基于隨機行走模型的人致人行橋振動響應(yīng)分析

王振宇， 陳得意*， 杜 磊， 曾 磊

(1.長江大學(xué)城市建設(shè)學(xué)院， 荊州 434000； 2.廣東省交通規(guī)劃設(shè)計研究院股份有限公司， 廣州 510440)

隨著高強輕質(zhì)材料的出現(xiàn)和人們對結(jié)構(gòu)形式美學(xué)要求的提高，現(xiàn)代人行橋呈現(xiàn)出大跨、低頻、輕質(zhì)的特征。在人致荷載激勵下，易發(fā)生大幅振動，造成橋上行人恐慌甚至導(dǎo)致橋梁結(jié)構(gòu)坍塌，引起人致人行橋振動問題。

振動響應(yīng)分析是人致人行橋振動問題的研究重點，目前的難點是提出面向工程設(shè)計的簡化計算方法。以往研究側(cè)重于確定荷載下的響應(yīng)分析，結(jié)果往往與實際不符，Basaglia等[1]研究了有效沖量模型、單足步行軌跡模型以及概率連續(xù)力模型，對行走激勵下大跨度木質(zhì)地板的振動響應(yīng)進行了預(yù)測，利用實驗獲得的模態(tài)特性標(biāo)定有限元模型進行數(shù)值研究，與實測結(jié)果對比表明，選擇合適的荷載模型對預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性起著至關(guān)重要的作用。Engelen等[2]對行人引起的低頻樓板振動的預(yù)測和測量技術(shù)進行比較，建議設(shè)計指南應(yīng)向概率方向發(fā)展，而不是將問題視為確定性問題。

響應(yīng)計算結(jié)果的準(zhǔn)確性主要取決于人致荷載模型的合理性[3]。人體是一個復(fù)雜的生物體，不僅體現(xiàn)在行人間的差異性上，還體現(xiàn)在行人自身的變異性上，精確描述步行荷載的隨機性是分析人致人行橋振動響應(yīng)的關(guān)鍵科學(xué)問題之一。Ferrarotti等[4]引入考慮人群密度和行人間距的函數(shù)表達(dá)式，提出行人荷載的廣義等效譜模型。Xiong等[5]根據(jù)生成對抗網(wǎng)絡(luò)可以用于高維隨機變量的建模，提出一種將條件生成對抗網(wǎng)絡(luò)和帶梯度懲罰的Wasserstein生成對抗網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的模型，用以生成可以考慮行人間隨機性的單人荷載。Tubino等[6]考慮到人行橋結(jié)構(gòu)和荷載參數(shù)定義的不確定性，將泰勒級數(shù)展開法應(yīng)用到基于等效譜模型的動力響應(yīng)表達(dá)式中，獲得不確定性傳播量化的解析解，并識別不確定性可能導(dǎo)致結(jié)果離散的參數(shù)。Nimmen等[7]考慮人行橋結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的不確定性和行人荷載的變異性，采用譜方法預(yù)測非受限行人交通誘導(dǎo)的動力響應(yīng)，并在簡支梁和實際人行橋中驗收了該方法具有良好的評估效果。Fu等[8]考慮人群中行走參數(shù)和誘導(dǎo)力在受試者之間和受試者內(nèi)部的變異性，將修正的社會力模型與行走力模型相關(guān)聯(lián)，建立了荷載模型，通過整合結(jié)構(gòu)和激勵兩個子模型，提出一種人致振動分析方法。

