初中數學“將軍飲馬”問題學習障礙分析及策略

楊魁平

(貴州省遵義市第五十五中學 貴州 遵義 563000)

引言

相傳古羅馬的亞歷山大城當中有擅長物理、數學的學者，有一天，羅馬將軍要拜訪他，于是將軍向學者請教一個問題“將軍從A軍營出發，到河邊先飲馬，之后去河岸的同側B處宿營，如何行走路程才會最短”。飲水點屬于重點，解決問題過程當中需要構造出對稱點，尋找飲馬的最短距離。部分中學生在求解此類問題時不知如何入手，因此需要教師加以指導，幫助其找到解題思路。

1.初中數學“將軍飲馬”問題學習障礙分析

初中生要解決“將軍飲馬”這類動點問題，需要明確相關概念，包括動點、定點與對稱點，其中，動點就是“飲馬點”，定點就是題干當中給定的固定點，而對稱點就是通過作圖而得到的點，也就是解題過程需要連接的點。部分學生在求解此類問題時，可能存在如下困惑：

第一，怎么尋找對稱點，做哪個點的對稱點？簡單而言，就是題目當中所需要找出的對稱點，因為問題當中給出的都是定點，因此，需要利用定點才能尋找對稱點。部分中學生由于不了解作對稱含義，所以，對稱點的尋找可能存在困難。對此，需要明確對稱對象為一條直線，并非一個點，只有找到具體直線，才能順利找出動點所在的直線[1]。

第二，做對稱之后應該和誰連接？做完對稱以后應該與另外定點相連接，不可以將其和動點相連，需要學生明確定點對稱點仍然為定點這一概念，才能找到連接點。

第三，所求動點如何確認？中學生在求解“將軍飲馬”這類問題的時候，應該明確所求之點應該為圖上交點，具體而言就是已知直線、所做直線二者之間交點。

2.初中數學“將軍飲馬”問題的學習方法指導

2.1 “一線兩點”同側類型。已知，如圖1所示，BN垂直EF，AM垂直EF，M、N分別為垂足，且MN等于12m，BN等于4m，AM等于5m，P點在EF上為動點，那么PA和PB之和的最小值是多少？

此問題屬于“將軍飲馬”模型的應用，在題干當中，A和B兩點屬于定點，P為動點，解決問題時，需要利用“定點定線”來“作對稱”，解決問題時，可以先找出A點關于直線EF對稱點，即A＇，然后根據兩點間線段最短作輔助線，將點A＇和點B相連，這時即可推導出“A＇P和PB的和就是A＇B，也就是最短距離”。解決問題的時候，需要先構造出直角三角形，之后利用勾股定理求解具體問題。

“一線兩點”類型的將軍飲馬問題可能還會以變式的形式出現，如圖2所示，三角形ABC為正三角形，邊長是4，AB、AC、BC邊上分別有三點E、F、G，且均為中點，EF邊上有一動點P，求三角形BPG周長最小值？

針對此問題深度分析，可以根據三角形的邊長和中點性質，判斷出BG的長度是2，利用轉化思想得出求三角形BPG周長最小值就是求BP和PG和最小值，因此，能夠判斷出該問題也是“將軍飲馬”的“一線兩點”類型，因此，解題過程可以尋找G點關于直線EF對稱點，部分學生可能難以直觀看出對稱點，對此，可以將AG相連接，根據“三線合一”，可知AG和BC垂直，之后將EG相連，據“直角三角形的斜邊中線為其一半”能夠得出，AE和EG相等，就可順利知道G點關于直線EF的對稱點就是點A，在計算周長問題時，需要將BG的長度考慮其中。連接AG以后，可知PA和PG相等，也就是PB與PG的和、BP與PA的和相等，即A、B、P三個點共線的時候，BP和PG的和最短，等于AB，故三角形BPG最短周長是6。

2.2 “兩線一點”類型。在“將軍飲馬”模型當中，存在“兩線一點”類型的習題，如圖3所示，三角形ABC當中，AB和AC均為10，BC中點是D，AD的長度是6，AD上存在動點P，AC邊上存在動點E，試求PC與PF之和最小值？

對于此類題型進行分析，可知定點為C，動點分別是P和E，所屬“將軍飲馬”類模型，因為三角形ABC是等腰三角形，且AD為BC邊上的中線，AD是BC的垂直平分線，B、C兩點關于AD對稱，可知，PE、PC之和、PE、PB之和相等，因此，很明顯可以看出B、P、E共線的時候，線段BE的距離較短，但是卻不是最短的，此時，按照“垂線段最短”定理，可知，BE垂直AC的時候，BE的長度(也就是PC+PF)最短，因此，可以利用面積法進行求解。解題過程，可以作BE垂直AC，和AD的交點是P，因為AD和BC垂直，由勾股定理知道CD為4,進而BC為8，根據等積法，可求出BE等于9.6[2]。

2.3 “兩線兩點”類型。“兩線兩點”類型，如圖4所示已知A、B為銳角∠MON內兩個定點；要求在OM上找一點P，在ON上找一點Q，使四邊形APQB的周長最小。解答此類問題找到兩線是關鍵，如何找到兩線呢，先明確動點在哪條線上找(如圖4中OM,ON)，哪條線就為對稱線，再找到兩定點如圖4中A,B，作點A關于直線OM的對稱點A′。解答方法：作點B關于直線ON的對稱點B′，連接A′B′交OM于P，交ON于Q，則點P、點Q即為所求，此時四邊形APQB周長的最小值即為線段AB和A′B′的長度之和；理由：AB長為定值，由基本模型將PA轉化為PA′,將QB轉化為QB′，當A′、P、Q、B′四點共線時，PA′+PQ+QB′的值最小，即PA+PQ+QB的值最小。

結束語

總之，針對初中數學“將軍飲馬”這類動點問題的求解，需要明確初中生的學習障礙，使其明確問題本質，針對不同的題型，給出解題指導。只有中學生掌握問題的本質，才能根據不同類型問題，尋找問題的解決方法，高效學習動點問題，靈活運用“將軍飲馬”這類數學模型。