高等數學教學中悖論教學法的實踐應用

茍敏磷

（貴州師范大學數學科學學院，貴州 貴陽 550001）

悖論具有一定邏輯學研究性質。如若對某理論進行正向推理、公理解說，具有研究的正向性。然而，在理論研究期間，對研究觀點的反向思想，進行準確命題，能夠驗證正反命題的理論矛盾性，在矛盾式命題等價關系中，反向命題作為悖論表現。二元論思路，證實了生活中悖論思想的存在。悖論理論中，含有較為豐富的數學思想，應廣泛應用在數學教學體系中，提升高等數學教學有效性。

一、悖論教學法內涵

（一）悖論理論

悖論一詞來自古希臘，作為邏輯學理論的關鍵名稱，或者稱之為反論。悖論一詞具有較為豐富的詞義，包括外界物質與人認知存在的矛盾表現，泛指表面無爭議的命題、實際上在邏輯驗證時存在矛盾表現的結論。在高等數學教學體系中，悖論含有三種表現形式：其一為佯謬，表示此論點看似表述不嚴謹，實際論證時并未表現出問題；其二為反論，表示此論點看似較為嚴謹，但論證結果為錯誤；其三為邏輯矛盾，表現在論點較為完整的情況下，論證發展邏輯中存在矛盾表現。悖論思想，在一定程度上為數學發展帶來了多重可能性。在悖論學術研究發展進程中，相應變革數學教學體系，提升了數學教學發展的綜合實力[1]。

（二）悖論教學法

在原有教學體系中，以知識為教學核心，悖論教學法并未獲得較高重視。因此，在傳統教學體系中，教學關注高等教學內容的講解，尚未開展悖論矛盾驗證的教學工作，以期保障課堂講解方向的明確性，減少悖論引起的學術干擾問題。然而，悖論教學法，能夠為學生帶來反向思考模式，以此提升學生高等數學邏輯辯證能力，同時高效完成數學論證情境的創設，極大程度地調動了學生對數學科目學習的主動性，具有實施的必要性。

（三）悖論教學法的理論依據

1．悖論問題設計，能夠讓學生在習慣性錯誤解題思路中有所警覺，減少高等數學思維固定的現象發生。

2．在教學活動中，有序完成悖論引入，加以論證后，形成正反觀點對比，能夠加深對觀點學習印象，提升學生對正向觀點的傾向性，為后續高等數學教學工作有序發展奠定基石。

3．有助于開展學生知識探究教學引導工作，便于學生自主建設高等數學知識架構，以學生實際知識收獲為核心，保障學生高等數學學習有效性。

二、悖論教學法在高等數學教學體系中的實踐功效

（一）最大化挖掘學生對數學科目的學習主動性

在原有高數實踐教學活動中，學生并未自主探索數學理論驗證過程，學習過程較為枯燥，不利于高數教學工作有序發展。悖論教學法的實施核心，是以學生心理認知為出發點，以期挖掘學生對高數學習的探究性思維，以此建設學生的高數學習內驅力。在悖論教學法實施期間，最大程度地為學生創設了探究性學習環境，讓學生對已學知識形成矛盾辯證思維，以此促使學生自主開展高數學習，激發學生對高數科目的學習主動性。

（二）便于學生深層次掌握高等數學的各項理論內涵

高數知識含有多元化學習要素，學生在進行高數學習時，應完成對非本質內容的排除，以期從干擾條件中獲取本質內容的驗證結果。高等數學教學體系中，含有一定數量的數學概念，以無限結構為核心，具有較高的理論性、理解的抽象性、知識結構的繁瑣性等特點。在悖論教學實踐中，能夠有效提升學生對無限結構各項數學知識的理解能力，便于學生深層次挖掘高等數學的研學方式，增強學生高數綜合學習能力。

（三）切實增強學生數學思維養成效果

高數學習科目，含有理性思考過程。在高數課改教學體系中，高效優質的教學活動，應在簡單式教學記憶的基礎上，配合教學實踐活動，讓學生在自主探究、合作交流教學互動中，形成相對完整的高數知識框架。在悖論教學法實踐中，對于理解與認知數學概念，具有深層本質挖掘、全面解析、正確認知等特點，有助于增強學生數學思維養成效果，提升學生數學問題的解決能力。

（四）使學生具備較為優異的數學審美思想

高等數學學習的本質內涵，具有一定藝術性。數學的審美藝術，源自數學科目各項理論內容的理性美感，換言之數學思維體系中，能夠呈現人類社會發展的形態美。悖論思維，以理論本質矛盾視角，開展問題解析活動，探究悖論問題內涵，以此真實反映審美主體的數學藝術，便于塑造學生數學審美思維，感受數學美感精髓。

三、在高校高等數學教學體系中融合悖論教學法的實踐策略

（一）以悖論為問題設計方向，完成新課導入設計

在新課程導入設計期間，教師應以明確教學方向，結合章節教學工作的實際特點，完成導課方案設計，提升學生高數科目的學習能力。悖論教學法的實施，旨在綜合增強學生的科目探究能力，明晰高數教學的重要內容，為有序開展教學工作奠定基礎。在導課方案設計期間，應加強悖論問題設計，以此提升導課設計效果，便于有序開展新課程講解。

