信號與系統(tǒng)實驗中傅里葉變換的研究與實踐

李苑青　蔣宇飛　肖涵　楊軼

摘要：信號與系統(tǒng)中傅里葉變換為關(guān)鍵內(nèi)容，但由于其抽象性，該部分的課程實驗往往利用仿真來進(jìn)行。本文研究并實踐了一種利用硬件搭建實測信號的方式，測量驗證傅里葉級數(shù)開展式中的各諧波系數(shù)，同時結(jié)合Matlab仿真求解，虛實結(jié)合對傅里葉變換進(jìn)行研究和分析。旨在強化學(xué)生對于傅里葉級數(shù)的理解，通過實踐多角度理解信號計算和信號分析的概念及計算方式，從淺至深梳理了傅里葉級數(shù)中各項抽象概念的測量和計算。從概括到具體，從模擬到實踐，從系統(tǒng)設(shè)計到應(yīng)用，充分發(fā)揮了學(xué)生的自主性和創(chuàng)造性，實踐中取得了非常好的效果。

關(guān)鍵詞：信號與系統(tǒng)實驗;傅里葉變換;傅里葉級數(shù);信號類實驗課程研究

中圖分類號：TN911.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

信號與系統(tǒng)課程中的重點闡述了信號的三大經(jīng)典變換：傅里葉變換、拉普拉斯變換和z變換，其中傅里葉變換的應(yīng)用最為廣泛，其揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系。在課程實踐時，很多高校教師將實際案例分析和Matlab仿真引入課堂教學(xué)，對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高教學(xué)質(zhì)量都取得了一定的效果。軟件仿真常以周期信號分解和合成的角度，使學(xué)生建立起信號頻譜的概念，同時為進(jìn)一步學(xué)習(xí)傅里葉變換和線性時不變系統(tǒng)的頻域分析等內(nèi)容打下基礎(chǔ)。本文介紹一種硬軟件相結(jié)合的方式，既基于硬件和實測信號的測量周期信號的傅里葉級數(shù)系數(shù)，又通過Matlab求解信號傅里葉變換，以此綜合探索和驗證周期信號的傅里葉變換。

一、周期信號的傅里葉級數(shù)

（一）拍頻

本文的硬件實現(xiàn)部分將通過一個非常古老的方法探索傅里葉級數(shù)的思想，即生成拍頻。這有點像音樂家使用的音叉，通過將許許多多的拍頻加到一起，就能觀察到總的波形。用這種思想，本文觀察各次諧波的幅值，并利用所熟知的三角公式來分解波形，就能觀察不同諧波次數(shù)下周期信號分解、合成過程。

（二）三角形式的傅里葉級數(shù)

二、基礎(chǔ)硬件模塊功能設(shè)計

實驗需通過簡易電路構(gòu)造基礎(chǔ)的硬件功能模塊，再通過這些模塊的搭配測試對應(yīng)參數(shù)。

（一）雙路輸出信號源

傅里葉級數(shù)展開式中包含余弦分量和正弦分量，因此，需要一個相位可調(diào)信號源發(fā)生裝置，可滿足能同時生成兩個信號，這兩個信號滿足頻率和幅值相等且可調(diào)，頻率f、幅值A(chǔ)可以調(diào)整，相位差可在0或90度兩檔切換。

（二）任意波形發(fā)生器

利用多個加法器電路，結(jié)合信號源，可以構(gòu)建一個建議的任意波形發(fā)生器，任意波形滿足式（7）。

（三）乘法器系統(tǒng)

構(gòu)造一個簡易乘法器系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入是X、Y兩路信號，輸出為X·Y，系統(tǒng)由乘法器模塊和可調(diào)諧濾波器模塊兩部分組成，如圖1。

在實驗時，須保證系統(tǒng)增益為1，即信號經(jīng)過乘法器系統(tǒng)后幅值不發(fā)生變化，使系統(tǒng)輸出幅值等于系統(tǒng)輸入幅值。利用這個乘法器系統(tǒng)，在實驗時既可以保證數(shù)學(xué)上可以驗證信號相乘，又可以利用可調(diào)諧低通濾波器濾除高頻分量，保證測試數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。

三、傅里葉級數(shù)測量

（一）用正弦波和余弦波構(gòu)造波形

一個簡單的相位為零的余弦波形可以表示為f（t）=OOS（nωt），頻率為n倍的余弦波形可以簡單地表示為f（t）=COS（nωt），周期信號可以進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開，具有諧波性。假設(shè)公式7中A₀=0.5V，A_n=（1，0，0.5，0，0，1，0，0，0，0）單位V，B_n=（0，0.3，1，0，0，0，2，0，0，0）單位V，即利用任意波形發(fā)生器構(gòu)造了一個基波加5次諧波的合成波形，該波形的直流偏置、余弦分量和正弦分量是已知的。

（二）驗證傅里葉級數(shù)展開式

首先，利用同步模擬信號測試并驗證合成波形的傅里葉級數(shù)展開，系統(tǒng)連線如圖2，實驗過程中可根據(jù)需要切換調(diào)整雙路輸出信號源的輸出，即更換乘法器系統(tǒng)Y的輸入信號。

