朗伯三錐體的后向LRCS

宮彥軍，譚佳偉

(湖南科技學院 智能制造學院，湖南 永州 425199)

隨著國家對國防科技的發展越來越重視，對國家安全，特別是對國家領空安全的重視，使得目標雷達散射截面(LRCS)測量系統對雷達散射截面的研究有了更加實際的指導意義。Wang等[1]對LRCS模型驗證在基于特征的選擇驗證方法的基礎上進行實驗研究，可以運用在民用方面和在軍事方面上，就導彈方面而言，基于LRCS系統的自動跟蹤技術是很重要的[2]。在遠、小、快等特性的目標上，郝曉慧等[3]分析在最小距離限的LRCS研究。羅龍[4]的外場測量的補償計算，則有著很深的借鑒意義。把目標“點”化，是物理上的常用手段，如果點化就能使得目標的測量其LRCS的計算易于系統研究[5]，非理想條件下的測量對精度有很高的要求[6]。LRCS能夠全面又客觀地體現出各種因素對目標激光散射特性的影響，其中包括激光的波長、目標的材料特性及幾何形狀[7-8]、目標所處大氣環境等[9]。孫繹成等[10]所研究的隱身飛行器LRCS特性對我國國防與民用航空激光雷達等方面也有一定的促進作用。李雙江[11]在散射體遠紅外波段上進行研究。利用激光散射特性來發現、識別目標[12]。經過對LRCS測量的進一步研究分析，包學志等[13]研究精度的影響范圍進一步擴大，其還應包括背景散射。在理想條件下要求獲得散射光的功率，可運用激光測量系統來計算。非理想條件下，包學志等[14]所研究的校正方法使得LRCS測量結果更接近事實，運用更廣。王明軍等[15]在復雜目標的LRCS的數值計算，研究不僅限于可見光。李良超等[16]對在目標實物上覆蓋多種材料，一一控制變量因素，進行LRCS計算，使得飛機的戰略隱形技術得到理論支持。張駿等[17]的彈道導彈彈頭的LRCS相干分量預估也是很關鍵的。開展目標光散射的研究是很有必要的，這些方法將可能會影響到整個系統性能的目標實物的散射特性[18-19]。Cao等[20]給出凸回轉體的LRCS的計算方法，采用的是統一積分法，缺點：一是存在舍掉誤差，二是不適用于非凸的回轉體。本文設計朗伯三椎體的后向LRCS的計算算法，給出統一積分法和差異積分法的兩種計算方法，其中差異積分法能克服統一積分法中存在的舍掉誤差，這個誤差是在計算時分母為0時舍掉的誤差。利用射線跟蹤設計遮擋剔除算法，實現朗伯三椎體后向LRCS的精確計算。

1 三錐體的LRCS算法

1.1 目標面元的LRCS

三錐體目標上每一可照射面元后向LRCS為：

dσ=4πfr(β)cos2βdA,

(1)

其中：fr(β)為三錐體表面材料在后向方向上的雙向反射分布函數，是面元的本地入射角β的函數，當表面材料為朗伯面時，fr(β)是一個常數，fr(β)=ρ/π，ρ是表面材料的半球反射率，對于理想朗伯體fr(β)=1/π；dA為面元面積的微分。對于凸目標上滿足cosβ>0的點就可以被照射到。將fr(β)=1/π代入式，同時考慮到cosβ>0可照射，凸目標上表面面元的后向LRCS為：

dσ=(cosβ+|cosβ|)2dA。

(2)

圖1 三錐體坐標系框架

三錐體表面的所有面元后向LRCS的累加就是三錐體的后向LRCS。cosβ是面元法線與觀測方向的夾角的余弦，可以用法線方向的單位矢量與觀測方向的單位矢量的內積計算。三錐體形狀和坐標系如圖1所示。其中，圓臺高h0，圓臺半錐角α，圓柱高h1，圓柱半徑r，圓錐高h2。令h=h0+h1+h2為三椎體的高。坐標系的原點為底面圓心，三錐體的軸為z軸，選與z軸垂直的一個方向建立右手直角坐標系，圓心為點O，三椎體側面的方程由式給出，底面在xOy平面半徑為r+h0tanα。

x2+y2-f02(z)=0(0≤z≤h0)，x2+y2-r2=0(h0

x2+y2-f12(z)=0(h0+h1

(3)

