西方音樂中的數理思維溯源

王雪巖

公元前6 到4 世紀是古希臘的音樂發展最活躍的一段時期，歌唱曲、抒情詩、器樂演奏以及音樂戲劇等形式都發展到了很高的程度，還開展了眾多圍繞這些形式的公眾比賽和競技活動。除此之外，古希臘在這一時期還產生了有關音律、音階、調式和記譜等理論，以及古希臘獨特的音樂哲學。公元前5 世紀雖然還是古希臘文明的黃金期，但還是顯示出了走向衰敗的狀態。在音樂上的表現為：簡單樸素、莊嚴肅穆、注重心智與教育的音樂被加以炫技且復雜，還強調注重娛樂的享樂音樂所沖擊。這一時期，圍繞著音樂的社會功能，還有音樂的守舊與革新等音樂美學問題展開了激烈的論爭。

一、畢達哥拉斯理論

和聲的1:1 比例關系起源于古希臘人古老的教義，他們用砝碼與和弦的長度來證明1：1 的比例產生和聲的音程。1：2 為八度，2：3 為五度，3：4 為四度，①音高的比例關系同時被認為是上帝創造秩序的根本。在所有造物的宏觀和微觀世界中，都可以看到所謂的“普遍和諧”的存在，表現之一就是球體的音樂。畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前550）學派認為，每個行星在旋轉時都會產生不同的音符，行星之間的距離是和諧的。1599 年，開普勒（Johannes Kepler，1571—1630）為每顆行星指定了一個速度，土星的速度為3，木星4，火星8，地球10，金星12，水星16。木星和火星產生了4:8，即1:2 的八度關系，火星和金星呈現出8:12，即2:3 的五度關系。

亞里士多德、托勒密和新柏拉圖傳統之間的概念性矛盾使希臘思想在歐洲的傳播和接受變得復雜化，引起了一場無法解決的爭論，即永恒的數學定律是否支配著自然界。或者是反過來說，人類是否逐漸發現了這些定律。古希臘偉大的哲學家和數學家畢達哥拉斯提出的和諧論是當時音程和音階的代表性理論。畢達哥拉斯學派將宇宙和諧的基礎認為是完美數字構成的比例關系，音樂類似宇宙天體。因此，音樂可以更好地說明宇宙現象。為了證明這個理論，研究者將弦的兩端固定到一個共鳴體上，通過不斷改變琴馬的位置來確定不同弦長下的比例關系。結果呈現出以弦長為基礎產生音階中不同的音程關系，具體表現為：當弦長比例為1：2 時，發出的兩個音正是相隔八度的音高關系組成的，弦長比例為3：4或者是2：3 時，發出的兩個音的音程關系分別對應為四度和五度。由于畢達哥拉斯學派認定“4”以內的數字為簡單數字，并且四度、五度和八度音程關系的弦長比又都是“4”以內最簡單的數量比例關系。因此，他們認為只有四度、五度和八度是完美和諧的音程，其余音程關系都是不和諧的。六個音階的數字，也被認為是完美的，因為通過1:1；1:2；2:3；3:4；4:5 以及5:6 的比例，依次組成了單音、八度、五度、四度、大三度和小三度。這也是為什么圭多的六聲音階“Ut、Re、Mi、Fa、Sol、La”代表六弦的六度也被認為是完美的原因之一。②畢達哥拉斯是第一位以數理的方式解釋音樂現象的人，和諧論的提出既是四音音列的基礎，同時也對西方音樂后來的發展產生了深刻的影響。

