基于結構?整體著力

[摘要] 以喻平教授CPFS結構為理論依據，整體設計一元一次不等式（組）的復習，在目標引領下，“喚醒—應用—綜合—引申—小結”等五環節環環相扣，零散的知識在聚合中整體發力，在不等式域完善中應用，在應用中轉知成識，讓復習更富有價值。

[關鍵詞] 一元一次不等式（組）;復習設計;CPFS結構;整體教學

一元一次不等式（組）是在七年級下冊（人教版）學過的內容，學生已經經歷了新授課的學習，在后續函數、二次根式、一元二次方程等知識中也得到過初步的應用，但總體而言還是零散的、粗淺的，沒有形成前后知識的內在關聯，沒有構建學生良好的CPFS結構。對初三的中考復習來說，有了兩年多的數學學習經歷，學生已具備了一定的學習能力與探索意識，不論是面對中考，還是面對自己的進一步發展，對初中數學的總體把握也有了較為迫切的需要，這樣外力與內在的共同作用力，加上喻平教授的CPFS結構的宏觀引領，為課堂的成功奠定了理論基礎和心理基礎。

一、設計說明

（一）本復習課的理論支撐

喻平教授等提出：一個數學概念C的所有等價定義的圖式，叫作概念C的概念域。一組具有數學抽象關系的概念網絡的圖式叫作概念系。與命題A等價的命題集的圖式叫作命題A的命題域。在一個命題集中，其中任意一個命題都至少與其他某一個命題有“推出”關系，就稱這個命題集的圖式為一個命題系。概念域、概念系、命題域、命題系（記為CPFS結構）是對數學認知結構的精確描述，它反映了數學學習特有的心理現象和規律。CPFS結構理論準確地刻畫了數學知識在個體頭腦中的組織形式，它是一種優良的數學認知結構，而奧蘇伯爾認為優良的認知結構有助于遷移。故此可推知，學生的CPFS結構的形成是學生深度理解數學的表征，是學生學力、思維力強的一種體現，它為復習教學結構化、系統化思維路徑提供了理論上的依據。

（二）整體教學構想

“任何知識總處于聯系之中，時間上處于歷史的聯系中，空間上處于結構的聯系中。……如果教師把所傳授的知識置入過程和聯系之中，課堂里的知識空間就自然形成了。”基于這樣的認識，本復習課以一個母題為基，以題喚知，通過題目的串并聯、優化組合，把題目的潛能挖掘出來，充分發揮題目的喚醒與貫通作用，題盡所能，整個設計充分利用了母題資源，既減低了重復計算所帶來的外部認知負荷，又貫通了知識的內在聯系，凸顯出數學之本質。依次通過數學活動，引導學生領悟知識的縱向聯系和橫向聯系、直接聯系（顯性聯系）和間接聯系（隱性聯系），讓學生既見樹木又見森林，意在促進對知識的整體建構。這種立足CPFS結構下的系統統攝力的復習，將使得知識更具張力，更具應用性和遷移力，在應用中見證價值，在實踐中深化理論，進一步感知不等式（組）復習的必要性、不可或缺性。

基于以上整體構想和理論支撐，設計了本節復習課。

二、復習目標

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對“不等式與不等式組”目標提出要求：結合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質;能解數字系數的一元一次不等式并能在數軸上表示出解集，會用數軸確定由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集;能根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題。基于此，立足知識前后關聯的整體觀，基于課標的定位，結合近年來全國各地中考試卷中關于不等式（組）題目的特點，確定如下復習目標：（1）通過題組的喚醒與再現，梳理出本章的知識結構，進一步掌握不等式的性質，會運用它熟練地解一元一次不等式（組），并能通過數軸表示其解集;（2）基于CPFS結構理論，通過應用題組展現不等式的廣泛應用性，完善不等式的應用域，增進對不等式的積極體驗，加深對其復習必要性的認識;（3）認識不等式與方程、函數等領域的關聯，通過這種關聯加深對建模思想、數形結合思想、分類討論思想的認識，進一步落實化歸。

三、復習流程

環節1 喚醒中再現

（1）下列5個式子：①-3<0;②2x+5y>0;③x-2=0;④2（x+2）>3x;⑤≤-1;屬于

一元一次不等式的是______.（填序號）

若a>b，則：①a-2______ b-2;②2a?______? 2b;

