NURBS雙向插補中改進的誤差圓整策略研究

張 晨，張承瑞，馬 威，王公成

（1.山東大學(xué)機械工程學(xué)院，山東 濟南 250061；2.山東大學(xué)高效潔凈機械制造教育部重點實驗室，山東 濟南 250061；3.山東大學(xué)機械工程國家級實驗教學(xué)示范中心，山東 濟南 250061）

1 引言

目前，隨著人們對于高效率，高精度加工的需求日益增長，計算機數(shù)控系統(tǒng)在現(xiàn)代制造業(yè)中發(fā)揮著不可替代的作用。傳統(tǒng)的數(shù)控系統(tǒng)只有直線插補和圓弧插補，加速度變化頻繁，精度低，速度慢，尤其是對于復(fù)雜曲線的加工，這一缺點體現(xiàn)的尤為明顯，相比之下，采用NURBS曲線進行插補的方式就體現(xiàn)了自身獨特的優(yōu)點，最明顯的就是精度高，速度快，平穩(wěn)性好，正因為這個特性，NURBS曲線插補已經(jīng)成為高端機床的一個重要因素之一。

選取S曲線加減速的速度規(guī)劃算法，對NURBS曲線進行雙向插補[1-2]，這種方法最大的優(yōu)點是可以考慮到每一個插補點的弓高誤差限制和曲率限制，但是在插補過程中會出現(xiàn)在加速度突變的情況，從而對機床造成柔性沖擊。

具體情況如下：NURBS曲線雙向插補第一階段是雙向同時插補，正向插補數(shù)據(jù)輸出，反向插補數(shù)據(jù)保存。接下來進入第二階段，這一階段需要對剩余弧長進行單獨的正向速度規(guī)劃和插補。在這一階段結(jié)束以后，進入第三階段，開始進行反向插補數(shù)據(jù)逆向輸出。在進入第二階段之前，該階段的初始速度和加速度以及結(jié)束速度和加速度采用調(diào)整算法進行調(diào)整，使得第二階段結(jié)束的插補速度和第三階段開始的插補速度能夠平滑的對接，加速度并不會產(chǎn)生突變。但是第二階段所耗插補時間不一定是插補周期的整數(shù)倍，因此需要對第二階段所對應(yīng)的插補時間進行圓整，此時會出現(xiàn)兩個問題：

（1）當正向完成加速階段以后，加速度可能會無法減為零也有可能會減為負值，插補進入到勻速階段，這就會產(chǎn)生突變，對機床本身造成柔性沖擊[3]；

（2）第二階段插補結(jié)束的速度和第三階段插補開始的速度無法完成平滑的對接。針對以上問題，提出一種改進的誤差圓整的算法，保證加速度處處連續(xù)，實現(xiàn)第二三階段的插補速度進行平滑的對接。

因為正反向插補的處理算法是完全相同的，所以就只正向的情況進行算法的說明。首先，先判斷正向加速結(jié)束時刻加速度的狀態(tài)，可分為正，零，負三種情況。其次，就加速度的三種情況進行正向減加速周期數(shù)量的加減，由此可以實現(xiàn)加速度的平穩(wěn)過渡以及插補速度的平滑對接。最終進行仿真驗證，驗證了該算法的正確性。

2 NURBS曲線雙向自適應(yīng)插補

2.1 NURBS曲線定義

一條p次NURBS曲線C（u）定義如下：

式中：Pi（i=0，1，…n）—曲線的控制點，整條曲線被限制在其順序連接后形成的多邊形內(nèi)；

Ni，p(u)—k次規(guī)范B樣條基函數(shù)，其中每一個稱為規(guī)范B樣條，Ni，p(u)的雙下標中第一下標i代表序號，第二下標k代表次數(shù)。

它由一個稱為節(jié)點矢量u的非遞減參數(shù)序列U：u0≤u1≤…≤un+k+1所決定，且u節(jié)點矢量一般采用歸一化處[4]，即：

［uk，un+1］?［0，1］。

基函數(shù)的計算方法如下：

由給定的曲線參量u，通過上式即可求出對應(yīng)點。

2.2 NURBS曲線雙向自適應(yīng)插補

NURBS雙向自適應(yīng)插補是采用S曲線加減速算法，共分為三個階段。

首先是第一階段，在未知曲線精確弧長這一參數(shù)的前提下，從曲線的兩端同時進行規(guī)劃，并在規(guī)劃的過程中對每一周期的目標速度和加速度都進行判斷，判斷標準就是雙向的速度是否能夠進行準確的會合，由此進行相應(yīng)的調(diào)整，雙向進入減加速階段之前，初始速度和加速度一定能夠滿足會合標準，在插補過程中，正向的數(shù)據(jù)實時輸出，反向的數(shù)據(jù)進行保存[5]；

