考慮樁土相對位移的超長單樁沉降計算研究

蔣蓓，陶海冰

（1.浙江建設職業技術學院，杭州311231；2.方遠建設集團股份有限公司，浙江 臺州318000）

1 引言

濱海軟土地區經濟發達，高層、超高層建筑工程與大型基礎設施工程發展迅速。因超長樁基礎具有承載力高，沉降量小等優點，故在濱海軟土地區得到了廣泛應用。在樁基設計過程中，優化超長樁的樁長，避免因樁長過長造成浪費，是節約經濟成本與保護環境的內在要求。因此，對于超長樁的有效樁長研究一直是樁基研究的熱點問題。

超長樁的有效樁長計算理論主要基于荷載傳遞函數法[1-5]。荷載傳遞函數法可以基于線性或者非線性的樁側摩阻力與位移關系來進行推導。但傳統荷載傳遞函數法使用都是建立在樁周土體與樁身變形協調這一假設基礎上的，而實際情況是樁周土體與樁身存在相對位移，變形并不協調。因此，在考慮樁周土體與樁身變形不協調時，即存在樁土相對位移的情況下，對超長樁的有效樁長計算進行探討，是一種有意義的嘗試。

2 基于傳遞函數法的控制方程

以單樁為研究對象，依據彈性理論，可得到單樁受豎向荷載下的基本微分方程：

式中，Ep為樁身彈性模量；Ap為樁身截面面積，Ap=πr02，r0為樁半徑；U 為樁身橫截面周長，U=2πr0；z 為基礎埋深；wp(z)為樁身位移函數；τ(z)為樁土界面的剪應力函數。

假設樁身任意一處位移由樁土相對位移與樁周土體位移部分相加組成[6]，引起樁周土體的位移與樁土間的剪應力有關，樁土相對位移也與樁土間的剪應力有關?？傻茫?/p>

式中，ws(z)為樁周土體位移函數；Su(z)為樁土相對位移。

根據剪切位移法可得，土體位移與樁側樁土間剪應力關系如下：

式中，Gs為樁周土的剪切模量；rm為單樁影響半徑，此處按Cooke 建議取rm=20r0。

引入Boxlucasl 函數[7]來定義樁土相對位移與樁土摩阻力產生剪應力之間的關系，則有：

式中，a 與b 為實驗參數，其物理意義參見圖1[8]，圖中，τult為土體極限剪應力。

圖1 樁土間剪應力與樁土相對位移對應的Boxl ucasl函數關系示意圖

3 邊界條件確定

根據有效樁長的定義，超過有效樁長的樁身不提供側摩阻力，樁頂部軸向荷載全部由有效樁長以上部分的樁側摩阻力來承擔，不考慮樁端阻力[8]。

那么反過來推導，如果當前樁身長度為有效樁長，當樁頂豎向位移達到容許沉降量時，其所承受樁頂荷載必然是設計時最大荷載。即，在已知邊界條件wp(0)=wp0，樁端阻力P(L)=0的情況下，求解微分方程，然后再求解樁頂荷載Pu（其中，wp0為樁頂控制沉降，P 為樁身反力）。

當樁基埋深z=0 時，將式（2）～式（4）與wp(0)=wp0聯立，可得樁頂初始剪應力：

4 控制方程數值求解與算例分析

所得控制方程為二階非線性常微分方程，第三類邊值條件，無法得到其解析解，可以應用有限差分法進行數值求解。

取Ep=30×109Pa，Gs=5×106Pa，r0=0.25 m，rm=20r0，a=7.5×104Pa，b=7.5×102m-1，樁頂容許沉降量為wp0=0.040 m。

當有效樁長為L=80 m 時，可計算得到樁身位移、樁周土體位移與樁土相對位移沿樁長關系如圖2 所示。

圖2 樁身位移、樁周土體位移與樁土相對位移沿樁身分布

從圖2 可以看出，樁土相對位移在樁身前端變化劇烈，而土體位移在樁身前半段變化不明顯。樁周土體位移在樁身后端開始出現下降，而樁土相對位移在樁身后半段緩慢下降趨于零，其變化率明顯小于樁周土體位移變化率。因為在此處假設剪應力與樁周土體位移與樁土相對位移都是正相關的，那么可以看出，在樁身的后半段，樁周土體的位移對剪應力發展起主要作用；而在樁身前半段，樁土相對位移對剪應力發展起主要作用。

為了驗證本文采用數值計算的可靠性，將計算結果與采用剪切位移法考慮樁土變形協調的傳遞函數法計算結果進行比較，采用該方法得到的樁頂荷載與有限樁長的關系為：

式中，ks為計算模型切向的切線模量。這里為了表述方便，將采用剪切位移法考慮土體與樁體變形協調得到的解析解稱為“樁土變形協調解析解”（以下簡稱“解1”），將考慮樁土相對位移的傳遞函數法得到的數值解稱為“樁土存在相對位移數值解”（以下簡稱“解2”）。根據上述的計算參數，得到2 種解下樁頂荷載與有效樁長的關系曲線，如圖3 所示。

圖3 解1 與解2 有效樁長與樁頂荷載關系曲線對比

從圖3 可以看出，無論哪種解，樁頂荷載隨有效樁長的增大而增大，但增大的趨勢都隨著有效樁長增大而減小，都有趨于某一值的趨勢，已有文獻報道過這種現象[10，11]。2 種方法所得曲線的形式與發展變化大致相同，間接說明了采用解2 的可靠性。在有效樁長相同時，解2 所得的樁頂荷載要小于解1所得到的樁頂荷載，并且解2 曲線中樁頂荷載隨有效樁長增長趨勢也比解1 曲線增長趨勢要緩慢。

采用解2，當保持參數b 不變時，相同的有效樁長對應的樁頂荷載隨著參數a 增大而增大。并且樁頂荷載隨有效樁長增長趨勢隨著a 值減少而變緩，如圖4 所示。

圖4 參數b 不變，參數a 變化時有效樁長與樁頂荷載關系曲線對比

當參數a 保持不變時，參數b 變化時，有效樁長與樁頂荷載關系曲線對比如圖5 所示。當有效樁長相同時，樁頂荷載隨著b 值增大而增大。樁頂荷載隨著有效樁長增長趨勢隨著b值增大而變陡，但當b 值增大到一定程度后，不同b 值對應曲線趨于重合。

圖5 參數a 不變，參數b 變化時有效樁長與樁頂荷載關系曲線對比

5 結論

1）考慮樁土相對位移的傳遞函數法來進行超長樁有效樁長計算理論的研究，比基于樁土變形協調的傳統傳遞函數方法要更符合樁土共同作用下的實際物理模型。從計算結果來看，相對位移從樁頂向樁底變小，樁土相對位移對樁土間剪應力發展的影響主要體現在靠近樁頂的樁身段。

2）在相同有效樁長情況下，樁頂沉降量相同時，采用解2得到樁頂荷載要小于用“樁土變形協調解析解”得到的樁頂荷載。

3）相對位移與剪應力函數關系采用Boxlucasl 函數時，在樁頂沉降量相同情況下，參數a 值與參數b 值越大，相同有效樁長對應的樁頂荷載值也越大。樁頂荷載對應有效樁長的變化率也越陡，但參數b 增大到達一定值后，由參數b 引起的變化就越來越不明顯。