針對如何精確描述人致荷載和分析隨機荷載激勵下的振動響應(yīng)，中國學(xué)者也進行了大量研究。周晨[9]利用Monte Carlo 法生成隨機步行荷載曲線，在時域內(nèi)對振動響應(yīng)進行仿真分析，建立了標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜曲線模型。張瓊等[10]基于社會力模型，建立人群-結(jié)構(gòu)耦合的隨機人群荷載模型，得出耦合系統(tǒng)模態(tài)特性隨行人數(shù)量的變化規(guī)律，并建議采用1 s(均方根加速度來衡量隨機人致荷載作用下的振動響應(yīng)。賈宇婷等[11]將行人步行參數(shù)考慮為隨機變量，提出一種通過動力可靠度評估簡支梁在隨機人致荷載作用下振動響應(yīng)的方法，通過概率密度演化理論可計算任意時刻響應(yīng)的概率信息和跨中加速度的動力可靠度。王晉平等[12]將人群步行荷載視為聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程，提出兩種不同人群密度下考慮行人間協(xié)同性的互功率譜模型，通過三維動作捕捉技術(shù)獲取試驗數(shù)據(jù)，驗證了該互功率譜模型的有效性和可行性。陳彥江等[13]采用Hilbert-Huang變換對人行橋在不同環(huán)境激勵下的振動響應(yīng)進行分析，并引入能量熵值來表示能量分布和頻率分布的變化規(guī)律。操禮林等[14]針對行人自身的隨機性，在人行橋上設(shè)置同步區(qū)，分析不同密度人群協(xié)同性對結(jié)構(gòu)振動的影響。

以上研究，皆是對隨機人致荷載作用下結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的有益探索，在步行荷載模擬方面做了大量的貢獻。然而，在考慮行人行走隨機性方面存在以下不足：①在對人致荷載激勵下的人行橋動力特性分析時，人群荷載僅視為單人荷載的簡單疊加，忽略了行人間的隨機性；②行人在橋面上的整個激勵過程屬于二維問題，簡化為一維簡支梁分析的結(jié)果與實際情況不符；③人群密度較低時，行人之間的相互作用不明顯，考慮其協(xié)同性缺乏科學(xué)依據(jù)；④分析時人為限制人群行走方式，即確定性行走方式，存在一定的片面性和局限性。

針對以上不足之處，考慮到人致荷載在時間和空間上的變異性，首先建立了時-空雙維度的單人荷載模型；其次，根據(jù)實際的人群行走特點，聯(lián)系行人間個體的差異性和人群空間分布的隨機性，提出四種具有代表性的隨機行走模型，并對隨機人群荷載激勵下的動力學(xué)方程進行解耦；最后，基于四種模型的不同特點，分析人行橋振動響應(yīng)以及跨中最大響應(yīng)時人群分布區(qū)間上的變化規(guī)律，以期提出面向工程設(shè)計的簡化計算方法。

1 考慮隨機性的行人行走模型

1.1 有序排列模型

在分析以人行橋為代表的大跨、低頻、輕質(zhì)結(jié)構(gòu)的人致振動響應(yīng)時，應(yīng)特別注意行人齊步行走的情形[15]。因此，建立了如圖1所示的有序排列模型(ordered arrangement model,OAM)。在該模型中，人群根據(jù)設(shè)定好的初始位置分布在上橋端，約束了隨時間變化的步行力作用點，行人按照特定行走順序通過人行橋。第一排行人可根據(jù)其意愿或所受環(huán)境因素的影響調(diào)整步行參數(shù)，其余行人的步行速度和步幅受到一定程度的約束，不會發(fā)生超越現(xiàn)象。

圖1 有序排列模型

根據(jù)該模型人群分布特點，首先確定其初始位置，假設(shè)橋上總?cè)藬?shù)為m，則

(1)

式(1)中：q、p分別為人群排、列數(shù)；k為第一排人數(shù)；人數(shù)最多的一排B為第1列到最后1列的距離；yi為第一排第i人的縱坐標(biāo)，「?為向上取整；?」為向下取整。

為簡化分析，假設(shè)人群在行走過程中保持速度不變，前后兩人間距為d，每排行人始終處在相同的橫向梯度上，即同排行人同時達(dá)到下橋端，m人通過人行橋的總時長T即為最后排行人過橋時間，表示為

(2)