大學生正位于價值觀形成和發展的關鍵時刻，對自我價值與社會價值的判斷相對片面，極容易受到外界環境的沖擊與干擾，陷入政治信仰缺失、理想信念迷茫、價值判斷模糊、功利思想嚴重等思想困境。因此，高校應從大學生的全面發展以及“中國夢”的實現兩方面出發，對社會主義核心價值觀培養策略進行探究。

比如，在教學期間，教師可以從教學核心內容的反向視角，向學生提出悖論，讓學生分析悖論的準確性，由此完成悖論教學法的導課設計。

（二）充分利用悖論元素，強化知識掌握鞏固性

1．悖論元素使用的教學理念

在高數實踐教學活動中，學生存在多重學習問題，比如認知事物的局限性、所學內容反向遷移等，造成學生對高數概念理解不透徹問題，降低了高數教學有效性。因此，高數教學人員，應加強數學知識教學鞏固效果，在教學全程序中完成知識深化教學工作，便于學生深入感知所學內容，加強高數知識理解應用。在高數教學期間，有序完成悖論元素應用，提升學生知識理解引導有效性，便于學生深入理解所學高數知識，切實把握知識精髓，形成牢固的知識掌握體系。

2．悖論觀念教學實踐方法

教師在開展高數教學工作時，應加強悖論元素應用。悖論元素的教學實踐方法為：

（1）教師在課堂中，為學生設定一個悖論e。

（2）讓學生以小組合作形式，討論悖論e的準確性，由此引導學生對悖論e產生質疑。

（3）借助學生已學知識f，完成悖論e的推翻，讓學生對所學知識f形成全新的理解與認知。

（4）在悖論e獲得推翻后，引出全新的觀點g。觀點g為課程核心的講解內容。

借助悖論教學法，加強學生對悖論觀點質疑，提升學生探究學習能力。

（三）發揮悖論懸疑功能，提升高等數學體系邏輯性

1．悖論懸疑功能教學實踐方法

在原有高等數學教學期間，教師較為注重課堂教學效率。在新時代教學改革工作中，教學人員應關注學生實際情況，包括培養學生知識探索能力、塑造學生辯證思維等，以此增強學生自身知識吸收效果，讓學生具備各類高數問題的解決能力，提升高數教學有效性。在實踐中開展悖論教學法，教學人員可為學生引入學術研究案例，借助悖論懸疑功能，讓學生對高數理論研究過程進行探究思考，提升課程教學的延伸效果。

2．悖論教學懸疑功能實踐案例

在曲線積分高數教學課程中，學生存在對曲線積分相關概念理解不準確的情況，由此增加了高數解題的錯誤可能性。教師為學生開展悖論教學，讓學生自主查詢黎曼積分相關研究內容，獲取曲線、二重等積分的差異性，加強學生邏輯推導能力。在學生獲得知識內容的同時，教師融合悖論問題，比如第一類曲線積分對dx有正負要求，讓學生對此悖論進行推翻與驗證，以此加強學生高數學習的思考能力，使其能夠準確辨別各類積分的數學概念，切實提升高數教學品質。

四、高數教學融合悖論教學法的教學實例

（一）教學實踐的課程與規劃

1．教學課程為級數求和。

2．確定教學關鍵內容：掌握課程中的高等數學概念，具體包括極限、有限等，此類數學知識在學生常見事物中具有陌生性，教學難度較大。

3．學情分析：學生對各類高等數學概念具有基礎認知，在級數概念理解時存在誤區；情景與悖論教學方法相融合時，能夠有效激發學生對高數知識的探究能力。

4．悖論情景教學法：以“阿基里斯追龜”的悖論內容為出發點，開展課程情景創設[2]。

（二）教學實施

融合悖論情景教學法，能夠為學生創設高數思考空間，緩解學生理解高數概念的壓力，增強高數情景創設表現力，發揮悖論教學法的積極作用。悖論教學法過程為：以原有認知觀念為導課視角、提出悖論觀點、驗證悖論觀點的錯誤性、設定探究悖論問題根源、驗證高數知識理論正確性、消除悖論、掌握高數新課程知識。具體教學實踐過程如下：

1．教學導課方案設計。導課方案設計，融合悖論情景教學法，引入古希臘傳說，為學生創設跑步情景，引出阿基里斯人物a跑速第一的情節，悖論問題設計為：假設a在跑步期間，前方跑道出現一只烏龜，烏龜的出發點為A，認為a不可能追趕上烏龜。由于a與烏龜的出發點存在一定差距，在無限跑步情況下，烏龜始終在a前方，因此類推結果為人物a無法追趕上烏龜。以悖論思想融合導課問題中，讓學生開展思考。學生針對人物a追趕烏龜的問題，開展討論與研究。

2．邏輯思維引入。在學生給出否定答案時，教師讓學生表達人物a追趕烏龜的理論依據，繼而引入無限極數求和的教學內容，同時為學生講解導課情景中悖論觀點存在的邏輯錯誤。

3．數學教學指導。在課程講解完成時，教師帶領學生開展知識驗證，獲取無限項求和的學習方法。

綜上所述，現階段的高等數學教學工作，具有教學內容的界限性、教學空間的開放性等特點，教學人員能夠為學生創設數學情境，切實調動學生高等數學的學習主動性。在高等數學教學發展期間，教師應尊重每個學習個體的思考想法，加強整體數學思維引導，以此促進課堂開展數學辯論，升華高等數學教學效果。同時融合悖論教學法，有效建設學生數學探究內驅力。