范希爾理論指導下的“圖形的認識”教學

尹力 郭修瑾

摘要：根據范希爾理論，小學生的幾何思維主要處于水平1—水平3階段。由此，可結合教材的分段螺旋上升式安排，做細、做實“圖形的認識”教學。水平1階段的教學可分為三個步驟：觀察物體，聚焦圖形;比較圖形，提煉共性;符號表征，建立表象。水平2階段的教學可分為三個步驟：分離特征;提純本質;簡略表征。水平3階段的教學可分為兩個步驟：建立圖形關系;開展圖形推理。

關鍵詞：范希爾;幾何思維;發展水平;圖形的認識

教學，既應充分適應學生的實際發展水平，又應積極促進學生可能的發展。荷蘭著名數學教育家范希爾夫婦將學生幾何思維的發展劃分為5個水平階段（小學生主要處在水平1—水平3階段），對幾何教學有重要的指導價值。小學數學教師可以在這一理論的指導下，結合教材的分段螺旋上升式安排，做細、做實“圖形的認識”教學，讓學生感受到3個水平階段學習之間的聯系與區別，從而更好地促進學生幾何思維的發展。下面，對此談談筆者的認識和做法。

一、水平1階段的教學：基于直觀，建立圖形表象

水平1階段是指直觀（也被翻譯為“視覺”）階段。小學低年段的學生通常處于這一階段，他們能依賴具體實物、憑借感知從整體上識別圖形、仿畫圖形，能使用標準或不標準的名稱命名圖形，但不能清楚地認識圖形的特征和性質，無法使用特征或性質分析圖形，也無法對圖形做概括性論述。正如范希爾所說，學生“能識別圖形看起來像什么物體”，“知道它是什么圖形，但無法解釋為什么”。

因此，直觀階段的教學目標是建立圖形表象，形成圖形名稱。教學過程通常是觀察熟悉物體，感知到物體上的圖形相像，將相像的圖形畫出來歸為一類，用一個標準圖形概括，形成表象并命名。學生將形成的表象以及相應的名稱儲存在頭腦中，作為識別圖形的主要依據。此后，學生經相關情境的刺激能靈活地調取與運用，為進一步學習圖形的特征等打下基礎。不難發現，在直觀階段，學生雖然主要通過觀察獲得的視覺信息認識圖形，但是也要經過內部思維的加工，將多種圖形抽象為一種標準圖形，經歷從特殊到一般的數學抽象過程。具體的教學可以分為如下三個步驟：

（一）觀察物體，聚焦圖形

實際物體是符合直觀階段學生認知水平的基礎學習素材。教學時，要注意從學生常見的物體開始，引導學生觀察物體，根據物體仿畫圖形，去除無關的屬性，只保留形的特點，完成感性抽象。例如“認識平行四邊形”的教學，生活中有很多包含平行四邊形的物體，如掛衣架、竹籬笆、樓梯扶手等，兩把相同的三角尺也可以拼成平行四邊形，觀察這些物體能幫助學生積累豐富的感性經驗。感性經驗需要上升為理性認識，所以，接著要安排學生仿畫或描摹圖形。畫的過程就是學生在內部思維中舍棄其他屬性，聚焦圖形特征的過程。

（二）比較圖形，提煉共性

圖形表象是許多同類圖形形狀的概括，需要在豐富的感性認識基礎上形成。這一環節，教師要引入大量同類與不同類的圖形供學生比較與提煉，上一環節畫出的圖形可以用作學生繼續學習的素材。仍以“認識平行四邊形”的教學為例，可以引入學生已經認識的圖形，如長方形、正方形、三角形、圓等，與平行四邊形一起呈現，從而彼此加強對比，突出平行四邊形的形狀特征。在此基礎上，可以組織分一分的活動，驅動學生發現具有相同特征的圖形，將這些圖形歸類整理，再從中突出平行四邊形一類。當然，在分一分的活動中，學生提煉的共性特征只是觀察獲得的視覺形象，學生不必準確概括圖形特征，教學時需要注意點到為止。