式(2)中：tq,i為最后一排任意行人走完第i步的時間；α為該人走完全程所需步數(shù)。

1.2 隨機分布模型

有序排列狀態(tài)是一種特殊的行走方式，其特點是行人步行參數(shù)在一定程度上屬于有條件約束。隨機分布狀態(tài)則是一種更常見的行走方式，行人行走不受約束，隨機分布模型(stochastic distribution mode,SDM)考慮了行人在二維橋面上位置的不確定性以及行人個體間的差異性，與實際情形更相符。對于隨機分布在結(jié)構(gòu)上的行人，其通行的路程僅為總跨度的一部分，SDM如圖2所示。

圖2 隨機分布模型

基于時-空雙維度的單人荷載為

(3)

式(3)中：F(t)為t時刻的步行力大小；G為行人體重；αr為第r階諧波動載因子；fp為行人步頻；φr為相位角；x0、y0為初始位置坐標(biāo)；xt、yt為步行力t時刻的位置坐標(biāo)；vx和vy為步速在兩個方向的分量。

由于行人自身的隨機性，每步參數(shù)(步頻、步幅和步速等)均存在小幅度的變異。針對人體的生物特性，將行走過程等效為有限步段的疊加[14]，既符合實際行走中存在的變異性，又可實現(xiàn)變參數(shù)的數(shù)值計算。假設(shè)行人沿直線x方向行走，xt和yt可進一步表示為

(4)

式(4)中：li為行人第i步的步幅；fpi為行人第i步的步頻；ti為行人第i步所需時長；β為行人從初始位置到下橋邊界所需行走步數(shù)；T為單人走完全程所用時長，即

(5)

根據(jù)疊加原理，SDM的人群荷載可表示為

(6)

式中：δ為Dirac函數(shù)；xj,t、yj,t為行人j在t時的位置坐標(biāo)；Fj(t)為行人j在t時的步行力，當(dāng)t>Tj時，即t時刻行人j已下橋，則Fj(t)=0。

假定人行橋等截面，EI為抗彎剛度，m為人行橋單位質(zhì)量，c為人行橋阻尼，u為人行橋豎向位移。由于人行橋結(jié)構(gòu)長寬比較大，橫橋向動撓度較小，本文中將行人行走的二維模型簡化為只考慮順橋向撓度影響的一維模型，則隨機荷載激勵下的運動微分方程為

(7)

行人j的初始位置記為xj,0，第i步對應(yīng)的步長記為lj,i，β為正整數(shù)，基于步長構(gòu)建法，行人j第i步步行力Fj,i(t)的作用點Xj,i為

(8)

則行人j第i步對人行橋激勵的荷載為

qj,i(x,t)=δ(x-Xj,i)Fj,i(t)

(9)

根據(jù)式(9)，式(7)右側(cè)可寫為

(10)

設(shè)φr(x)為人行橋第r階豎向振型函數(shù)，采用振型分解法解耦運動微分方程，得到考慮人群隨機分布情形下的人行橋第r階模態(tài)運動方程，即

(11)

式(11)中：Yr(t)、ζr、ωr、Pr、Mr分別為人行橋第r階模態(tài)位移、模態(tài)阻尼比、圓頻率、模態(tài)荷載以及模態(tài)質(zhì)量。行人j第i步步行力對人行橋第r階模態(tài)荷載的貢獻為

(12)

則式(11)右側(cè)寫為

(13)

1.3 隨機到達(dá)模型

隨機到達(dá)模型(stochastic arrival model,SAM)在考慮行人個體間差異性的基礎(chǔ)上，同時考慮行人到達(dá)結(jié)構(gòu)的時間序列。SAM將行人上橋視為泊松事件[16-17]，則m個行人到達(dá)結(jié)構(gòu)的時間是m個相互獨立且期望相同的隨機變量，根據(jù)上橋時間序列構(gòu)造出行人空間序列。SAM如圖3所示。

圖3 隨機到達(dá)模型

人群激勵荷載為

(14)

(15)

式(15)中的xj,t不同于式(6)，區(qū)別在于t時刻行人j是否已位于人行橋上，根據(jù)SAM，xj,t可表示為

xj,t=

(16)

(17)

