無界彈性介質球形液體空腔中的氣泡的動力學*

張先梅 王成會 郭建中 莫潤陽 胡靜 陳時

(陜西師范大學,超聲學重點實驗室,西安 710062)

構建了彈性介質包裹的液體腔內的氣泡振動模型,并基于壓力平衡關系得到了腔內液體中氣核發展成為空化泡的Blake 閾值以及液體腔臨界半徑表達式.體積模量、泡核半徑及表面張力系數等因素可影響Blake 閾值壓力和氣泡大小,形成觸發或抑制空化發生的控制條件相關的參數空間.基于拉格朗日方程推導了考慮腔外介質彈性影響的氣泡動力學方程,并基于此分析了激勵聲波頻率、介質體積模量、腔內液體體積等因素對氣泡振動行為的影響,結果表明:在聲場驅動下,泡核快速生長到新的平衡半徑后振蕩;氣泡平衡半徑與超聲無關,但會影響氣泡動力學行為.當超聲頻率與氣泡固有振蕩頻率相當時,氣泡在幾個周期的劇烈振動后崩潰,同時在腔內液體中形成明顯的壓力起伏變化.高頻超聲驅動下氣泡的響應相對較弱,氣泡主要表現為自由振蕩.

1 引言

超聲空化效應主要表現為液體中存在的微小氣泡(空化核)在聲波作用下產生振蕩、擴大、收縮至內爆等一系列現象的動力學過程.在氣泡坍縮的瞬間,泡內聚集的能量迅速釋放,使得在空化發生的微小空間內呈現高溫、高壓、沖擊波、微射流及發光等物理現象.空化現象廣泛存在于自然界[1]且在水利[2]、化工[3]、醫學[4]、核工業[5]等諸多領域,有著重要的應用價值.目前,超聲治療是頗具前景的非侵入性治療技術,其中高強度超聲治療可用于治療實體腫瘤[6]、前列腺病理[7]和生物膜感染[8]等疾病,而低強度脈沖超聲主要用于非腫瘤性疾病的輔助或康復治療[9].高、低強度超聲治療效果均可能與空化效應相關.強度低時,氣泡表面存在較小的速度梯度和微弱的黏滯力,微小氣泡呼吸樣的膨脹與收縮使氣泡周圍的胞質流動性增加,物質交換加快,細胞新陳代謝增強;強度高時,微小氣泡瞬間崩潰,可產生高速沖擊波和射流使空化中心周圍的生物大分子受到的應力增加以達到治療目的[9].實驗研究受限于時間與空間分辨率且較難在真實組織中觀察空化事件[10,11],本研究旨在通過建立簡單的模型對組織內空化成核及動力學影響因素進行討論,為利用空化效應進行超聲治療提供理論參考.

近年來,由于超聲治療技術的發展,生物組織內的空化效應越來越受到人們的關注.基于無界液體內描述單氣泡動力學的Keller-Miksis 方程[12],Drysdale 等[13]發展了彈性介質包裹的液體腔內的氣泡動力學模型,對空腔中真空氣泡的線性(小振幅)振蕩衰減進行研究.Doinikov 和Marmottant[14]為分析氣泡自然振蕩行為,在Drysdale 等[13]模型的基礎上考慮空腔周圍介質黏性與氣泡內介質質量及成分(一種氣體和蒸汽的混合物),提出了黏彈性介質包裹的液體腔內的球形氣泡脈動理論.在Doinikov 和Marmottant[14]模型上,Doinikov 等[15]不考慮介質黏性繼續研究球腔內的非線性氣泡動力學理論,推導出球形液體腔中空化氣泡動力學方程,分析了氣泡生長和阻尼振蕩規律.Wang[16]建立了1 個描述在彈性固體約束下空腔內氣泡振動的理論模型,分析了氣泡振蕩及共振頻率,在此基礎上,張陶然等[17]考慮組織黏彈性對腔內氣泡的影響,引入Voigt 黏彈性模型,分析了介質黏彈性對氣泡共振頻率、徑向振動及慣性空化閾值的影響.