(4)

觀測方向的天頂角為θ、方位角為φ，觀測方向的單位矢量S為：

S=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)，

(5)

球坐標系的天頂角θ為0°～180°，本文為0°～360°，對給定的φ，當θ大于180°時，這時天頂角為360°-θ，當φ≤180°時，方位角為180°+φ，則此時的方向矢量為：

S′=(sin(360°-θ)cos(180°+φ),sin(360°-θ)sin(180°+φ),cos(360°-θ))，

(6)

S′=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ) 。

(7)

從式(7)可以看出，對于θ>180°，φ≤180°，可以認為此時的天頂角為θ，方位角還是φ，用球坐標計算的方向矢量也是正確的。對于θ>180°，φ>180°，這時天頂角為360°-θ，方位角φ-180°，可以認為是180°+φ，對于θ>180°，φ>180°，把θ、φ作為天頂角、方位角計算出來的方向一致。因此對于給定的方位角φ，θ可以為0°～360°。S的x、y、z分量分別為Sx、Sy、Sz。則Sx=sinθcosφ，Sy= sinθsinφ，Sz=cosθ。

1.2 LRCS公式

根據式(2)得

(8)

三錐體表面任意一點的法線方向單位矢量為n，式(8)中cosβ為：

cosβ=n·S。

(9)

根據式(9)、(5)和(3)得式(10)

(10)

1.3 射線跟蹤剔除遮擋

因為三椎體不是凸體，錐柱和圓臺之間存在遮擋。利用射線跟蹤設計剔除遮擋的原理是，從目標上面元的中心點沿著觀測方向發出一條射線，如果與目標相交，這個面元被遮擋，否則沒有遮擋。

1.3.1 遮擋

從目標表面上的點(x,y,z)沿著觀測方向發出的射線上的點p為：

p=(x,y,z)+lS，

(11)

對于三椎體的錐柱和圓臺之間的遮擋，把式(11)代入式(3)得關于l的一元二次方程：

al2+bl+c=0 。

(12)

圓臺、圓柱、圓錐遮擋的a、b、c分別由式(13)、(14)和(15)給出，

a1=Sx2+Sy2-Sz2tan2α，b1=2[xSx+ySy+(r+h0tanα-ztanα)Sztanα]，c1=x2+y2-(r+h0tanα-ztanα)2，

(13)

a2=Sx2+Sy2，b2=2(xSx+ySy)，c2=x2+y2-r2，

(14)

(15)

根據式(12)，可得：

(16)

根據式(16)，存在下面的結論：

1)如果a≠0

(1)如果b2-4ac<0，l無解，面元沒有被遮擋；

2)如果a=0，根據式(12)得：

bl+c=0 。

(17)

(1)如果b≠0，l=-c/b。如果l>0，并且z1≤z+lSz≤z2，遮擋；否則不遮擋。

(2)如果b=0，不遮擋。

其中，z1、z2分別為目標z值的最小值、最大值。

1.3.2 遮擋函數

根據上面的討論，引入遮擋函數Vis(x,y,z,θ,φ,a,b,c)為：

(18)

1.3.3 統一積分法

根據式(8)朗伯三椎體統一積分法的后向LRCS計算公式為：

(19)

1.3.4 差異積分法

(20)

式(19)和(20)對比，對于側面的計算，式(19)采用dxdz積分，而式(20)用dxdz和dydz兩種積分方式，所以稱為差異積分法。

2 三錐體LRCS計算與討論

2.1 理論值與數值對比

當θ=0°時可以推導出三椎體的后向LRCS的理論值為：

(21)