同理，將行人行走的二維模型簡化為只考慮順橋向撓度影響的一維模型，則m個行人從上橋端通過人行橋時，在第一步落足點作用的荷載為

(18)

第k步落足點的荷載時程相對式(18)的滯后時間為

(19)

基于分布荷載法，考慮到相鄰落足點間距的變異性，得出在人群荷載激勵下的人行橋運動微分方程為

(20)

式(20)中：I為行人落足點總數(shù)。

1.4 動態(tài)平衡模型

在上述3種行走模型的基礎(chǔ)上，提出一種實現(xiàn)穩(wěn)定人流的分析模型——動態(tài)平衡模型(dynamic equilibrium model, DEM)，如圖4所示。該模型同樣考慮行人在二維橋面上所處位置的隨機性以及行人個體間的差異性，不同的是，當(dāng)某個行人在下橋端通過時，上橋端同時有行人上橋，結(jié)構(gòu)輸入、輸出達(dá)到平衡，形成穩(wěn)定人數(shù)的動平衡過程。

圖4 動態(tài)平衡模型

根據(jù)圖4，假定動平衡過程的總?cè)藬?shù)為2m，分析流程如下。

(1)變量初始化。計算時間t=0，隨機生成m個初始位置坐標(biāo)(x0,y0)，施加單人荷載，單人荷載用式(3)表示，按統(tǒng)計規(guī)律隨機生成步行參數(shù)。

(2)更新計算時間。t=t+Δt，人群按照設(shè)定好的行走方向通過人行橋結(jié)構(gòu)，每走一步時間更新一次。

(4)完成計算。當(dāng)人行橋上最后一位行人到達(dá)下橋端，計算即完成，求解并提取結(jié)構(gòu)振動加速度響應(yīng)。

(5)重復(fù)計算。由于考慮參數(shù)的隨機性，循環(huán)重復(fù)上述步驟，以達(dá)到精度要求。

2 基于隨機行走模型的動力響應(yīng)分析

根據(jù)上述考慮隨機性的行走模型，分析不同模型情形下的人行橋動力響應(yīng)變化規(guī)律。行人步頻fp、初始相位φ、自重G及所處結(jié)構(gòu)位置(x,y)均為滿足一定分布規(guī)律的隨機變量，對以上變量進行了如下假設(shè)。

(1)行人步頻，擬采用陳政清教授團隊[18]的研究成果，認(rèn)為步頻滿足正態(tài)分布N(1.825,0.221)。

(2)行人相位角，假設(shè)步行初始相位為區(qū)間[0，2π]內(nèi)均勻分布的隨機變量。

(3)行人體重，根據(jù)中國公民身體素質(zhì)及統(tǒng)計結(jié)果[19]，模型中人體質(zhì)量取為66.2 kg。

(4)行人位置，將行人出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)上的初始位置坐標(biāo)x0、y0考慮為服從[0,L]和[0,B]間的均勻分布。

2.1 基于有序排列模型的動力響應(yīng)分析

不同人群密度情形下OAM的峰值加速度響應(yīng)分布規(guī)律如圖5所示，可見，隨著人群密度增大，比例較大的區(qū)間向峰值加速度增大方向移動，但總體上分布在小加速度側(cè)。在對加速度響應(yīng)樣本分析時發(fā)現(xiàn)，并非行人步頻越接近結(jié)構(gòu)基頻時峰值加速度越大，還應(yīng)考慮相位的影響。步頻是滿足正態(tài)分布的隨機變量，其均值遠(yuǎn)離人行橋敏感頻率，導(dǎo)致大加速度樣本數(shù)量較少，不同排行人相位相互抵消，因此會出現(xiàn)響應(yīng)較小的情況。3種人群密度情形下的峰值加速度最小值均在(0,0.1)區(qū)間內(nèi)，最大值遠(yuǎn)超過規(guī)范建議的加速度響應(yīng)上限，嚴(yán)重影響到橋上行人的舒適性，不可忽略人群齊步行走對人行橋結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的影響。