（三）符號表征，建立表象

數學抽象的主要過程包括一般化與符號化。一般化是從大量圖形中提煉共性，概括成一類;符號化是將概括成的一類圖形用簡潔的語言或符號表示。還以“認識平行四邊形”的教學為例，將多個平行四邊形分為一類后，教師可以順勢呈現一個標準的平行四邊形，指出這個圖形能表示這些圖形，并命名為平行四邊形。這樣，學生就完成了直觀階段平行四邊形一般化與符號化的過程，建立了圖形表象。利用標準的平行四邊形概括形態各異的平行四邊形，可以幫助學生建立典型的圖形表象。建立表象后，教師需要安排學生在常見的物品上找到平行四邊形，這是頭腦里的圖形表象的具體化。這樣的安排一方面能夠評價學生初步形成的平行四邊形表象是否正確，另一方面能讓學生繼續感知圖形，進一步加強表象。

二、水平2階段的教學：通過分析，認識圖形特征

水平2階段是指描述與分析（也被翻譯為“分析”）階段。小學中年段的學生通常處于這一階段，他們能確定圖形的特征，依據圖形的特征識別圖形，或利用這些特征解決簡單的問題。也就是說，能通過看、量、折、比等實踐活動經驗地建立圖形的特征，同時利用自然語言將這些特征描述出來。但是，他們無法建立這些特征之間的聯系，不能清楚地指明兩類圖形之間的關系。

因此，描述與分析階段的教學目標是理解“特征”的含義，從邊和角的視角建構圖形特征，學會利用圖形特征辨認圖形。教學過程通常是提供多個圖形例證，開展操作活動，將圖形分解成多個特征（分離特征），然后發現多個圖形都具備某些特征，意識到要將這些特征提煉出來（提純本質），作為這類圖形的特征固定下來，并根據特征給出這類圖形的定義（簡略表征）。

（一）分離特征

一種圖形往往是多個特征（屬性）的復合體。認識圖形時，學生需要將圖形的多個特征分解，意識到各種特征的存在。在教學中，教師可以設計看、量、折等操作活動，引導學生探索圖形的特征，但是，分類活動更有利于學生主動分離圖形特征。因為各種圖形羅列在一起時，不同學生基于個體經驗，會關注圖形的不同特征，從而根據特征作出分類，產生多種分類方法。而且分類過程是學生主動進行的，關注特征成為學生的內在需求。例如“認識平行四邊形”的教學，可以呈現三角形、四邊形、平行四邊形、梯形讓學生分一分，學生可能根據邊數、角的個數、有幾組平行線等特征分。交流時，可以在肯定學生想法的基礎上，聚焦根據有幾組平行線分的情況，引導學生體會這種分法的合理性。如果沒有學生想到這一分法，教師則可以自行呈現，讓學生理解道理，這也能激起學生的思考。

（二）提純本質

分離的多個特征中只有個別是學生需要關注的。提純階段就是從多種特征中聚焦需要關注的特征，舍棄其他特征，從而獲得圖形的本質特征。仍以“認識平行四邊形”的教學為例，在分離特征階段，學生已經知道根據有幾組平行線的情況，可以將上述圖形分為三類：沒有平行線、只有一組平行線和有兩組平行線。接著，可以引導學生觀察有兩組平行線的一類圖形，發現它們都是平行四邊形。然后，可以提問：其他平行四邊形也有兩組平行線嗎？自己畫幾個不同的平行四邊形，看一看、找一找，利用直尺、三角尺等工具，驗證每組對邊是否互相平行。學生需要基于大量的直觀圖形，積累充足的感性經驗，才能抽象概括出圖形的特征。上述活動便是基于這樣一種認識。當學生確認畫出的平行四邊形都有兩組平行線后，教師可以揭示結論：平行四邊形的特征是對邊平行。

（三）簡略表征

抽象出圖形的特征后，便可以進一步概括圖形的定義。還以“認識平行四邊形”的教學為例，可以讓學生試著用一句話說一說什么是平行四邊形，學生勢必根據得到的特征介紹平行四邊形，這樣的表達是一種描述性定義。當學生在交流中達成共識后，教師可以呈現教材中的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形。

學生形成圖形的定義后，水平2基本達成。但是，有效的教學還需引導學生“回頭看”，在新舊知識的比較中深化認識，聚焦圖形特征，體會圖形特征的價值。例如“認識平行四邊形”的教學，可以提問：二年級學過了平行四邊形，這節課為什么還要學？學完這節課，你有什么新的收獲？平行四邊形有什么特征呢？學習平行四邊形的特征有什么用？……讓學生在反思中發現：二年級只是從外觀上認識平行四邊形，本節課則深入地認識平行四邊形的特征;根據特征，我們可以辨認其他的平行四邊形……