其次是第二階段，雙向進入減加速階段，即對剩余的弧長進行單獨的正向速度規(guī)劃；

最后是第三階段，輸出之前保存的反向數(shù)據(jù)，至此完成整條NURBS曲線的插補[6]。

3 考慮誤差圓整的單向速度規(guī)劃與插補

經(jīng)過NURBS雙向插補的第一階段之后，對剩余的弧長進行正向速度規(guī)劃和插補，即S曲線加減速中的減加速階段，勻速階段，加減速階段。經(jīng)過第一階段插補以后，通過計算可以得到第二階段插補時間，即減加速階段時間T3、勻速階段時間T4、加減速階段時間T5的總和，然而卻無法保證三者總和是插補周期T的整數(shù)倍，因此存在圓整誤差問題。

采用將T3，T4，T5向下圓整的方式，利用下面的公式來計算圓整之后的周期數(shù)：

經(jīng)過圓整之后，會產(chǎn)生位移誤差，需要在勻速段進行位移補償，具體需要補償?shù)奈灰撇钪涤嬎惴椒ㄈ缦拢?/p>

之后采用修正梯形加減速算法對Δlerr進行補償，其加速度和位移描述如下[7]：

經(jīng)過修正梯形加減速算法處理之后，可以得到每周期的進給量

式中：Δlsi—S曲線加減速算法求出來的進給量，ΔlTi—修正梯形加減速求出來的進給量。由此，完成這三個階段的插補之后可以滿足位移誤差要求[8]。

4 改進的誤差圓整策略

4.1 改進之前的速度軌跡曲線

經(jīng)上一節(jié)介紹，當NURBS 雙向插補進行到第二階段時，這一階段的插補時間經(jīng)過圓整以及修正梯形加減速算法的位移補償，滿足了插補時間以及插補位移的要求，將位移誤差控制在了1e-5mm的范圍內(nèi)，但是卻沒有考慮加速度連續(xù)以及插補速度銜接方面的問題。

當正向加速階段結(jié)束以后，按照S曲線加減速算法，此時應(yīng)進入勻速階段，即加速度降為零，然而第二階段插補時間經(jīng)過圓整之后，進入勻速階段之前，加速度可能會無法降為零，這就造成引言中所描述的兩個后果，如圖1、圖2所示。

圖1 S曲線加速度曲線Fig.1 S Curve Acceleration Curve

圖2 S曲線減速速度曲線Fig.2 S Curve Deceleration Speed Curve

4.2 改進的時間周期化圓整算法

該算法是采用周期數(shù)增減的方式來實現(xiàn)加速度的連續(xù)過渡以及速度的平滑對接，同樣如上文所提到的，正反向所采用的算法是相同的，因此這里僅就正向的情況做算法的介紹。

首先按照向下圓整的方式將正向減加速階段的時間T3進行處理，得到對應(yīng)的周期數(shù)ni，第二階段插補經(jīng)過了niT時間之后，初始加速度減小到一定數(shù)值，記為臨時加速度a，此時需要判斷臨時加速度a的正負，然后需要根據(jù)臨時加速度a不同的狀態(tài)分別進行處理：對于臨時加速度a為正的情況，此時初始加速度經(jīng)過調(diào)整的時間之后，無法降為零，此時需要增加一個周期數(shù)，增加的這個周期一部分用于加減速階段，一部分用于勻速階段，并且分別計算出兩部分的位移，以及勻速速度，由此可以得到增加周期的目標位移以及目標速度，如圖3所示。此圖只對雙向周期數(shù)增加的情況進行了描述，T3、T5分別為圓整之前正向減加速與反向減加速所對應(yīng)的時間，T4為圓整之前勻速段對應(yīng)的時間[9]；對于加速度為零的情況，此時不需要處理；對于加速度為負的情況，此時時間經(jīng)過圓整之后的周期數(shù)不需要改變，但是需要對最后一個周期進行改變，根據(jù)加速度，加加速度，時間等運動參數(shù)求出倒數(shù)第二個周期的目標速度，目標加速度，再根據(jù)求出來的目標速度和目標加速度來進行最后一個周期的調(diào)整，調(diào)整方法和臨時加速度a為正情況的處理算法相同，如圖4所示。