圖2 不同h0三椎體的統一積分法計算的后向LRCS隨著φ的變化

θ=0°，h0=2.5 m，α=15°，h1=2 m，r=0.5 m，h2=2 m。理論值：4.400 1 m2。本文的計算結果與計算精度有關，Δz=Δx=Δy為2 mm、1 mm、0.5 mm、0.1 mm的計算結果分別為4.393 35 m2、4.396 8 m2、4.398 4 m2、4.399 8 m2。本文的計算精度：Δz=0.5 mm、Δx=0.5 mm、Δy=0.5 mm。

2.2考慮遮擋的統一積分法

θ=120°，α=15°，h1=2 m，r=0.5 m，h2=2 m，h0由2.5 m變化到0 m，變化間隔為0.5 m三錐體的統一積分法計算的激光后向LRCS如圖2所示。

圖3 不同h0三椎體的差異積分法計算的后向LRCS隨著φ的變化

由圖2可知，θ、α、h1、h2、r取固定值時，能夠看出h0越小，三椎體的后向LRCS也隨之變小。不同h0的RLCS計算的結果不同，當h0等于2.5 m時最大，即三錐體的圓臺高越大，計算結果越大。這是因為目標的尺寸變大。三椎體的軸為Z軸，當θ固定時，φ變化，由于軸對稱，后向LRCS應該不變，根據式(19)，計算時分母會出現為0的情況，舍掉，存在舍掉誤差，所以圖2給出的結果存在波動。

2.3 考慮遮擋的差異積分法

θ=120°，α=15°，h1=2 m，r=0.5 m，h2=2 m，h0由2.5 m變化到0 m，變化間隔為0.5 m三錐體的考慮遮擋的差異積分法計算的激光后向LRCS隨著φ變化的結果如圖3所示。

由圖3可知：θ，α，h1，h2，r取固定的值時，差異積分法計算的后向LRCS隨著方位角的變化，變化很小，LRCS變化不大，這是因為采用差異積分法分母不會出現為0的情況，不存在舍掉誤差。

2.4 差異積分法考慮遮擋和不考慮遮擋

φ=120°、h0=2.5 m、h1=2 m、r=0.5 m、h2=2 m，α=15°、35°差異積分法考慮遮擋和不考慮遮擋計算的激光后向LRCS隨著θ的變化如0圖3所示。

從圖4可知：α=15°，在θ=75°、180°、285°附近存在3個峰值。對于圓臺，θ=90°-α=75°，在此方向上圓臺有法線為觀測方向的面元，本地入射角為0°，對于圓錐，圓錐的半錐角=artan(0.5/2)=14.0°，峰值為θ=76°位置，因此在75°到76°為峰值位置；180°是底面的貢獻，這時底面的法線為觀測方向；285°為對稱位置。α=35°，圓臺θ=55°為峰值位置，圓錐在76°位置，圖中的峰值位置為49°，180°、311°存在峰值。兩條曲線以180°為中心存在中心對稱，這符合三椎體的對稱性。從圖4中看不出考慮遮擋和不考慮遮擋的區別，不考慮遮擋與考慮遮擋的差值如圖5所示。

圖4 差異積分法考慮遮擋和不考慮遮擋計算的激光后向LRCS隨著θ的變化

圖5 差異積分法考慮遮擋和不考慮遮擋計算的激光后向LRCS的差值隨著θ的變化

從圖5可以看出，考慮遮擋和不考慮遮擋，兩者的LRCS存在差值，有的位置不存在遮擋，對于θ=0°、90°、270°理論上不存在遮擋，圖5給出的結果也給出同樣的結論，兩者的差值為0。

3 結語

設計朗伯三錐體的后向LRCS的計算算法，從理論上進行朗伯三錐體LRCS公式的推導。設計兩種計算方法：統一積分法、差異積分法。利用射線跟蹤設計剔除遮擋算法，提高計算精度。分析觀測方向的方位角、天頂角對LRCS的影響，分析三椎體的幾何參數對后向LRCS的影響，能清楚地得出不同影響因素對LRCS的影響。對于目標的不同尺寸，計算所得的LRCS值也不同。從給出的測試結果可以看出，朗伯三錐體的LRCS算法可以給出正確的結果，設計的剔除算法提高了計算精度。