二、數字象征意義

畢達哥拉斯學派提出的有關合理與數理的自然觀，摒棄了原始階段人們視自然及其作用力為一種神秘的且不能明確解釋的玄學思想，將原本混亂的現象歸結為一種井然有序且可以理喻的事實。直至今日，處在當代的人們雖已具備高度發達的智慧與思維，也仍不懷疑從抽象的自然得來的數學是可以對自然界的某些現象進行合理的抽象闡釋的，也不會對具備顯而易見序性的事物才能被數學所抽象的事實產生懷疑，并且會將和諧的、有序的作為主要特征的音樂視作人類情感和理性的產物。盡管現如今仍不乏有人將它看作是與數學或是科學分屬人類文化不可相交的兩個方向，但最終的多數人還是信服于音樂是可以借數學來抽象反映的。反過來，一個事物如果可以把音樂包括在內，能夠做到直接并且全面地受控于數理邏輯思維之下，那這個事物就必定是可以排除可能產生混亂的所有可能性，從而具備了高度的有序性。

一般而言，音樂也是作為世界萬物之一的物質的，因而也是可以被數學所抽象的。具體到一部音樂作品中，可能出現的數字表現而言，是不能被直接隨意的數學方法來抽象解釋的。這緣于音樂作品一定是也只能是有方向、有順序、有目的、且有時間限制的一個運動過程的這一前提。多數的和聲標記法中，也是借以數字才得以實現清晰說明和弦性質以及和弦的根音或低音所在的依據。相對音樂這類藝術門類在生理和心理上能夠被創作者和聽眾甚至全部人所接受并把握的音樂作品而言，其中所需要的正是勻稱協調、有序和諧等諸多特性的數。比如，畢達哥拉斯學派稱數字“1，2，3，4”是“四象數”（tetractys）。這個學派有一句宣言為：“謹以賦予我們靈魂的四象之名宣誓，長流不息的自然根源包含在其中”。③這個學派將自然界的“四元”視作是由點、線、面、體，以及土、氣、水、火這八個方面分別組成的。無獨有偶，古希臘的音階同樣是以“a、g、f、e”的四音組為核心的。在此基礎上，再進行四次的連續轉位才構成一條完整的音階，這個四象數正好是有理數集中自然數子集的前四項。畢達哥拉斯還將1—10 中的每一個數字都賦予了特別的意義。數字“1”是全部數字的第一位原則，也是萬物之母，是智慧的表現；數字“2”有對立和否定的原則意義，是意見的表達；數字“3”是世間萬物的形式組成；數字“4”意為正義，象征著宇宙的創造者；數字“5”包含奇數和偶數，是雄性與雌性的結合體，代表著婚姻；數字“6”意為神的生命，是靈魂歸屬；數字“7”代表著機會；數字“8”象征著和諧的愛情與友誼；數字“9”有理性與強大的意義；數字“10”包含著一切基礎的數字，象征著完滿與美好。

在偶數集中，尤其那些能夠被以“2”或“4”為單位等分或是偶除的偶數，例如“2、4、6、8、16……”，由這些數字進一步構成了首項為“2”，公比也為“2”的等比或幾何數列。緣于這類偶數的特殊性質，使他們能夠讓人直接地感受到對稱和平衡的美感，因而在音樂創作中被廣泛采用，正如傳統曲式學中常見的方整性結構。這類結構中的小節數量直接體現出了數字的方整特征，正如上文所述，自然數集中除偶數之外的一類數是奇數，因為奇數不具備被“2”或除“2”外其他一切偶數整除或是完全等分的特征。因而，音樂創作中對奇數的使用相比偶數的應用范圍就要狹窄很多。例如，方整性的曲式結構往往有著偶數的性質，在任何創作的時代、任何作品的類型，甚至是不論體裁及表達內容，幾乎在全部作品中的任何一個位置都可以見到這類曲式的結構模式。而具有奇數性質的非方整性的曲式結構，就更多見于用以破壞原作平衡感，加強作品動力，或者是應用在滿足某些特殊需要的地方。但是，除了“1”之外的任意奇數，還又都具備以“1”為對稱中心且可分的性質，也就是：（2n-1）=（n-1）+1+（n-1）的結構模式，例如，3：1、1、1，5：2、1、2，7：3、1、3，9：4、1、4……，（2n-1）：（n-1）、1、（n-1）……等等諸如此類。如果將奇數特性這樣加以理解，那么其在既往的音樂創作中也是多見的，例如，以“快—慢—快”或是“慢—快—慢”的結構模式來布局的三個樂章的作品；以“A—B—A—B—A”的結構來布局對稱的五部性結構；還有以“A—B—A—C—A—B—A”為結構來布局的奏鳴回旋曲式等都符合上述的奇數對稱特性。