具體測量方式是，將可調(diào)諧低通濾波器的截止頻率f_c調(diào)整至最大，即盡可能保留完整的高頻分量。首先，設(shè)置雙路輸出信號源的參數(shù)使DAC-0與DAC-1同為余弦信號，逐步改變雙路輸出信號源的頻率，從1～7kHz，步進(jìn)為1kHz，用示波器測量乘法器系統(tǒng)的輸出端，可得到直流幅值。然后，調(diào)整雙路輸出信號源的參數(shù)使DAC-0與DAC-1一路為正弦信號另一路為余弦信號，用同樣的方法測試乘法器系統(tǒng)的輸出端。測量結(jié)果見表1。

（三）構(gòu)建手動掃頻信號分析儀

在保證乘法器系統(tǒng)和任意波形發(fā)生器可靠的前提下，可增加一臺通用函數(shù)發(fā)生器，來構(gòu)建一個手動掃頻信號分析儀，手動調(diào)節(jié)函數(shù)發(fā)生器的頻率，以此來測試任意波形的傅里葉級數(shù)展開式對應(yīng)頻率的系數(shù)，如圖3。

由于乘法器系統(tǒng)兩個輸入信號本身就是相對漂移的，那么其乘積也會緩慢地變化。由于乘積曲線在不斷變化，那么它總會穿過我們感興趣的測量點。這些點是乘積曲線上持續(xù)出現(xiàn)的極大值點和極小值點，每個周期出現(xiàn)兩次。將這些極值取平均，就能得到輸出信號的直流分量。測量結(jié)果見表2。

根據(jù)系統(tǒng)構(gòu)成，可推導(dǎo)出表2中最后一列的計算公式為：其中，a、b分別為任意波形發(fā)生器中合成波形的余弦分量和正弦分量的幅值，n為頻率系數(shù)，φ=arctan a/b

（四）分析方波

上述實踐中構(gòu)建了一個手動掃頻分析儀，通過實驗證明能用其分析合成波形的各個諧波的大小，在此基礎(chǔ)上擴(kuò)展其利用，可研究一個方波的傅里葉級數(shù)展開。

具體測量方式與本文3.3節(jié)類似，可以選擇一個頻率為1kHz，幅值為V_pp=5V，直流偏置為2.5V的方波進(jìn)行測試，測量結(jié)果見表3。

其中，歸一化值的計算方法是v/V_max。根據(jù)實測數(shù)據(jù)可知，V_max=1.56V，由此可計算得到表3中的歸一化值。結(jié)合傅里葉級數(shù)的展開公式，理論計算時偶數(shù)次諧波的分量為0，奇數(shù)次諧波的分量為2E/nπ，利用歸一化的方法，將式中E、π約去，此時奇數(shù)次諧波的分量則為1，1/3，1/5，1/7。

四、傅里葉變換的MATLAB求解

連續(xù)時間信號經(jīng)過抽樣作用后變成抽樣信號，即令連續(xù)信號f（t）、抽樣脈沖p（t）、抽樣信號f_s（t）的傅里葉變換分別為F（jω）、P（jω）、F_s（jω），則它們之間有如下關(guān)系：

利用Matlab仿真軟件，對時間范圍0≤t≤40內(nèi)的正弦信號f₃（t）=sin（0.8πt）進(jìn)行抽樣得到抽樣信號，抽樣頻率分別取為2Hz、0.8Hz、0.4Hz，畫出信號f₃（t）及不同抽樣頻率下的時域波形，并對信號f₃（t）及抽樣信號進(jìn)行傅里葉變換，繪制幅度—頻率特性曲線，結(jié)果如圖4。

五、結(jié)語

根據(jù)硬件電路實測數(shù)據(jù)和MATLAB求解的結(jié)果，可以看出，硬件測試系統(tǒng)能很好滿足設(shè)計需要，實測數(shù)據(jù)、理論數(shù)據(jù)以及仿真數(shù)據(jù)，基本一致。本文設(shè)計一種通過構(gòu)造基本測試模塊，逐步搭建測試系統(tǒng)，利用同步信號、異步信號測試驗證合成正弦波和方波的傅里葉級數(shù)的硬件測試方法，并通過理論計算和軟件仿真進(jìn)一步驗證分析了數(shù)據(jù)。實驗證明，硬件設(shè)計是簡易有效的，仿真設(shè)計合理，實測數(shù)據(jù)及仿真方法滿足理論計算值。實際教學(xué)中，硬件電路測試和仿真求解一共8學(xué)時實驗，實驗內(nèi)容充實，課后學(xué)生討論積極、活躍，這一教學(xué)設(shè)計得到了學(xué)生非常好的評價，實踐取得很好的效果。通過不斷的教學(xué)研究與探索，結(jié)合教學(xué)實踐中遇到的問題，構(gòu)建符合學(xué)生認(rèn)識能力的培養(yǎng)、強化學(xué)生工程實踐能力的教學(xué)模式，為培養(yǎng)新型通信人才起到了積極的作用。

作者簡介：李苑青（1989— ），女，漢族，湖南長沙人，碩士，實驗師，研究方向：電信類實驗教學(xué)。