③? ? ? ? ? ? ;④ ac2?______ bc2.（填不等號）

（2）解不等式⑤，并把解集表示在數軸上。

（3）解④、⑤組成的不等式組，并確定其整數解。

跟進思考：同學們以（3）中的兩個不等式為基，還能改編出不同于（3）中的不等式組并求其解集嗎？

路徑預設：改換不等號方向即可改編為新題，進而求其解集。

[設計意圖]設置具有內在關聯性的三個小題目是不等式知識體系中最基礎、最本質的內容，也是最重要、最核心的內容，以此構成了本專題復習的認知起點。其中，不等式的基本性質是不等式解法的基礎和依據，是不等式與不等式組的重要支撐。另外，在中考中相關不等式性質本身的考查也時有出現，而不等式（組）的解法是本部分最基本、最核心的方法，是進一步用之解答問題的基本保障。通過設計這三個簡單的小題，喚醒知識、梳理知識，通過學生的解答情況來落實以學定教，為后續學習提供先手材料。

基于三個問題的順序性、關聯性，具體教學時，利用PPT，要把所設計的三個小問題依次呈現，而不可一次性直接呈現出來（若一次性呈現體現不出問題的生成性和遞進性）。問題1是為了回顧一元一次不等式的概念及不等式性質;問題2是為了回顧解不等式的基本技能及解集的數形結合表達;問題3指向不等式組的解法技能及其整數解問題，且問題2、3均選材于問題1這一母題，從經濟、智能兩個角度充分利用了母題資源，使其具有內在的關聯性。然后通過跟進思考這一環節，使得不等式組解集的四種情形（取大、取小、取中間、無處取）全程展現，形成知識的整體縮影。如此處理，既減少了重復解不等式，節省了復習時間（經濟），又通過這種優化的變式，調節學生的復習興趣與熱情（智能）。可以看到，這些題目均基礎題，但基礎中孕育著創新，踐行了張奠宙教授“讓基礎富有靈性”的觀點。

環節2 應用見關聯

（1）三角形三邊長分別為4，1-2a，7，則a的取值范圍是______ ? ?.

（2）二次根式在實數內的取值范圍是______?.

（3）已知：在鈍角三角形中，一個銳角是另一個銳角的2倍，則較小的銳角的度數范圍是? ______ ?.

（4）點A（m，m-3）在第4象限，則m的取值范圍是______?.

（5）一次函數y=（m+2）x+1，若y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是______?.

（6）若關于x的方程x2-4x+m=0沒有實數根，則實數m的取值范圍是______?.

（7）若拋物線y=（3-m）x2-4x+m的開口向下，則m的取值范圍是______.

（8）若直線y=（m-2）x+1與雙曲線 沒有公共點，則m的取值范圍是?______ ?.

（9）若拋物線y=ax2+2x+3與x軸有兩個公共點，則a的取值范圍是?______ ?.

[設計意圖]基于三角形的三邊關系、分式或根式的取值范圍、三角形三個角的制約關系、平面直角坐標系內點的象限符號特征、一次函數的增減性、一元二次方程根的存在情況、拋物線的開口方向、圖像的公共點問題、拋物線與坐標軸的公共點等問題設計了9道計算量相對較小的小題目，基本上把初中學段相關不等式（組）應用的知識點來了個盤點，彰顯了不等式（組）的應用價值，打通了不等式的縱橫關聯，將知識的學有所用、學有所值凸現出來，有利于不等式（組）“應用域”的集成與完善。這類基于數學內部單項關聯的題組，既體現了不等式在數學內部的廣泛應用，又喚醒了鄰近知識，加固了知識的整體化體系。

教學時可以利用PPT一次性呈現出來，以中等生完成為節點進行不等式應用范疇的梳理，安排學優生在提前完成填空的基礎上幫扶學困生;通過先行梳理這一數學認知結構，讓學生想一想，初中學段還有哪些領域會用到不等式（組）。如此兼顧多個層級，力爭實現每個人在各自基礎上的不同提高。

環節3 綜合中聯通

如右圖，直線l1：y=2x+1與直線l2：y=mx+4相交于點P（1，b）.

（1）求b，m的值.

（2）寫出不等式2x+1

（3）垂直于x軸的直線x=a與直線l1、l2分別相交于C、D，若線段CD長為2，求a的值.

[設計意圖]這是一道把方程、不等式、函數鏈接在一起，打通其內在關聯的小綜合題目，它以數形結合的形態，系列呈現，有機地融合在一起，見證了不等式在代數領域內的結構體系，是對環節2的一種綜合性體現，也是基于復習的整體性、關聯性開發而設計的。其中的（1）是在函數圖像的背景下，以公共點為依托，連通共同點的坐標與方程的解，通過解一次方程確定出兩個待定字母;問題2是借助幾何直觀，直接觀察出不等式的解集，是數形結合思想的展現，當然也可以通過解不等式組去完成，但如此就走了個彎路;問題3是以函數為載體，通過特殊狀態下兩點之間的距離構造出絕對值方程，進而轉化為兩個一元一次方程而獲解。

教學時，可以先行展示圖片，讓學生觀察并提問：能得出什么結論？以此圖像能具體確定什么？題目的問題會怎樣設計？然后再呈現題干條件，依次把三個問題擺出來。這樣學生會在比對自己設定的問題中獲得自信或形成新的認識，感覺中考題無非如此。接下來讓學生先嘗試解答，再通過同位交流、小組交流、全班交流等不同形式完成這一題目的教學，讓學生進一步體悟到方程、不等式、函數的聯系，促進大整體觀的形成。

環節4 引申中拓展

（1）用三個不等式a>b，ab>0，<中的兩個

不等式作為題設，余下的一個不等式作為結論組成一個命題，組成真命題的個數為（ ）.

