亞音速流場中曲線纖維變剛度復合材料壁板顫振特性研究

段靜波， 徐步青

(石家莊鐵道大學 工程力學系，石家莊 050043)

高速鐵路作為國民經濟大動脈和國家重要基礎設施，在國民經濟又好又快發展和國防建設中發揮著不可替代的全局性支撐作用。隨著我國高速列車行進速度的不斷攀升，一方面，蒙皮、裙板、底板等車體壁板類結構所面臨的力學環境越來越惡劣，原本在低速列車設計中被合理忽略的壁板氣動彈性問題日益突顯出來。另一方面，為了追求列車的高速輕量化設計，復合材料正在成為高速軌道交通領域使用越來越廣泛的一類新型材料。值得注意的是，傳統的纖維增強復合材料層合板采用的是直線纖維，如圖1(a)所示，隨著自動鋪放等先進制造技術的發展，自動鋪放設備能夠使纖維方向在鋪層內曲線變化，如圖1(b)所示。與常規的直線纖維復合材料單層板相比，曲線纖維復合材料單層板剛度在空間上的非均勻分布能大幅改善結構承載能力，適應更為復雜的力學環境。因此，將曲線纖維變剛度層合板應用于高速列車壁板類結構，有望提高壁板顫振臨界速度，順利實現我國新一代復合材料高速列車壁板輕量化的設計目標。

(a) 直線纖維鋪設

曲線纖維復合材料最早由Hyper等[1]提出用來代替直線纖維以提高帶孔復合材料層合板的力學性能。隨后，Gürdal等[2-3]提出了變剛度復合材料概念。目前，國內外目前關于曲線纖維變剛度壁板相關力學問題的研究大多是關于曲線纖維變剛度壁板的屈曲分析及優化設計。Groph等[4]基于微分求積法研究了橫向剪切效應對變剛度層合板屈曲性能的影響。Mahdi等[5]設計層合板的纖維軌跡為恒定曲率變化，并考慮層合板制造過程中纖維滿足最小轉彎半徑的情況下，對層合板的最大屈曲載荷和面內剛度進行優化。Hao等[6]采用等幾何分析研究了復合材料變剛度板的屈曲及優化問題，提出了復合材料變剛度結構的精確建模、分析與結構優化一體化設計框架。孫士平等[7]研究了復合載荷作用下變剛度復合材料回轉殼的屈曲優化問題。Hamed等[8]推導了一種新的曲線路徑，并采用ABAQUS軟件通過定義子程序的方式，對曲線鋪設的復合材料層合板屈曲特性進行了模擬分析。此外，Houmat[9]對曲線纖維變剛度壁板進行大變形和應力分析。譚萍等[10]開展了曲線纖維變剛度壁板的幾何非線性振動分析。馬洪濤等[11-12]建立了曲線纖維增強復合材料層合板自由振動問題的基本方程，采用微分求積法求解，得到了層合板的自振頻率及相應的振型。馬成[13]通過對纖維曲線鋪放層合板阻尼比的研究，探究纖維曲線鋪放層合板的減振效果。杜宇等[14]對曲線纖維變剛度復合材料層合板在拉伸和彎曲載荷作用下的損傷破壞過程進行了試驗研究，獲得了該復合材料層合板的損傷破壞演化過程。有關曲線纖維變剛度壁板顫振問題，相關的研究較少，但已經引起了國內外學者的關注。Vahid等[15]采用等幾何分析法研究了高速流場中的曲線纖維變剛度層合壁板顫振問題。歐陽小穗等[16]研究了高速流場中的曲線纖維變剛度層合壁板非線性顫振響應。Touraj等[17]將曲線纖維變剛度壁板應用于飛機機翼承力結構，研究了機翼-引擎系統的氣動彈性特性。

由于我國高速列車目前的設計速度處于亞音速范圍，因此，本文以曲線纖維變剛度復合材料層合板為研究對象，建立亞音速流場中變剛度復合材料壁板顫振模型，研究復合變合壁板的固有振動特性、模態耦合特性、顫振臨速度以及顫振時域響應，分析曲線纖維鋪層關鍵參數對復合變剛度壁板顫振特性的影響規律。

1 纖維曲線方位角

(1)

(a) 曲線纖維方向角示意

2 亞音速流場中復合變剛度壁板顫振方程

2.1 壁板變形幾何關系

結構方面，曲線纖維變剛度層合壁板屬于復合材料層合板，需要采用厚板理論，因而，本文采用Mindlin厚板理論，其應變-位移關系如下

(2)