基于彈性介質包裹的液體腔內的氣泡動力學模型,Vincent[18-20]對凝膠中充滿水的空腔內自發或觸發的氣泡空化動力學進行了實驗研究,通過光散射、激光頻閃攝影等對凝膠空腔中空化氣泡行為進行成像記錄,發現氣泡的振動不僅受到泡內氣體彈性的影響,液體和腔外介質的可壓縮性的影響也至關重要,可導致氣泡振蕩速度變快;基于實驗的理論分析還發現液體的可壓縮性及介質彈性導致了氣泡徑向快速振蕩和衰減.

Leonov 和Akhatov[21]建立了1 個描述剛性微腔內的氣泡振動模型,在此基礎上,對剛性微腔中氣泡的Blake 閾值模型進行修正并推導了氣泡動力學方程.生物組織中的空化行為可視作是被彈性介質包裹的液體腔內空化氣泡的動力學效應,因此,本文在Leonov 和Akhatov[21]工作的基礎上,考慮腔外彈性介質,構建彈性介質包裹的液體腔內的氣泡振動模型,并基于此修正了彈性介質包裹的液體腔內的氣泡的Blake 閾值模型,分析了激勵聲波頻率、介質體積模量、腔內液體體積等因素對氣泡振動行為的影響.

2 Blake 閾值

2.1 Blake 閾值

空化現象常見于液體環境中.液體中的聲波壓力幅度足夠大,所產生的負壓足夠低,可破壞液體結構形成空腔進而發生空化效應.經典Blake 閾值模型可預測無界液體中的力學不穩定性,即氣核快速生長為空化泡并發生穩態或瞬態空化過程.經典Blake 閾值模型假設:在無限大的液體中有1 個半徑為Rb的球形氣泡核,泡內含有一定量的不凝結氣體,考慮系統為“等溫系統”—熱力學系統始末態溫度相等且等于環境溫度、在整個過程中環境溫度不變的熱力學過程,也就是不存在外部施加的溫度梯度,也不考慮由膨脹、收縮或黏性引起的明顯溫度變化.因此,可假定飽和蒸汽壓Pv(T) 為常數.

根據氣泡表面壓力平衡可得到壓力平衡方程[21]

式中,σ為表面張力系數,Pl為液體壓力,假定在參考狀態下,半徑為Rb0的泡核在環境液體壓力P0下是穩定的,(給出氣泡內氣壓[21])

2.2 修正的Blake 空化閾值模型

為研究生物組織內的空化問題,基于經典Blake閾值理論,發展彈性介質內液體腔中Blake空化閾值理論,其準靜態變化過程如圖1 所示.假設空腔內充滿可壓縮的黏性液體,空腔周圍介質為彈性固體,氣泡內部介質是氣體和液體蒸汽的混合物.彈性介質、液體腔及泡核組成的系統在負壓作用下,經歷圖1 所示的過程.初始時(圖1(a)所示),液體腔內液體壓力等于大氣壓P0,未受擾動液體腔半徑為Rc0,泡核半徑為Rb0且常壓下保持穩定.在負壓Pl1作用下液體腔半徑拉伸至Rc使得Rc＞Rc0(圖1(b)所示),而后液體腔內泡核增長至Rb使得Rb＞Rb0(圖1(c)所示).為簡化分析,本文僅考慮介質在應力作用下發生線性變化的情形,假定腔外彈性介質體積模量Kc、腔內液體體積模量Kl,二者均為常數.

圖1 系統準靜態示意圖(空腔中氣核在負壓 Pl1 下生長) (a) 初始狀態,未受擾動;(b)液體腔在負壓下被拉伸;(c) 氣核生長Fig.1.Configuration of the quasi-static motion of the system (schematically).The cavity contains a bubble nucleus,which grows under tension Pl1 :(a) Initial state,unperturbed;(b) the cavity stretched under tension;(c) a bubble nucleus grows.

為求解液體腔內液體壓力,假設腔內液體均勻分布,即可用液體腔內壁處壓力近似等于液體壓力.假設氣泡體積遠小于液體腔體積,液體腔體積變化與液體腔內壁處壓力變化呈線性關系[12],則有

其中Vc0和Vc分別為腔體初始體積和瞬態體積,Plc為液體腔內壁處的瞬態液體壓力,Plc=Pl(Rc,t) .同理,液體腔內液體體積變化與液體腔內壁處壓力變化呈正比[12],則有

式中,Vl0和Vl分別為液體腔內液體初始體積和瞬態體積.

