正多邊形同心圓的兩個性質的推廣

廣州市鐵一中學(510600) 何重飛

文[1]研究了正多邊形的同心圓(即圓心在正多邊形中心的圓)的兩個性質: (1)正多邊形同心圓上的任意一點到各頂點距離的平方和是定值;(2)正多邊形同心圓上任意一點到各邊距離的平方和是定值.

本文筆者將正多邊形的同心圓推廣到正多邊形的同心橢圓(即橢圓中心在正多邊形中心的橢圓)得到

定理1設G為正n邊形的中心,則以G為中心的橢圓上任意一點到正n邊形的各頂點的距離的平方和與該點到橢圓兩焦點距離的乘積的n倍之和為定值

如右圖所示, 點G為正多邊形A1A2···An和橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)的中心, 點P是橢圓C上的任意一點,如右圖以G為中心建立平面直角坐標系,設正多邊形外接圓半徑為r,

特別地,當橢圓退化成圓,即當a=b=PF1=PF2=r′(也即正多邊形同心圓半徑為r′)時,則有如下的:

推論1[1]正n邊形的同心圓上任意一點到正n邊形的各頂點的距離的平方和為定值.

證明由定理1 知,+n·PF1·PF2=n(a2+b2+r2), 此 時 又a=b=PF1=PF2=r′, 所 以 有=n(r2+r′2).

定理2設G為正n邊形的中心,則以G為中心的橢圓上任意一點到正n邊形的各邊所在直線的距離的平方和與該點到橢圓兩焦點距離的乘積的倍之和為定值.

證明如定理1 中圖, 點G為正多邊形A1A2···An和橢圓C:= 1(a ＞ b ＞0) 的中心, 點P是橢圓C上的任意一點, 以G為中心建立平面直角坐標系, 設正多邊形外接圓半徑為r, 由題意可 設Ai(rcos(θ+1,2,··· ,n),P(acosφ,bsinφ),F1(-c,0),F2(c,0)(其中c2=a2-b2), 過點P作正多邊形的邊AiAi+1(i= 1,2,··· ,n,且規定邊AnAn+1為AnA1) 所在直線的垂線, 垂足為Bi(i= 1,2,··· ,n), 設邊AiAi+1(i= 1,2,··· ,n) 所在直線的斜率(假設都存在)為kAiAi+1,則有

則邊AiAi+1所在直線的方程為

所以有

因為

故

又

特別地,當橢圓退化成圓,即當a=b=PF1=PF2=r′(也即正多邊形同心圓半徑為r′)時,則有

推論2[1]正n邊形的同心圓上任意一點到正n邊形的各邊所在直線的距離的平方和為定值

證明由定理2 知,而a=b=PF1=PF2=r′, 所以