三、水平3階段的教學：抓住關聯，展開圖形推理

水平3階段是指抽象與關聯（也被翻譯為“非形式化演繹”）階段。小學高年段的學生通常處于這一階段，他們能建立圖形內部或圖形與圖形的特征或性質之間的聯系，能使用定義、定理等進行自然語言上的演繹推理，通過非形式化推理將圖形分類，如認識到長方形可以被看成“具有某些附加性質的平行四邊形”;但是，還沒有形成條理清晰的概念系統，尚不能理解邏輯推理是建立幾何真理的方法，也不能組織起一系列命題來證明觀察到的命題。

因此，抽象與關聯階段的主要教學目標是根據頭腦中建構的圖形特征或性質建立已學圖形之間的聯系，以及進行邏輯推理來解決問題。教學中，要注意“淡化形式”，允許學生使用自然語言甚至趣味化的兒童語言幫助自己理解關系與進行推理。具體的教學可以分為如下兩個步驟：

（一）建立圖形關系

小學階段，學生會學習各種三角形與四邊形，圖形之間在特征與性質上，既有相似，也有不同，學生容易混淆。所以，學習多種圖形后，教師應該重視圖形之間的比較，從特征入手挖掘各個圖形的聯系與區別，借助韋恩圖生動形象地展示圖形關系，促進學生在認知結構中將學過的圖形連線、結網、組塊。建立聯系的最佳時機是圖形單元的復習課，因為經過一個單元的學習，學生已經非常熟悉圖形的特征與性質，便于在內部思維中靈活調用與分析，教學效率更高。

以《三角形、平行四邊形和梯形》單元復習課為例。學生學過了長方形、正方形、平行四邊形、梯形4種四邊形，為了幫助學生建構圖形聯系，同時考慮到推理過程的復雜性與枯燥性，筆者設計了小跨度的、有趣味的兩個活動，驅動學生主動關聯圖形。第一個活動（內容如下頁圖1所示），學生需要理解大圈中“裝”的都是平行四邊形，長方形具有平行四邊形的特點，是一種特殊的平行四邊形，所以也能進去，里面小圈中“住”的都是長方形。有了這個活動的示范，學生就能自主進行第二個活動（內容如圖2所示）。實踐發現，學生不難利用內外圈圖整理圖形的兩兩關系。但是，學生也會出現錯誤，而多數錯誤是因為圖形特征或性質認識不完善或遺忘所致。比如，學生較少關注長方形（正方形）對邊平行的特點，從而難以建立其與平行四邊形之間的關系。這類問題反映出完善學生對圖形特征與性質的認識的重要性。完成上述活動后，便可以引導學生建立多個圖形之間的關聯（如圖3）。

（二）開展圖形推理

學生的推理能力是逐步發展的。抽象與分析階段是圖形教學中培養學生推理能力的起點，教師要著重引導學生根據圖形的特征與性質解決問題，用說理的方式驅動學生明晰推理過程，熟悉數學思考的方式，形成推理意識。

例如，教師可以出示問題：三角形中最小的角是50°，按角分這是一個（）三角形。這個問題涉及的圖形知識是三角形內角和為180°，三角形按角分可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。在此基礎上引導學生推理：如果是直角三角形，則第三個角為180°-90°-50°=40°，40°<50°，50°不是最小的角，與題意不符;如果是鈍角三角形，則鈍角最小為91°（學生更理解用整數舉例），此時第三個角是180°-91°-50°=39°，39°<50°，50°也不是最小的角，與題意不符;最后符合要求的只能是銳角三角形。當然，學生的表達可能缺乏條理性，甚至具有跳躍性，會省略關鍵條件。對此，教師應該適時追問，幫助學生厘清“因為”與“所以”。數學學習中廣泛存在類似的問題，教師要捕捉契機，開展圖形推理，有意識地培養學生的說理能力。這樣，學生的幾何思維才能穩固地發展到水平3。

總之，學生的幾何思維并非自然發展的，需要教學活動的有效推進。對此，教師需要理解范希爾理論的含義與特點，準確分析學生的思維起點，判斷教學的目標水平，設計針對性教學，引領學生幾何思維水平的進階。

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*本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃課題“小學數學高段教學實施數學抽象研究”（編號：Cb/2020/02/63）的階段性研究成果。