分兩步求空化泡形成后液體腔內壁處液體壓力,首先,假定液體腔在超聲負壓Pl1作用下均勻膨脹至Rc＞Rc0,如圖1(a)→圖1(b)所示.液體腔內液體瞬態與初始體積分別為,結合（3）式,此時,液體腔內壁處液體壓力可表示為

隨后,泡核在張力作用下生長,如圖1(b)→圖1(c)所示.液體腔瞬態和初始體積分別為Vc=,隨著液體體積模量Kl和彈性介質體積模量Kc增大而增大的系統有效體積模量K=KcKl/(Kc+Kl),結合(2)式和(3)式,液體壓力可表示為[20]

系統在經歷上述過程后,液體腔內液體壓力為

氣泡處于穩定狀態時,液體的壓力Pl、表面張力 2σ/Rb、泡內氣體壓力Pg及液體飽和蒸氣壓Pv(T)存在動力平衡,即

為了簡化分析,將(7)式改寫為無量綱形式

彈性介質約束條件下空化發生的泡核臨界半徑滿足 d(ΔVl)/=0,則

假定腔內液體為水,泡內氣體為空氣,常溫常壓下有Pv(T)=2338 Pa,P0=105Pa,σ=0.0728 N/m,腔外介質為軟組織且相關參數參考文獻[22],即ρs=1060 kg/m3,cs=1540 m/s,泡核和液體腔初始半徑分別為Rb0=100 nm,Rc0=40 μm,腔外彈性介質體積模量.對比分析彈性介質腔內液體體積變化曲線與無界液體中的平衡壓力曲線[20]可知,圖2(a)中狀態A對應氣泡核處于穩定平衡狀態,即當環境壓力存在擾動時,泡核有向該狀態平衡半徑演變的趨勢;狀態B給出泡核臨界半徑和空化閾值壓力,此時泡核不穩定,其大小可迅速膨脹至狀態D對應的半徑,表明空化現象已經發生.對處于狀態D點的氣泡而言,如果液體腔體積 ΔVlc增加,氣泡半徑將會不斷增大;若液體腔變小,泡核可減小至狀態C對應的平衡半徑,并急速坍縮到狀態A對應的穩定平衡半徑.由(5)式可知,液體負壓環境下泡核將生長,當泡核從狀態B躍變到狀態D時,液體壓力將得到釋放,液體體積 ΔVlc減小引起的相反的張力作用可導致液體壓力從狀態D減小至亞穩態C,進而突變至狀態A.因此,空化環境中含氣核的液體體積減小時液體內壓力的變化存在不連續變化的情形.

圖2(a) 腔內液體體積變化曲線與無界液體中的平衡壓力曲線對比;剛性微腔與彈性介質中的球腔內液體空化模型對比,其中圖(b)是腔體體積變化量與氣泡平衡半徑的關系,圖(c)是氣泡Blake 閾值半徑隨腔體半徑的變化關系Fig.2.(a) Comparison of the curve of the volume change of the liquid in the cavity and the equilibrium curve of the bubble in unbounded liquid.Comparison of cavitation models of liquid in spherical cavity between rigid microcavity and elastic medium:(b) The dependence of the relative change of liquid volume on the equilibrium bubble radius;(c) the dependence of the Blake threshold radius on the cavity radius.

為比較腔外介質形態對空化閾值的影響,將本文修正的Blake 閾值模型與Leonov 和Akhatov[21]在分析剛性微腔內液體空化模型進行了對比,結果表明:在其他參數一定的情形下,在無量綱平衡半徑大于0.5 的范圍內,彈性介質腔內的液體體積變化小于剛性腔體內的液體體積變化(圖2(b));而在腔體半徑小于20 μm 時,氣泡平衡半徑小于剛性腔內的氣泡平衡半徑(圖2(c)).由此可以看出,彈性約束不影響泡核的臨界半徑,但是可影響泡核從臨界狀態躍變生長可達到的最大半徑,因此,彈性約束環境下泡核更容易形成空化影響.