式中:u和υ分別為中面上的點沿x軸和y軸方向的位移；w為z軸方向的位移；θx和θy分別為中面繞x軸和y軸方向的轉角；ε0為壁板中面面內位移產生的應變向量；γ為橫向剪切應變向量；κ為彎曲時壁板的曲率向量；z為壁板厚度方向的坐標。

2.2 復合變剛度壁板本構關系

對于正交各向異性材料，忽略法向正應力，其應力-應變關系為

σ=Qmε，τ=Qsγ

(3)

其中，

(4)

式中，Qm,Qs分別為面內和剪切剛度，其元素Qij表達式參見文獻[18]。

對于變剛度單層壁板，由于曲線纖維角度影響，不僅單層板內本構關系隨壁板平面是變化的，當多個單層板形成層合板后，則曲線纖維角度和各層鋪層角共同影響壁板本構關系，第k層本構關系可如下表示

(5)

(6)

(7)

式中:φ為曲線纖維方位角，即與單層板局部坐標r軸方向的夾角;θk為第k層單層板鋪層角，即單層板局部坐標r軸方向與總體坐標x軸方向的夾角，如圖2(b)所示。

根據復合材料層合理論，對于n層的復合變剛度壁板本構關系可寫為

(8)

式中，N，M，Fs分別為復合變剛度壁板的膜力、彎矩、橫向剪力等內力。矩陣A，B，D，As表達式如下

(9)

2.3 亞音速氣動力模型

氣動力模型主要有三種理論：活塞理論、勢流理論和基于Euler方程或Navier-Stokes方程理論。由于列車壁板結構一側的空氣流動速度處于亞音速范圍，因此，采用線性、等熵、無黏性的勢流流動理論，僅考慮氣動力沿來方向的相互影響，暫不考慮氣動垂直來流方向的影響。因而，可采用美國學者Dowell給出氣動力模型[19]

(10)

式中:A(x)表示壁板內氣動力相互影響效應;D1(x)、D2(x)表示壁板邊界條件對氣動力的影響效應;ρ∞為空氣密度;v∞來流速度。

2.4 曲線纖維復合變剛度壁板的顫振有限元方程

基于復合變剛度壁板本構關系、幾何關系以及氣動力模型，可以寫出其虛動能、虛應變能、外力虛功

(11)

采用四邊形四節點板單元對復合變剛度壁板進行網格劃分，根據Hamilton原理，通過變分則可得到壁板的有限元顫振方程

Kss+Ka)u=0

(12)

(13)

式中，Nw為形函數矩陣N中對應撓度自由度元素組成的矩陣。

3 算例驗證與結果分析

3.1 正確性驗證

首先對本文算法及程序進行正確性驗證。根據文獻[16]中四邊固支曲線纖維變剛度復合材料層合壁板算例，采用本文程序，退化消除氣動力，進行了固有頻率計算，如表1所示，并與文獻結果進行比較，從表中可以看出本文結果與文獻的結果吻合較好，從而驗證了本文模型和程序的正確性。

表1 曲線纖維層合板無量綱固有頻率隨T0/T1變化結果對比

其次，采用文獻[21]中鋼制鋁制懸壁板，進行顫振分析驗證，將本文程序退化為各向同性材料壁板進行顫振速度計算。從表2中可以看到，本文方法計算結果與文獻在厚板結果上吻合很好，與薄板吻合相對較好，主要原因是文獻[21]沒有考慮厚板剪切效應。

表2 懸壁板顫振結果

3.2 網格收斂性分析

對于曲線纖維變剛度復合材料層合板，每一點的纖維方向都是不同的，因此壁板的剛度不再是常量，而是隨著不同位置處纖維方位角的變化而變化。采用有限元法分析時，通常需要通過細密網格才能保證分析結果的精度。因此，需要進行網格收斂性驗證。由于壁板在約束松動、失效情況下極易出現顫振現象，本文考慮壁板單邊固支的極端約束情形。壁板單層材料屬性如表3所示。幾何尺寸為L×H=0.6 m×0.4 m，總厚度為h=4 mm，鋪層為[0/90/<15|30>/<-15|-30>]s，來流方向平行于x軸，顫振臨界速度和頻率如表4所示。以網格50×50為基準，當網格為30×30時，曲線纖維復合材料層合板的顫振臨界速度和頻率誤差分別為-1.63%和1.42%。綜合考慮線性壁板顫振的計算精度和效率，本文后續計算采用30×30共900個單元的網格劃分。