圖5 OAM峰值加速度響應(yīng)分布

為研究峰值加速度響應(yīng)出現(xiàn)的時刻，將行人過橋時間劃分為區(qū)間1，2，…，10的10個等長時段，即相應(yīng)地代表[0,T/10)，[T/10,2T/10),…，[9T/10,10T/10),分析得到隨機人群荷載激勵下最大加速度響應(yīng)出現(xiàn)時刻的分布圖，如圖6所示。3種人群密度均在區(qū)間6時占比最大，分別占總樣本數(shù)量的51%、58%和45%，將時間變量轉(zhuǎn)換為荷載作用位置，圖6結(jié)果表明行人荷載作用于[L/2,3L/5)區(qū)域內(nèi)時，出現(xiàn)峰值加速度響應(yīng)。

圖6 最大加速度響應(yīng)出現(xiàn)時刻分布圖

2.2 基于隨機分布模型的動力響應(yīng)分析

不同人群密度情形下SDM的峰值加速度響應(yīng)分布規(guī)律如圖7所示，可見，不同人群密度情形下的峰值加速度響應(yīng)存在明顯區(qū)別，隨著人群密度增大，峰值加速度最大值增大42.8%、20.8%，峰值加速度最小值增大101.5%、43.2%。

由圖7可知，SDM的峰值加速度響應(yīng)服從正態(tài)分布，經(jīng)正態(tài)分布擬合得到峰值加速度均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及95%置信度的置信區(qū)間，如表1所示。由表1可知，人群密度與峰值加速度均值之間存在非線性正相關(guān)關(guān)系，峰值加速度均值隨人群密度增大而增大69.4%、29.4%，這是因為考慮了行人荷載隨機性的原因。

表1 人行橋結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)統(tǒng)計規(guī)律表

圖7 SDM峰值加速度響應(yīng)分布圖

峰值加速度出現(xiàn)時刻橋上人數(shù)的分布規(guī)律如圖8所示，可見，橋上駐留人數(shù)主要與初始存在人數(shù)相同，隨著人群密度的增大，大數(shù)量人群占比呈現(xiàn)出增大的趨勢，3種人群密度對應(yīng)的橋上平均人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例分別為70%、78.35%和84.5%。

圖8 SDM駐留人數(shù)分布

為研究峰值加速度響應(yīng)出現(xiàn)時橋上駐留行人所處的位置，將人行橋跨度L等分為10個等長區(qū)間，駐留人群站位分布如圖9所示，圖中縱坐標(biāo)為某區(qū)間出現(xiàn)最多人數(shù)的百分比。可見，3種人群密度在區(qū)間1的占比均為0，在區(qū)間9占比最大，分別占總樣本數(shù)量的20%、21%和17%。在區(qū)間1～9內(nèi)，整體上呈現(xiàn)出正相關(guān)的規(guī)律，在區(qū)間10發(fā)生突變，占比急劇減小。

圖9 SDM駐留人群位置分布圖

2.3 基于隨機到達(dá)模型的動力響應(yīng)分析

將行人上橋視為泊松事件，取人群數(shù)量m=10，分析得出峰值加速度響應(yīng)分布圖，如圖10所示。結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)服從正態(tài)分布N(0.282,0.0842)，95%置信度的置信區(qū)間為[0.266,0.298]；峰值加速度值域區(qū)間為[0.11,0.50]，最大值約為最小值的4.55倍。

圖10 SAM峰值加速度響應(yīng)分布圖

相應(yīng)地，峰值加速度出現(xiàn)時刻橋上人數(shù)的分布規(guī)律如圖11所示，人數(shù)分布情況相對均勻，駐留人數(shù)為7人時的比例最高，為總數(shù)的18%；駐留人數(shù)均值占總?cè)藬?shù)的64%。

