基于平衡向量的剛架結構極限承載力分析的廣義塑性鉸法

楊綠峰，殷玉琪，柏大煉

(1.廣西大學土木建筑工程學院，廣西，南寧 530004；2.工程防災與結構安全教育部重點實驗室，廣西，南寧 530004)

剛架結構由于受力合理、自重輕及結構簡單等優點，廣泛應用于各工業建筑、民用建筑和交通水利工程等領域中，正確分析剛架結構極限承載力是開展剛架設計和安全性評估的基礎。現階段，主要利用彈塑性理論進行剛架結構失效模式和極限承載力分析，分為塑性區法和塑性鉸法。塑性區法[1?2]主要通過細密網格將剛架離散為數量眾多的實體單元，并在加載中及時更改進入塑性的單元本構方程，可以精細模擬結構加載時的失效過程，但離散自由度龐大。因此通常采用梁單元建立有限元模型并開展彈塑性增量分析(elasticplastic incremental analysis，EPIA)[3 ?4]。塑性區法和EPIA都能取得較高計算精度，其結果往往用于校核其他方法的精度和適用性，但是理論復雜，且非線性迭代分析導致計算耗時久。

傳統塑性鉸法(plastic hinge method，PHM)采用零長度塑性鉸假定，并通過在單元/構件的失效截面添加塑性鉸來集中體現材料的塑性行為，單元/構件的其余部分仍保持彈性。而且，在建立有限元模型時僅需將各個構件離散為1個～2個單元，因此與塑性區法相比能夠大幅提升計算效率。同時，由于剛架結構往往以彎曲變形為主，傳統PHM[5?7]根據外荷載與線彈性彎矩之間的比例關系直接確定結構中新增塑性鉸的位置以及相應的荷載增量(該特性稱為PHM的比例特性)，理論簡單，計算格式簡潔，計算效率遠高于EPIA。但是，研究表明，處于多內力組合作用下的剛架結構，彎矩和軸力是影響其極限承載力的兩個主要內力，而傳統PHM由于無法考慮軸力對塑性鉸的影響將導致高估剛架的極限承載力。二階塑性鉸法[8](second-order plastic hinge method,SPHM)和精細塑性鉸法[9](refined plastic hinge method,RPHM)利用廣義屈服準則考慮彎矩和軸力對塑性鉸的影響，從而克服了傳統PHM的缺陷。但是，由于常規的廣義屈服函數通常不滿足比例條件，導致SPHM和RPHM無法利用傳統PHM的比例特性直接確定塑性鉸位置和荷載增量，需進行大量的增量非線性迭代分析來確定組合內力下剛架結構在每一加載步下的新增塑性鉸位置和荷載增量，導致理論復雜且難度大，降低了計算效率。

為了建立既適用于多內力組合作用的剛架結構，且能夠保持PHM的比例特性，Rahman[10]利用線性函數代替非線性的廣義屈服函數，據此對截面抗彎強度進行修正，因而能夠利用傳統PHM的比例特性快捷計算船舶橫向框架在多內力作用下的極限承載力。但是，利用線性函數模擬非線性廣義屈服函數將影響到極限承載力的計算精度。為此，楊綠峰等[11]利用非線性齊次擬合傳統的非線性、非齊次廣義屈服函數，并利用齊次廣義屈服函數(homogeneous generalized yield function，HGYF)定義單元承載比[12?13]，進而根據外荷載與單元承載比之間的比例關系直接確定廣義塑性鉸的位置和荷載增量，由此建立了廣義塑性鉸 法(generalized plastic hinge method，GPHM)，不僅保持了傳統PHM的比例特性，具有很高的計算效率，還進一步提升了PHM在多內力組合作用下的計算精度，有效擴大了PHM的應用范圍。但是，GPHM沒有考慮荷載增量對前序塑性鉸平衡狀態的影響，導致剛架結構在部分荷載工況下的承載力計算結果不準確。