（A）0（B）1 （C）2（D）3

教學說明：本題取自2019年北京市中考題，是對不等式性質2的改造。根據不等式性質2：若a>b，c>

0，則ac>bc（或>）。以上試題把其中的“c”替換成了“ab”，那么不等式>自然變成了>，

簡化得 > ，即<。這樣，題設中的三個不等式

顯現出來。但本題并未如此進行直接考查，而是把兩個條件和一個結論的三個不等式平行給出，然后以兩個不等式作為題設，余下的不等式作結論重組命題，并判斷命題的真偽，這就增大了題目的挑戰性和可變性，成為一道根植教材的創新題。通過本題能夠進一步提升對不等式性質的理解，以及多視角、辟蹊徑的聯想意識。當然，不管用什么方法解題，首先要構造命題：

①若a>b，ab>0，則<;

②若ab>0，<，則a>b;

③若a>b，<，則ab>0.

預設法一：用不等式性質，這應該是最容易想到的思路。

預設法二：作差比較法。這也是解不等式問題常用的方法。

預設法三：構造函數。借助外觀特征<，若有

構造函數的意識，其實不難聯想到反比例函數y=，當

自變量的值分別a、b時，對應的函數值即為、。如此，

它們的大小自然和函數的增減變化趨勢掛起鉤來。

（2）若關于x的不等式組有解，求a

的取值范圍;若無解呢？若只有兩個整數解呢？

[設計意圖]本題反其道而行之，不是給出具體不等式組去求解（集），而是知道有解、無解、有怎樣的解，欲反求待定字母的取值或取值范圍。這種逆向問題，挑戰的是學生的逆向思維，指向的是深度學習、深度思維。本題從構成上，仍然充分利用了母題中的不等式④和⑤，把④中不等式左端的x變為待定字母a，不等式⑤不變，兩個不等式結合而成含待定字母的不等式組，然后就可以遞次設計出三個問題，其中“有解”與“無解”是互補的，有解解決了，無解隨之而定;而“只有兩個整數解”對學生頗有沖擊力，是個難點，在此集中體現意在循階而上，處理起來相對順暢，能充分利用已經啟動起來的思維和解題資源，體現了有關不等式求解的整體性。

具體教學時，首先鼓勵學生嘗試解答，在發現共性問題時再組織交流，其中可以借力于數軸工具去探索，以感知數形結合的魅力。本拓展環節的兩個問題，從深度學習的定調出發，把不等式性質的應用及不等式解集問題引向深入，一個發散思維、一個逆向思維，均是創新思維的踐行，核心素養嵌于其中。“引領學生思維生成、思辨、歸納、延伸，開拓思維角度，提升思維高度，挖掘思維深度，開拓思維寬度，優化思維品質，讓教學實踐成為思維活動的再現，讓知識成為思維活動的結果”，整個環節注重基本知識的理解、基本思想本質的挖掘、變式應用的把握，呈現出深度思維的復習課樣態。

環節5 小結筑結構

通過前面四個教學環節，漸次生長形成以上內在知識結構，幫助學生構筑各自的認知結構，逐步完善其不等式應用域的CPFS結構體系，以增強知識整體化所產生的“造血功能”。

四、結語

借力喻平教授的CPFS結構，設計了“再現—應用—綜合—引申—小結”五個教學環節，意在形成不等式（組）應用域體系。這樣復習，使得原本零散的知識聚合在了一起，變“惰性知識”為活性知識，成為具有良好遷移力的知識。實踐見證了筆者的認識，收獲了優質的復習效果。需要說明的是，為了突出不等式在數學內部應用的本體結構，本設計沒有涉及不等式在現實生活中的應用，建議把它與方程、函數在現實生活中的應用結合起來，更能體現常量模型和變量模型的關聯性。

[本文系山東省教育教學研究重點課題“基于初中數學課程整合的單元教學案例研究”（項目編號：2020JXZ026）階段性研究成果]

[參考文獻]

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邢成云? ?山東省濱州市北鎮中學初中部，正高級教師，山東省特級教師。“萬人計劃”全國教學名師，全國首期名師領航工程人選，山東省優秀教師，山東省有突出貢獻的中青年專家。