化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

楊 舒

(云南省怒江州民族中學(xué) 673100)

化歸思想的解題思路主要是依據(jù)復(fù)雜問題所提出的有效解題方式，經(jīng)過化歸思想的運(yùn)用，其不僅能夠使學(xué)生面對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時(shí)，更好的理清思路，而且還能把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)變成一個(gè)或多個(gè)較為簡(jiǎn)單的問題，對(duì)其進(jìn)行一一解決，并歸納到一起，最終實(shí)現(xiàn)問題解決的方法.目前，高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)當(dāng)中，化歸思想已經(jīng)得到廣泛運(yùn)用，學(xué)生通過化歸思想實(shí)施解題，就能更好的應(yīng)對(duì)復(fù)雜、難度高的數(shù)學(xué)問題，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)得到有效提升.

一、化歸思想的形式

1.一般性與特殊性問題

化歸思想作為常見的一種解題思路，其運(yùn)用通常不能只局限在一種情境.通常而言，高中數(shù)學(xué)的解題中，較為常見的化歸思想的運(yùn)用情境中，最重要的就是一般性與特殊性問題.對(duì)于一般性與特殊性問題而言，其轉(zhuǎn)換就是在面對(duì)復(fù)雜、特殊問題的時(shí)候，促進(jìn)問題的簡(jiǎn)化，特別是面對(duì)短時(shí)間無法梳理出解答頭緒的問題時(shí)，可將復(fù)雜、特殊的問題轉(zhuǎn)變成一般可計(jì)算出的問題，以促使學(xué)生自身的解題思路更加清晰，并找出數(shù)學(xué)問題的具體解決方法.數(shù)學(xué)解題中，最為常見的應(yīng)用場(chǎng)景就是計(jì)算多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和，在相關(guān)問題中，通常會(huì)出現(xiàn)多個(gè)未知數(shù)或者未知數(shù)高次冪等狀況，若直接展開各項(xiàng)，并實(shí)施合并計(jì)算，計(jì)算量通常比較大，而運(yùn)用化歸思想，則能把當(dāng)中的未知數(shù)設(shè)成常數(shù)1，將該值代入至全部計(jì)算中，以求取到相對(duì)簡(jiǎn)單的結(jié)果.經(jīng)過該方式，就能使原先復(fù)雜化的計(jì)算過程實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的有效解決.

2.分解和組合

分解和組合屬于兩個(gè)動(dòng)作，在高中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中也是極其常見的.學(xué)生在解題中，最為常用到的就是分解.對(duì)于分解而言，主要就是把復(fù)雜問題進(jìn)行細(xì)化，并通過不同的步驟實(shí)施逐一解決，通過該解題策略，就能使數(shù)學(xué)問題實(shí)施局部變更，在對(duì)整體的問題邏輯不受影響的狀況下，實(shí)現(xiàn)部分解決.在所有的部分問題得以解決之后，將結(jié)果實(shí)施整合，即組合過程.

二、化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

1.直接轉(zhuǎn)化法

直接轉(zhuǎn)化法作為數(shù)學(xué)解題中常見的解題法，運(yùn)用于數(shù)學(xué)題的解答中，首先，需注重審視題目，將問題的條件作為出發(fā)點(diǎn)，合理的應(yīng)用相關(guān)概念、公式、定理、法則等，經(jīng)過有效溝通，實(shí)現(xiàn)推理、變形、計(jì)算之后，把原先的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)變成相關(guān)基本問題，以獲得相應(yīng)的結(jié)論.將直接轉(zhuǎn)化法運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)的解題中，一方面，數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)當(dāng)中，需注重基本定理、基本公式的深入講解，其不僅需學(xué)生牢固記憶相關(guān)知識(shí)，而且還需清楚知識(shí)的來源，以促使學(xué)生積累到充足的知識(shí)，另一方面，教師需引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)具體題目，注重直接轉(zhuǎn)化法的運(yùn)用，從而使學(xué)生充分體會(huì)到直接轉(zhuǎn)化法的運(yùn)用過程，并掌握其應(yīng)用技巧.

