量識別過程，可得到分數階階次α關于外圈電流I的表達式

α=-0.008 4I3+0.013 6I2+0.232 6I+0.933

(8)

2 分數階半主動顆粒阻尼隔振系統力學模型

研究如圖7所示分數階半主動顆粒阻尼隔振系統，隔振系統由橡膠隔振器、帶有空腔的海洋桁架平臺子結構、半主動顆粒阻尼器組成，半主動顆粒阻尼器置于空腔內并與子結構剛性鏈接。建立分數階半主動顆粒阻尼隔振系統動力學方程，如式(9)所示。

圖7 分數階半主動顆粒阻尼隔振系統Fig.7 Fractional-order semi-active particle damping vibrationisolation system

(9)

式中:m1表示海洋桁架平臺子結構的質量;m2表示未填充顆粒時半主動顆粒阻尼器的質量，令m=m1+m2；F表示系統的激振力，令F=F0cosωt;kp、α分別表示分數階系數和分數階階次；k、c分別為橡膠隔振器的剛度系數和阻尼系數。

引入無量綱位移y=kx/F0，無量綱時間τ=ωt，對式(9)進行歸一化處理可得

(10)

(11)

其中

(12)

(13)

綜上，分數階半主動顆粒阻尼隔振系統穩態響應的一次近似解為

y=Ycos(τ-θ)

(14)

3 分數階隔振系統振動特性分析

3.1 數值仿真與理論解析

運用分數階微分的性質對式(9)進行降維處理，將其變形為

(15)

式(16)給出了Grünwald-Letnikov形式[19]的分數階定義。

(16)

將式(15)代入式(16)即可得到系統的離散方程

(17)

分數階半主動顆粒阻尼隔振系統的主要參數設為：半主動顆粒阻尼器初始質量(m2=720 g)與海洋桁架子結構質量(m1=10 kg)的總和m=10.72 kg，橡膠隔振器的阻尼系數c=100 N·s/m，剛度系數k=4 000 N/m；激振力幅值F0=100 N。數值解計算步長h選取0.05。

G-L分數階定義具有明確的物理含義，適用于多種工程應用背景，其數值解的計算效率和準確性都有良好的保障[20]。圖8給出了解析解與G-L數值解的對比結果(激勵角頻率ω=2 rad/s,分數階系數kp=25，分數階階次α=1.1)；從圖中可看出：分數階半主動顆粒阻尼隔振系統的解析解與數值解具有較好的一致性，這驗證了解析解的正確性。

圖8 解析解和數值解Fig.8 Analytical and numerical solutions

3.2 分數階參數對隔振系統動力學響應的影響

為研究分數階參數對分數階半主動顆粒阻尼隔振系統振動特性的影響，采用無量綱位移振幅來評估半主動顆粒阻尼隔振系統的隔振效果。分數階階次α對隔振系統穩態響應振幅的影響規律如圖9所示(分數階系數kp=25)，從圖中可以看出：隨著分數階階次α的增大，隔振系統穩態響應振幅Y逐漸減小。前述半主動顆粒阻尼分數階模型試驗已表明，分數階階次α隨外圈電流的提高而增大。因此，系統穩態響應振幅減小主要是因為外圈電流的提高，使得顆粒在主共振區域摩擦碰撞活動更劇烈，增大了半主動顆粒阻尼器的內損耗能力。從圖9中可以進一步看出：各分數階階次下的幅頻響應曲線均經過一個共同點(Y=2.3處)，相關文獻將其稱之為固定點[21]。根據固定點理論，無論分數階階次α如何變化，半主動顆粒阻尼隔振系統的幅頻響應曲線始終經過固定點，該固定點即為隔振系統的最優參數點。同時也可以發現，系統穩態幅頻響應曲線隨階次α的增大出現了“頻移”現象，這主要是因為分數階階次α的值逐漸向上限值2靠近，即提高了系統的慣性力。

取各階次下的共振幅值點，采用曲線擬合推導出響應幅值Y與分數階階次α的關系式，擬合曲線如圖10所示。

圖9 分數階階次α對系統穩態響應振幅的影響

圖10 響應幅值Y與分數階階次α的關系曲線Fig.10 The relation curve of Y and α

響應幅值Y與分數階階次α的關系式為

Y=6.157α2-19.71α+17.97

(18)

將Y=2.3代入式(18)，即可得分數階系統的最優階次值為：α=1.47。

分數階系數kp對系統穩態響應振幅的影響規律如圖11所示(分數階階次α=1.1)。從圖中可以看出，隨著分數階系數kp的減小，穩態響應振幅Y逐漸減小。前述半主動顆粒阻尼分數階模型試驗已表明，分數階系數kp隨著顆粒填充率的增大而減小。因此，系統穩態響應振幅減小主要是因為填充的顆粒越多，顆粒之間摩擦碰撞的幾率就越高，在發生共振時，消耗的系統能量就越多。

4 結 論

針對半主動顆粒阻尼器建立分數階模型，通過參數識別分別研究了分數階系數和階次與實際物理量之間的定量關系。研究結果表明：分數階系數與顆粒填充率存在線性關系，而分數階階次與外圈電流滿足三次插值多項式。隨后建立了分數階半主動顆粒阻尼隔振系統的動力學模型，通過平均法求解了該隔振系統的解析解；之后基于Grünwald-Letnikov分數階定義得到了系統的數值解，并與解析解的結果進行對比，驗證了解析解的正確性。

圖11 分數階系數對系統穩態響應振幅的影響

最后，分別研究了分數階系數和階次對系統穩態幅頻響應的影響。研究結果表明：隨著分數階階次的提高或分數階系數的降低，系統的穩態響應振幅逐漸減小；通過觀察幅頻響應曲線得知隨階次值的變化會出現“頻移”現象，同時可根據固定點推斷出分數階系統的最優階次值。