圖3 誤差圓整計算原理Fig.3 Principle of Error Rounding Calculation

圖4 算法流程圖Fig.4 Algorithm Flow Chart

誤差圓整之后T3與T5的計算公式描述如下：

5 算法仿真實驗驗證

5.1 算法仿真

下面以一條3次NURBS曲線為例，利用MATLAB平臺進行仿真，給定的節(jié)點矢量U=［0 0 0 0 0.25 0.5 0.75 1 1 1 1］[10]，NURBS曲線的其余參數(shù)如表1所示。

表1 NURBS曲線控制點及權(quán)因子Tab.1 NURBS Curve Control Points and Weight Factors

選取的NURBS曲線如圖5所示。運動控制系統(tǒng)插補指令參數(shù)，如表2所示。

圖5 NURBS曲線Fig.5 NURBS Curve

表2 運動控制系統(tǒng)插補指令參數(shù)Tab.2 Motion Control System Interpolation Instruction Parameters

5.2 算法分析

對該NURBS插補仿真結(jié)果如下，包括原算法與改進算法仿真結(jié)果對比，如圖6～圖9，表3～10所示。

圖6 算法改進之前的加速度曲線圖Fig.6 The Acceleration Curve Before the Algorithm is Improved

圖7 算法改進之后的加速度曲線圖Fig.7 The Acceleration Curve After the Algorithm is Improved

圖8 算法改進之前的速度曲線Fig.8 The Velocity Curve Before the Algorithm is Improved

圖9 算法改進之后的速度曲線圖Fig.9 The Velocity Curve After Algorithm Is Improved

表3 圖6①處各周期插補數(shù)據(jù)Tab.3 Interpolation Data at Each Cycle of Figure 6 ①

仔細對比上述仿真結(jié)果，由于加加速度的值很固定，只有三個值，所以就以加加速度進行說明：首先對比算法改進前后的加速度，由表3表4可知，算法改進之前的①處加速度產(chǎn)生了突變，加加速度無窮大，②處的加加速度超限。而從表5表6可以看出，加速度曲線的①處加速度突變消失，加加速度處于正常值，并且②處的加加速度也處于正常值。其次對比算法改進前后的速度，由表7表8可知，速度曲線的①處和②處加加速度均超限，而表9表10的數(shù)據(jù)表明①處和②處的加加速度是正常的值，且速度曲線處處連續(xù)。因此通過上述的仿真結(jié)果對比，可以看出改進后的算法在將位移誤差控制在1e-5mm的范圍之內(nèi)的前提下，實現(xiàn)了加速度曲線處處連續(xù)，速度曲線消除了尖點，大大提高了速度曲線的平滑性，這就消除了應(yīng)用原算法產(chǎn)生的加速度突變對機床本身造成的柔性沖擊，并且插補過程中的運動參數(shù)均在預(yù)先設(shè)定范圍之內(nèi)，滿足了機床加工的運動學(xué)和動力學(xué)要求。

表4 圖6②處各周期插補數(shù)據(jù)Tab.4 Interpolation Data at Each Cycle of Figure 6 ②

表5 圖7①處各周期插補數(shù)據(jù)Tab.5 Interpolation Data at Each Cycle of Figure 7 ①

表6 圖7②處各周期插補數(shù)據(jù)Tab.6 Interpolation Data at Each Cycle of Figure 7 ②

表7 圖8①處各周期插補數(shù)據(jù)Tab.7 Interpolation Data at Each Cycle of Figure 8 ①

表8 圖8②處各周期插補數(shù)據(jù)Tab.8 Interpolation Data at Each Cycle of Figure 8 ②

表9 圖9①處各周期插補數(shù)據(jù)Tab.9 Interpolation Data at Each Cycle of Figure 9 ①

表10 圖9②處各周期插補數(shù)據(jù)Tab.10 Interpolation Data at Each Cycle of Figure 9 ②

6 結(jié)論

針對NURBS 曲線雙向插補過程中由于插補第二階段所用的插補時間圓整所出現(xiàn)的速度、加減速過渡問題，提出了改進的誤差圓整算法，在將位移誤差控制在1e-5mm之內(nèi)的前提下，經(jīng)過改進之后算法的處理，實現(xiàn)了速度的平滑過渡，加速度處處連續(xù)。算法仿真結(jié)果表明，通過該算法得到的速度曲線是較為光滑的S型曲線，加速度也處處連續(xù)，并且速度，加速度，加加速度都在預(yù)先設(shè)定的范圍之內(nèi)，滿足了機床本身的運動學(xué)要求，由此驗證了算法的正確性。