分數(shù)階時滯微分方程邊值問題解的存在性與唯一性

李 帥, 張志信, 蔣 威

(安徽大學數(shù)學科學學院，合肥 230601)

1 引言

分數(shù)階微分方程源于對空氣動力學、流體流動、復雜介質電動力學、控制理論、信號和圖像處理等模型的研究[1-6].分數(shù)階微分方程的邊值問題是分數(shù)階微分系統(tǒng)理論的重要課題.目前，對于分數(shù)階微分方程的邊值問題已經(jīng)取得了豐富的理論成果[7-14].文獻[7]利用迭代法給出了分數(shù)階邊值問題解的唯一性的充分條件，文獻[8-10]則研究了分數(shù)階邊值問題的正解問題，文獻[11,12]利用Krasnoselskii 不動點定理證明出邊值問題解的存在性，文獻[13,14]中分析了分數(shù)階周期邊值問題以及反周期邊值問題的解.對于帶有時滯的分數(shù)階微分方程的邊值問題相關成果不多[15-19].文獻[15]中研究了一類分數(shù)階時滯三點邊值問題解的存在性和唯一性，而文獻[16-19]討論了分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性問題.文獻[20]中，研究了一類非線性分數(shù)階微分方程邊值問題解的唯一性

其中2＜α ≤3, Dp表示p階Riemann-Liouville 分數(shù)階導數(shù)，f:[0,1]×R→R 是連續(xù)函數(shù).

受到以上文獻的啟發(fā)，本文研究了一類分數(shù)階時滯微分方程的邊值問題

其中2＜α ≤3, τ ＞0, f: [0,1]×R→R 是連續(xù)函數(shù)，φ(t)是初值函數(shù)，cDα表示α階Caputo 分數(shù)階導數(shù).本文分別利用Banach 壓縮映像原理、Schauder 不動點定理給出了保證方程(1)解的唯一性與存在性充分性條件.作為應用，給出具體實例來說明主要定理條件的有效性.

2 準備知識

在本節(jié)中，我們將介紹貫穿全文的定義、定理和引理.對任意的x ∈C[-τ,1]，范數(shù)定義為

其中格林函數(shù)G(t,s)為

當0≤t ≤s ≤1 時，有

引理4(Banach 壓縮映像原理)[21]假設K是Banach 空間E的非空閉子集，T:K →K是壓縮算子，即對任意的x,y ∈K，有

則存在唯一的x*∈K，使得Tx*=x*.

引理5(Schauder 不動點定理)[21]假設K是Banach 空間E的有界凸閉集，且T:K →K是全連續(xù)的，則存在x*∈K，使得Tx*=x*.

3 主要結果

在下文中，我們總是認為以下假設成立：

(H1):f ∈C[[0,1]×R,R]，且φ ∈C[-τ,0]；

(H2): 存在p ∈C[[0,1],(0,+∞)]，使得

定理1 如果(H1)和(H2)均成立，且滿足N ＜1，那么邊值問題(1)存在唯一解.

證明 顯然，算子T的不動點是邊值問題(1)的解，首先證明算子T是壓縮算子.

容易說明K是C[-τ,1]的子空間，并且滿足T(K)?K，K中范數(shù)定義如下

因此，我們在空間K中考慮算子T的不動點.

對于任意的x,y ∈K，當t ∈[0,1]時，有

由于N ＜1，所以算子T是壓縮算子.由Banach 壓縮映像原理知算子T存在唯一的不動點，即邊值問題(1)存在唯一解.

定理2 如果(H1)成立，且滿足：

(H3): 存在常數(shù)M ＞0，使得

那么邊值問題(1)至少存在一個解.

證明 易知K是Banach 空間C[-τ,1]的有界凸閉集，且T(K)?K.要證算子T:K →K是全連續(xù)的，只需證空間K的任意一個有界集H, T(H)為列緊集.

1) 先證T(H)是一致有界的，對于任意的x ∈H，有

因此，T(H)是一致有界的.

2) 再證T(H)是等度連續(xù)的，對于任意的x ∈H, t1,t2∈[-τ,1]且t1＜t2，有：

以上情況中，對于任意ε ＞0，存在δ ＞0，對于任意的t1,t2∈[-τ,1]，當|t2-t1|＜δ時，總有|Tx(t2)-Tx(t1)|＜ε，因此T(H)是等度連續(xù)的.由Ascoli-Arzel`a 定理知，T:K →K是全連續(xù)的.所以算子T至少存在一個不動點，即邊值問題(1)至少存在一個解.

4 具體例子

在本節(jié)中，我們通過具體例子來說明本文的主要結果.

例1 考慮如下分數(shù)階時滯微分方程

對于任意的x,y ∈C[-1,1]，當t ∈[0,1]時，有

因此，條件(H2)中p(t)=e(t2+1)，則

顯然，函數(shù)f是連續(xù)的，條件(H1)滿足.令M=3，則|3 sin(πt+x(t-τ))|≤3 成立，條件(H3)滿足.由定理2 知，邊值問題(8)至少存在一個解.