介質體積模量可影響空化泡生長的閾值壓力和最大半徑,如圖3 所示.圖3(a)給出了腔外介質體積模量分別為0.1,2.5 和5 GPa 時的液體體積隨氣泡平衡半徑變化曲線,對比發現,腔外介質體積模量的增加不影響氣泡閾值半徑,但氣泡的穩定平衡半徑會隨著腔外介質體積模量的增加而減小,氣泡能夠達到的最大半徑隨著腔外體積模量的增加而減小.液體體積模量的變化對空化行為影響更為顯著,對比圖3(b)中液體體積模量分別為1,2.2 和3 GPa 時的 ΔVlc響應曲線發現,液體體積模量Kl越小,臨界氣泡半徑對應的液體體積變化量越大,意味著氣泡更難以生長到臨界狀態.因此,約束狀態下,液體的體積模量越小,空化發生所需的閾值壓力越高,空化更不易發生.因此,在超聲治療時,組織液的體積模量大小將影響空化初生的難易程度.然而,一旦空化發生,體積模量越小時空化氣泡半徑越大,越容易形成空化影響.

圖3 體積模量對平衡半徑的影響 (a) 腔外介質體積模量;(b) 液體體積模量Fig.3.Influence of bulk modulus on equilibrium radius:(a) Influence of the bulk modulus of the medium outside the cavity;(b) influence of liquid bulk modulus.

液體腔初始半徑大小會影響空化后的氣泡的行為響應.圖4(a)給出了不同液體腔半徑下,液體體積隨氣泡平衡半徑變化曲線,對比發現,空化泡的大小隨腔體初始體積的增大而增大,當Rc0→∞時,氣泡平衡半徑趨于無窮,這與無束縛液體中空化情況相對應;當Rc0→Rb0時,曲線變成單調遞增曲線,而此時的空腔初始半徑滿足

圖4 不同初始半徑及表面張力系數下氣泡的平衡圖 (a)腔體初始半徑;(b)泡核半徑;(c)表面張力系數Fig.4.Equilibrium diagram of the bubble for the different Initial radius and surface tension:(a) Initial radius of cavity;(b) the radius of the bubble nucleus;(c) surface tension coefficient.

腔體初始半徑越小越不容易空化,若小于(10)式給出的腔體半徑值時,將不會發生空化.(10)式給出了彈性介質內的球形液體腔中發生空化的空腔臨界半徑.Vincent 等[23]對實驗觀察了凝膠包裹的液體腔內的氣泡數目,發現液體腔半徑越小,氣泡數目越少,這與本文得到的泡核初生模型預測的液體腔越小越難空化的結論一致.由于泡核穩定時,外加負壓需要克服表面張力影響,因此,泡核初始半徑與表面張力系數決定空化臨界半徑,從圖4(b)給出的泡核半徑分別為100,80 和60 nm 時的液體體積變化量隨氣泡平衡半徑的變化曲線發現,泡核越小,表面張力越大,需要更大負壓才能達到空化閾值且閾值半徑越小.同樣,數值分析表明,表面張力系數越大,空化閾值壓力越大,泡核空化閾值半徑越小(圖4(c)).

3 超聲對彈性介質內球形液腔內氣泡的動力學影響

由于空腔體積非常小,可假定空腔內液體在空間上均勻分布,但液體壓力和密度隨時間可變Pl=Pl(t),ρl=ρl(t) .忽略腔內液體蒸發或冷凝,假設液體質量守恒.借鑒Leonov 和Akhatov[21]在分析剛性微腔內氣泡非線性動力學的方法,基于連續性方程與帶耗散項的拉格朗日方程推導彈性介質內球形液腔內氣泡動力學方程,即

式中,ρl為液體密度,vl為液體速度矢量,L為拉格朗日量,F為耗散函數[21],表示Rb對時間t求導.

其次,腔內液體和氣泡總勢能可表示為

其中,PA(t) 為驅動外力.