圖11 SAM駐留人數(shù)分布圖

駐留人群位置分布如圖12所示，可見，駐留人群多分布在下橋端附近，位于區(qū)間8的情況占比最大，為總數(shù)的25%，而靠近上橋端區(qū)域的情形較少。

圖12 SAM駐留人群位置分布圖

2.4 基于動態(tài)平衡模型的動力響應(yīng)分析

根據(jù)分析流程，假設(shè)橋上穩(wěn)定行人數(shù)m=10，則通過人行橋總?cè)藬?shù)為20人，峰值加速度響應(yīng)分布如圖13所示，可見，DEM服從正態(tài)分布N(0.348,0.0842)，95%置信度的置信區(qū)間為[0.332,0.364]，峰值加速度值域區(qū)間為[0.155,0.613]，最大值約為最小值的3.95倍，較SAM值域范圍更為集中。

圖13 DEM峰值加速度響應(yīng)分布圖

駐留人群位置分布如圖15所示，可見，駐留人群多分布在下橋端附近，位于區(qū)間10的情況占比最大，為總數(shù)的22%，靠近上橋端的情形較少。

圖15 DEM駐留人群位置分布圖

峰值加速度出現(xiàn)時刻橋上人數(shù)的分布規(guī)律如圖14所示，可見，橋上行人在大部分時間段內(nèi)處于動平衡狀態(tài)，駐留人數(shù)為穩(wěn)定行人數(shù)的情況占據(jù)了相當(dāng)大的比例。

圖14 DEM駐留人數(shù)分布圖

2.5 不同模型結(jié)果對比

綜合比較以上4種行走模型，進行如下討論。

(1)峰值加速度。4種模型峰值加速度響應(yīng)對比結(jié)果如圖16所示，可見，OAM峰值加速度響應(yīng)分布較為離散，集中在加速度較小一側(cè)，SDM、SAM、DEM均服從正態(tài)分布規(guī)律。4種模型的最大峰值加速度分別為1.092、0.458、0.500、0.613 m/s2，OAM明顯大于其他3種模型。均值方面，DEM均值較其他模型分別提高了19.6%、31.3%和23.4%。

圖16 不同模型峰值加速度對比圖

(2)橋上駐留人數(shù)。OAM人群在行走中相對集中，分布形式不發(fā)生改變，可將人群看作整體，在此處不對其駐留人數(shù)進行討論。峰值加速度出現(xiàn)時刻橋上駐留人數(shù)對比結(jié)果如圖17所示，可見，SDM的駐留人數(shù)主要與初始時刻橋上人數(shù)有關(guān)，SAM的駐留人數(shù)相對平均，DEM的駐留人數(shù)較大程度上取決于穩(wěn)定行人數(shù)。最大比例方面，DEM較SDM、SAM分別提高了32%和37%。均值方面，SDM較SAM的駐留人數(shù)增大了9.4%。

圖17 不同模型駐留人數(shù)對比圖

(3)駐留人群位置分布區(qū)間：四種模型的駐留人群位置分布如圖18所示，可見，峰值加速度出現(xiàn)時，OAM駐留人群主要分布于跨中位置處，其余3種模型的駐留人群主要位于下橋端附近。

圖18 不同模型駐留人群位置分布區(qū)間對比圖

3 結(jié)論

(1)針對步行荷載的隨機性，提出了4種簡便適用的分析模型，不同模型分析結(jié)果表明：OAM模型的加速度響應(yīng)分布較為離散，其他3種模型的振動響應(yīng)均服從正態(tài)分布規(guī)律，4種模型的振動響應(yīng)均值分別為0.291、0.265、0.282 、0.348 m/s2。

(2)研究了峰值加速度出現(xiàn)時刻橋上駐留人數(shù)及駐留人群位置分布區(qū)間的規(guī)律，SDM模型駐留人數(shù)主要與初始橋上人數(shù)有關(guān)，SAM模型相對均勻，DEM模型則主要取決于橋上穩(wěn)定的行人數(shù)，駐留人數(shù)分別為10、7、10人時的占比最大，分別為總樣本的23%、18%和55%。峰值加速度響應(yīng)出現(xiàn)時刻，OAM模型的駐留人群主要分布于跨中位置，其他3種模型的駐留人群主要位于下橋端附近，占比最大區(qū)間分別占據(jù)了總樣本的51%、20%、25%、22%。