表3 曲線纖維鋪層材料性能

表4 顫振分析的網格收斂性

3.3 亞音速氣流中復合變剛度壁板顫振分析

3.3.1 顫振頻域計算

采用復模態理論了求解復合變剛度壁板頻率顫振特性。圖3和圖4分別為鋪層方式[0/90/<15|30>/<-15|-30>]s、[0/90/<75|-15>/<-75|15>]s時，壁板前兩階復頻率實部、虛部隨來流速度變化的情況。復頻率實部表示阻尼，虛部表示頻率。從圖3(a)可看出，鋪層方式為[0/90/<15|30>/<-15|-30>]s的壁板，其前兩階復頻率實部隨來流先減小，后有一支增大與x=0相交，這表示振動阻尼為零。與此同時，從圖3(b)可看出，壁板前兩階復頻率的虛部相互靠近，發生模態耦合。根據穩定性條件可以判定系統此時發生了顫振，顫振速度約為60 m/s，顫振頻率約為18.2 Hz。同理，從圖4可知，當氣流速度在116 m/s時，鋪層方式為[0/90/<75|-15>/<-75|15>]s的壁板也發生了顫振，顫振頻率約為14.9 Hz。

3.3.2 顫振時域計算

曲線纖維復合變剛度壁板在給定初始擾動下，若在顫振臨界速度以下，壁板的運動隨時間減小，響應是收斂的；當超過臨界速度，壁板的振幅隨時間增大，響應則是發散的。本文采用Newmark法計算壁板時域顫振響應。圖5～圖7分別為[0/90/<15|30>/<-15|-30>]s復合變剛度壁板中點在氣流速度v∞為56 m/s、59 m/s、60 m/s時顫振時間歷程和相平面圖。從圖5可以看出，當氣流速度v∞=56 m/s時，壁板受到初始擾動后，壁板振動撓度和法向速度均是收斂的，從板中點位置顫振相平面圖也可以看到。這表明壁板沒有發生顫振。當v∞=59 m/s時，從圖6(a)、6(b)可以看到壁板受到初始擾動后，經過一段時后幅值保持不變，呈現出周期振動的現象，這表明壁板處于顫振狀態。從圖6(d)的顫振形態圖上可以看到，壁板是一階彎曲和一階扭轉發生了耦合，以彎扭耦合的振型顫振。當氣流速度v∞=60 m/s時，從圖7中可以看到，壁板受到初始擾動后，隨著時間的增加，振動已經發散了。計算的結果表明，從時域計算得到的顫振臨界速度與采用復模態方法從頻域預測的結果相當吻合。

(a) 復頻率實部

(a) 復頻率實部

(a) 壁板中點撓度-時間歷程

(a) 壁板中點撓度-時間歷程

(c) 壁板中點位置顫振相平面圖

(a) 壁板中點撓度-時間歷程

3.4 纖維鋪放參數對壁板顫振的影響分析

圖8給出了纖維直線鋪設和曲線鋪設對復合變剛度壁板顫振速度影響。其中，圖8(a)給出了三種直線纖維對稱鋪設方式，分別為[0/15]s、[0/30]s、[0/45]s，也給出了相應的三種曲線纖維鋪設方式，分別是為[0/15/<0|45>/<0|-45>]s、[0/30/<0|45>/<0|-45>]s、[0/45/<0|45>/<0|-45>]s。從圖8(a)中可看到，與直線纖維鋪設的復合壁板相比，曲線纖維復合壁板的顫振速度要低一些。圖8(b)給出了四種直線纖維和曲線纖維非對稱鋪設的情況。

曲線鋪層方式一：[0/15/<0|45>/<0|-45>]s曲線鋪層方式二：[0/30/<0|45>/<0|-45>]s曲線鋪層方式三：[0/45/<0|45>/<0|-45>]s直線鋪層方式一：[0/15]s直線鋪層方式二：[0/30]s直線鋪層方式三：[0/45]s(a) 對稱鋪設

曲線鋪層方式一：[15/45/60/90/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]曲線鋪層方式二：[30/45/60/75/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]曲線鋪層方式三：[45/30/60/75/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]曲線鋪層方式四：[45/60/75/90/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]直線鋪層方式一：[15/45/60/90]直線鋪層方式二：[30/45/60/75]直線鋪層方式三：[45/30/60/75]直線鋪層方式四：[45/60/75/90](b) 非對稱鋪設圖8 纖維直線和曲線鋪設下顫振臨界速度的比較Fig.8 Comparison of flutter critical speeds with straight andcurved fiber laying