根據(14)式和(16)式可得空腔內液體與氣泡組成的系統的拉格朗日量(L=Ek-ΔW),代入(12)式即可得到球形液腔中考慮液體介質黏性耗散影響后的氣泡動力學方程為

為分析超聲對液體腔中氣泡的動力學的影響,假定氣泡所受的聲驅動壓力關系為

式中參數取值參考HIFU (high intensity focused ultrasound)治療中常用的驅動頻率3.5 MHz,聲壓幅值1 MPa,N1=10,泡核和腔體初始半徑分別為Rb0=1 μm,Rc0=30 μm,腔外介質體積模量Kc=2.5 GPa .當液體腔環境壓力發生變化,氣核半徑也會變化,形成振蕩響應并趨于新的平衡半徑,且振蕩響應隨時間增加變弱,但振蕩頻率隨時間變化不大.液體腔外彈性介質體積模量越小,形成的振蕩響應越強,氣核平衡半徑變化越明顯(圖5(a));小空腔約束對振蕩響應影響更為顯著,腔體初始半徑與泡核比值越小,氣泡振蕩越弱,氣核平衡半徑變化越小(圖6(a)),這與Wang[16]的結果相符.超聲波能夠激發氣泡振蕩,但不影響氣泡平衡半徑.圖5(b)分析了超聲作用下腔外體積模量Kc分別為0.1,2.5 和5 GPa 時氣泡半徑隨時間的變化曲線,對比發現,當Kc為2.5 GPa 時,腔內氣泡劇烈振蕩且在幾個周期后破裂,意味著此時超聲頻率最接近于氣泡固有振蕩頻率,氣泡發生共振現象,在圖6(b)中也觀察到了同樣的現象,說明腔體約束可影響氣泡的共振行為.

圖5 腔外介質體積模量對空化泡振動行為的影響 (a)空腔中氣泡瞬態振蕩;(b)超聲作用下空腔中氣泡振蕩Fig.5.Influence of volume modulus of medium outside cavity on vibration behavior:(a) A transient bubble oscillating in a cavity;(b) a bubble in a confinement subject to an acoustic wave.

圖6 不同Rc0/Rb0 取值對空化泡振動行為的影響 (a)空腔中氣泡瞬態振蕩的影響;(b)超聲作用下空腔中氣泡振蕩的影響Fig.6.Influence of different values of Rc0 /Rb0 on the vibration behavior:(a) A transient bubble oscillating in a cavity;(b) a bubble in a confinement subject to an acoustic wave.

不同頻率的超聲波作用于腔內氣泡形成的振蕩響應不同,當腔內氣泡發生共振響應時,氣泡振動對腔內液體壓強擾動最大,如圖7(a)所示.氣泡的響應同驅動超聲的頻率密切相關,在本文給定的波函數的驅動下,隨著驅動聲波頻率的不同,氣泡聲響應程度不同,在低頻區域內,聲波對氣泡的影響更為顯著(圖7(a)、圖7(b));在驅動聲波頻率遠高于氣泡共振頻率時,氣泡的振動受聲波的影響較小,主要表現為自由振蕩(圖7(d)).因此,在利用中低強度超聲進行治療時,可以調節超聲頻率使組織液壓強變化位于合適范圍,以達到治療目的.

圖7 不同頻率外加驅動信號下氣泡半徑與液體壓力的變化 (a) f=1 MHz;(b) f=5 MHz;(c) f=10 MHz;(d) f=15 MHzFig.7.Evolution of bubble radius and liquid pressure profiles at different driving frequencies:(a) f=1 MHz;(b) f=5 MHz;(c) f=10 MHz;(d) f=15 MHz.

4 結論

本文利用壓力平衡關系得到彈性介質包裹的液腔內液體中氣核發展成為空化泡的Blake 閾值,分析了泡核半徑、腔體初始半徑、表面張力系數及有效體積模量對空化初生的影響.在驅動力一定的條件下,泡核半徑越小,空化閾值越高,閾值半徑越小;表面張力系數大,空化閾值高,閾值半徑越小;介質有效體積模量不影響氣泡閾值半徑,但液體體積模量越大,空化閾值越小;腔外彈性介質體積模量越大,空化氣泡半徑越小;小空腔中泡核較難形成空化氣泡.

考慮液體介質黏性耗散和腔體約束影響,推導了液體腔內的氣泡動力學方程,分析了超聲驅動下氣泡的振動響應,發現當超聲信號頻率與氣泡固有振蕩頻率相當時,氣泡在幾個周期的劇烈振動后崩潰,同時在腔內液體中形成明顯的壓力起伏變化.高頻超聲驅動下氣泡的響應相對較弱,氣泡主要表現為自由振蕩.彈性介質內液體腔中的氣泡動力學分析在生物醫學超聲領域具有重要的意義,本文的研究可為中低強度空化的激勵以及超聲波人體應用的安全性評估提供理論支持.