動態二元偏正態分布的尾相依函數①

王志花， 彭作祥

西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

設(X,Y)是獨立同分布的隨機變量,具有連續的邊緣分布函數FX,FY.對x,y≥0,定義尾相依函數為

(1)

D(1,1)為上尾相依系數[1-2].有關尾相依函數的性質見文獻[3];有關尾相依系數的推導見文獻[4-6].尾相依的概念描述了兩個隨機變量的尾相關結構,尾相關性的一個常用度量方法是所謂的尾相依系數.尾相依系數在現代風險管理中越來越受到重視,因此估計尾部依賴性是非常重要的.尾相依系數是尾相依函數的一種特殊情況,它度量兩個變量之間的極值相關性.因此本文考慮動態二元偏正態分布的尾相依函數.

二元偏正態分布的聯合密度函數為

f(x,y)=2φ2(x,y;ρ)Φ(α1x+α2y)α1,α2∈R

(2)

(3)

當α=0時,文獻[14]給出了二元正態分布在Hüsler-Reiss條件[15]即(3)式成立情況下的尾相依函數.對x,y>0,根據(1)式再結合文獻[1,14],定義(ξ,η)的下尾相依函數為

(4)

其中

(5)

本文分別考慮偏度參數α<0和α>0時的動態二元偏正態分布的尾相依函數.

1 主要結論

對參數為α∈R的偏正態分布函數F,定義

(6)

F←(x)表示F(x)的逆函數.我們有如下兩個引理.

引理1設函數gn(v)由(6)式給出,則

證由文獻[16]易得.

證結合引理1和(3)式得證.

定理1假設(3)式成立,則對x,y>0,有

證根據(5),(6)式以及條件概率積分公式有

(7)

其中

(8)

及(8)式可得

(9)

由(7)和(9)式,根據Φ(·)的連續性和控制收斂定理,有

由ε任意性,α<0情形得證.

(10)

根據Mills不等式

同樣地

再結合引理2時(8)式取極限,有

(11)

由(7)和(11)式,根據Φ(·)的連續性和控制收斂定理,有

由ε的任意性,定理證畢.