質數也被稱為素數，指的是大于“1”的自然數中，除了“1”和本身外不再有其他因數的自然數，否則稱為合數。由于質數特有的性質，使其在自然數中顯得神秘且特殊的，音樂的獨特性決定了它具備數性的可能性，質數集合中的前幾個數字“2、3、5、7、11、13、17、19、23……”，在音樂作品中有較為普遍的反映。值得提的是，在已有的大量音樂實例中可以證實，質數的數字性還不僅體現在音樂作品的形式與特性中。甚至可以被作為一種象征，用來關聯或影響音樂作品要表達的內容，這一點尤其在表達悲劇性的內容時較為突出。如貝多芬《第七交響曲》的第二樂章，這部分表達的是沉重哀婉的情緒，賦予悲憤壯烈風格的進行曲，樂曲這部分開始的主題在呈示部內完整變奏了三次，到了再現部又完整出現了兩次，這樣一來，兩部分出現的總和數即為“5”，再將呈示部與尾聲放在一起，可發現這個主題在樂章中共出現了“7”次。肖邦《序曲》中的作品28 號，可謂是其眾多經典作品的其中之一，其中的第20 首c小調是一首沉重嚴肅的“葬禮進行曲”，由三個樂句組成，全曲共有十三小節。貝爾格（Alban Maria Johannes Berg，1885—1935）是一位對數論很感興趣的作曲家，他贊成柏林著名學者W.威利斯（W.Willis）的觀念，也認為“23”這個數字是一個極有意義且有關宿命論的數字，在他的音樂創作中也如癡如醉地加以對數字“23”的運用，并借以“23”這個數字使音樂作品中暗含著作曲家的獨具匠心之處。④

結 語

歌德說：在限制中才顯出大師的本領，只有規律才能給我們自由。席勒說：如果我們開始進入經驗的領域，那么你就會得到完全不同的說明，那時你才會正確理解感性的自律。但是，接下去：我們在一定概念的前提下才能獲得的形式在現象中表現為他律。因為對于對象來說，每一概念都是某種外在的東西。這種形式具有嚴密的合規律性（其中首先是數學形式），因為這種形式把構成它的概念強加給我們；這種形式具有嚴格的合目的性（特別是實用的合目的性。因為它總是和其他一些東西相關），因為他使我們想起對象的規定和應用，由此必然破壞了現象中的自律。⑤畢達哥拉斯學派早在公元前585—400 年，就已經提出了“萬物皆數”這一信條。在他們看來，自然界下隱藏的且不斷變化著的世間萬象，其真實性都可以借用數學來予以說明，并且還把“數”視作他們解釋自然的第一位原則。音樂屬于世間萬物的一類，也就必定與萬物具備一定的同一性，也可以借數與數之間的關系來解釋音樂現象?！?/p>

注釋：

① 大三度和小三度分別對應4：5 和5：6 的比例，這樣的音程比例關系在復調音樂中極其重要。

② 作為中世紀音高系統規范化形式之一的六聲音階，將古希臘人確立的四聲音階大范圍地取代了，還在當時及之后的音樂理論和創作實踐中，都占據著極其重要的地位，廣泛地運用在作曲創作和理論研究中。例如，對音樂的音域采用六聲音階為單位來進行分組，還有作為當時主要寫作模式的定旋律，也通常采用的是六個音符并進行六次的結構構成等的應用現象。

③ 彭志敏.音樂有限運動過程矢量在無限數集系統中的閉合區間——《音樂數控理論》導言[J].中國音樂學,1986,(04):22.

④ A.伯格、W.威利斯及小提琴協奏曲的秘密題性內容[J].世界音樂,1985,(03).

⑤ [徳]席勒.美育書簡[M].徐恒醇譯,北京:中國文聯出版社,1984:154.