2.換元法

換元法主要指通過新變量的引入，把分式轉(zhuǎn)化成整式，把高次轉(zhuǎn)變成低次，以實(shí)現(xiàn)解題過程簡(jiǎn)化的解題方法.目前，換元法已經(jīng)在不等式、方程、函數(shù)等相關(guān)試題中得到廣泛應(yīng)用.通常來說，換元主要包含三角換元、均值換元、局部換元等.想要使學(xué)生充分掌握換元法，需要對(duì)換元形式及其需注意的問題實(shí)施細(xì)致剖析，同時(shí)，數(shù)學(xué)教師可選擇些經(jīng)典題目，講解換元法的具體運(yùn)用方法，促使學(xué)生充分掌握換元法的運(yùn)用技巧，從而使數(shù)學(xué)課程的解題正確率得到有效提高.將換元法運(yùn)用于數(shù)學(xué)問題的解答中，其既能聯(lián)系分散條件，呈現(xiàn)隱含條件，又能將條件與結(jié)論相聯(lián)系，以實(shí)現(xiàn)快速與簡(jiǎn)化的獲得結(jié)果的效果，從而使學(xué)生的解題能力得以提升的同時(shí)，深刻掌握數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用方法.

例如，已知x、y∈R，滿足x2+2xy+4y2=6，那么z=x2+4y2的取值范圍是____.

本題的題干相對(duì)比較簡(jiǎn)單，但是，學(xué)生如果不會(huì)運(yùn)用化歸思想進(jìn)行換元，就無法有效解答本題，因此，教師需引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真的觀察題干，通過三角換元對(duì)該題實(shí)施解答.

3.構(gòu)造法

構(gòu)造法主要指依據(jù)已學(xué)的相關(guān)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行構(gòu)造，把問題轉(zhuǎn)變成容易解決的數(shù)學(xué)問題.構(gòu)造法的運(yùn)用通常對(duì)學(xué)生自身的綜合能力有著極高的要求，想要確保學(xué)生能夠靈活的運(yùn)用構(gòu)造法，在課堂教學(xué)中，首先，需注重構(gòu)造法的重點(diǎn)講解，包含了一次函數(shù)、二次函數(shù)、構(gòu)造向量等，以深化學(xué)生對(duì)構(gòu)造法相關(guān)知識(shí)的理解，并充分掌握構(gòu)造法的運(yùn)用精髓.其次，數(shù)學(xué)教師需注重與數(shù)學(xué)習(xí)題相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)造法進(jìn)行求解，并給予學(xué)生相應(yīng)的指導(dǎo)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)通過構(gòu)造法進(jìn)行解題，從而使學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造法的技巧與能力得到有效提高.

例如，已知等比數(shù)列{an}中，a1=2，a8=4，且函數(shù)f(x)=x(x-a1)(x-a2)……(x-a8)，f′(0)=( ).

A.26B.29C.212D.215

本題解法有著較強(qiáng)的技巧性，大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，都會(huì)感到無從下手.因此，在課堂教學(xué)中，可指導(dǎo)學(xué)生對(duì)已知條件進(jìn)行認(rèn)真觀察，引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)造法實(shí)施求解，而運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造的方式f(x)=xg(x)之后，通過整體代換以及數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用就能實(shí)現(xiàn)高效求解.設(shè)g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)，那么f(x)=xg(x)，通過兩邊求導(dǎo)可得：f′(x)=g(x)+xg′(x)，因此，f′(0)=g(0)=a1·a2…·a8.又因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，a1=2，a8=4，所以，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，f′(0)=g(0)=a1·a2…·a8=(2×4)4=212.故本題的正確選項(xiàng)是C.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)當(dāng)中，化歸思想的運(yùn)用，不僅能實(shí)現(xiàn)學(xué)生自身解題思路的豐富，而且還能促使學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的知識(shí)體系.數(shù)學(xué)教師在具體教學(xué)時(shí)，既需要在理論知識(shí)的講解中運(yùn)用化歸思想，又需通過具體例題運(yùn)用化歸思想，從而實(shí)現(xiàn)解題過程簡(jiǎn)化的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)解題效率的提高.