其中，直線纖維鋪設方式分別為[15/45/60/90]、[30/45/60/75]、[45/30/60/75]、[45/60/75/90]，曲線纖維鋪設方式分別為[15/45/60/90/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]、[30/45/60/75/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]、[45/30/60/75/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]、[45/60/75/90/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]。從圖8(b)中可看到，曲線纖維復合壁板的顫振速度高于直線纖維鋪設。究其原因，可能是當纖維非對稱分布時，復合壁板的彎曲與扭轉耦合效應，產生了彎扭耦合剛度，能對壁板顫振產生抑制作用。

圖9給出了不同鋪層主方向對曲線纖維復合壁板顫振速度和頻率的影響。壁板鋪層采取6種鋪設方式，每一層曲線纖維的方向角T0、T1保持不變，鋪層形式分別為[0/0/<0|45>/<0|-45>]s、[0/15/<0|45>/<0|-45>]s、[0/30/<0|45>/<0|-45>]s、[0/45/<0|45>/<0|-45>]s、[0/60/<0|45>/<0|-45>]s、[0/75/<0|45>/<0|-45>]s、[0/90/<0|45>/<0|-45>]s。從圖9中可看到，隨著鋪層主方向角從0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°增大，顫振速度呈現出先增大后減小再增大的變化規律，在鋪層主方向角約為30°時出現極大值，在鋪層主方向角約為90°時出現最大值，相應的顫振頻率也出現這樣的變化情況。

(a) 顫振速度

(b) 顫振頻率圖9 鋪層主方向對臨界顫振速度和頻率的影響Fig.9 Influence of ply direction on critical flutterspeed and frequency

進一步研究曲線纖維方向角對復合壁板顫振速度和頻率的影響。針對鋪層形式[0/90//<-T0|-T1>]s，考慮T0和T1單獨變化的兩種情況，圖10給出了T1不變、T0=-90°～90°(間隔15°)，變剛度壁板顫振特性隨T0的變化規律。圖11給出了T0不變、T1=-90°～90°(間隔15°)，變剛度壁板顫振特性隨T0的變化規律。總體上從兩圖中可以看到，曲線纖維方向角對復合變剛度壁板的顫振有較大影響，在某些曲線纖維方向角度下，壁板甚至不會出現顫振現象。從圖10中可以看出，當T1不變、T0變化時，壁板顫振速度隨著T0從-90°～90°呈現出先減小后增大的趨勢，在T0=0°時，壁板顫振速度出現極小值。壁板顫振頻率隨著T0從-90°～90°呈現出先增大后減小的趨勢。從圖11中可以看出，當T0不變、T1變化時，壁板顫振速度隨著T1從-90°～90°呈現出持續增大的趨勢，壁板顫振頻率隨著T1從-90°～90°先增大后減小趨勢。由此可見，因此，復合變剛度壁板的顫振特性存在較大的優化空間，通過調整鋪層主方向角、曲線纖維的路徑可以提高復合材料變剛度壁板的顫振臨界速度。

(a) 顫振速度

(b) 顫振頻率圖10 曲線纖維變剛度壁板顫振特性隨T0的變化(T1不變)

4 結 論

本文建立了亞音速曲線纖維變剛度壁板顫振有限元模型，與相應文獻結果進行對比，驗證了本文模型及算法的正確性。進而采用復模態理論、Newmark法分別從頻域時域求解復合變剛度壁板顫振特性，時域頻域預測結果相當吻合。在此基礎上進行了曲線纖維鋪設參數影響分析，得出的主要結論如下：

(a) 顫振速度

(b) 顫振頻率圖11 曲線纖維變剛度壁板顫振特性隨T1的變化(T0不變)

(1) 當纖維對稱鋪設時，曲線纖維鋪設變剛度壁板的顫振速度低于直線纖維鋪設情況；當曲線纖維非對稱鋪設時，曲線纖維鋪設變剛度壁板顫振速度高于直線纖維鋪設情況；

(2) 曲線纖維變剛度鋪層主方向角對復合變剛度壁板顫振有影響，曲線纖維變剛度鋪層主方向角φ從0°～90°變化時，復合壁板的顫振速度呈現出增大后減小再增大的規律，在變剛度鋪層主方向角約為30°時出現極大值，在鋪層主方向角約為90°時出現最大值；

(3) 曲線纖維方向角對復合變剛度壁板顫振有較大影響，當T1不變、T0變化時，壁板顫振速度隨著T0從-90°～90°呈現出先減小后增大的規律；當T0不變、T1變化時，壁板顫振速度隨著T1從-90°～90°呈現出持續增大的規律，在一些曲線纖維路徑下，壁板不出現顫振現象。