針對該問題，本文利用廣義屈服條件和轉角位移方程建立平衡向量，據此建立修正的GPHM計算格式，解決了GPHM在部分荷載工況下不適用的問題。最后，通過與不同方法對比分析，驗證了本文方法高效、高精度的特性。

1 廣義塑性鉸

1.1 截面修正強度

塑性鉸法通常利用上一加載步的內力修正剛架各構件的截面強度[7]：

圖1 圓管截面的幾何參數Fig.1 Geometric parameters of tube section

式中：Ro為圓管截面外半徑；Ri為圓管截面內半徑；σs為材料屈服強度。

1.2 強度折減因子的定義

研究表明，當構件能夠滿足抗剪承載力要求時，彎矩和軸力將是影響構件承載力失效的關鍵因素。當剛架中某一構件截面上的彎矩和軸力滿足廣義屈服準則 f(ni,mi)=1時，該截面進入全截面塑性屈服狀態，形成廣義塑性鉸，其中的f=f(ni,mi)表示廣義屈服函數。Chen和Han[14]給出了圖1所示圓管截面的廣義屈服準則：

式中， f(ni,mi)為圓管截面的廣(義屈)服函數，且：

式中，ni和mi分別為剛架在第 i 加載步時構件截面上的無量綱軸力和無量綱彎矩：

利用廣義屈服函數可以定義式(1)和式(2)中的強度折減因子ζiN和ζiM。結構中部分構件僅承受單一內力作用，此類構件的強度折減因子為1，但實際工程結構的大多數構件往往都受到軸力、彎矩等多內力的組合作用，此時ζiN和ζiM均小于1。此外，剛架在第一加載步( i =1)之初尚沒有累積內力，即： N=M=0，不需要修正單元截面強度，因而有：ζiN=ζiM=1 。隨后的加載步(當i＞1時)，需根據剛架在上一個(第 i?1個)加載步結束時的累積內力確定各個單元的無量綱累積軸力na,i和彎矩 ma,i：

加載過程中需要及時修正構件的截面強度。在修正截面抗彎強度時，應根據廣義屈服準則確定累積軸力對截面初始抗彎強度的影響：

式中：g1為廣義屈服函數中僅含有軸力的函數項；g2為廣義屈服函數中僅含有彎矩的函數項。

將式(7)右式代入式(9)，經整理可得：

式中，強度折減因子 ζiM=g[1?g1(n)]表示累積軸力n對單元截面抗彎強度的影響。結合圓管截面的廣義屈服函數式(6)容易求得：

同理，可得軸向強度的折減因子：

1.3 齊次廣義屈服函數與單元承載比

從式(6)可以看出，廣義屈服函數f 是關于ni和mi的非線性、非齊次方程，與外荷載之間不滿足比例條件。楊綠峰等[12?13]提出廣義屈服函數齊次化方法，解決了高階非齊次函數不滿足比例條件的難題。這里建立圓管截面的齊次化廣義屈服函數。首先針對式(6)的 f(ni,mi)，在廣義屈服面上建立齊次化表達式 fˉ(ni,mi)：

式中：ak為多項式待定系數；H為多項式階數。

為了使齊次廣義屈服函數能夠更好地擬合廣義屈服面，應按照以下方法選擇配點。

1)確定無量綱化內力ni和mi的配點。首先，確定ni和mi的取值范圍，兩者均為[0,1]。然后，在確定區間[0,1]上確定n的i配點：在區間[0,0.1]和[0.9,1]上以0.01為步長均勻布置ni的配點，在區間[0.1,0.9]以0.05為步長均勻布置ni的配點。進而，將ni的配點取值代入廣義屈服面式(5)可以確定mi在相應配點上的值。刪去其中重復的配點，最終遴選37組配點( ni,mi)(j),j=1,2,···,37。

2)根據選取的配點，利用最小二乘法求得式(13)中不同階次齊次廣義屈服函數(ni,mi)的待定系數ak，進而求得不同階次ni,mi)的均方根誤差，如表1所示。表中可以看出，取 H=4時得到的圓管截面四階齊次廣義屈服函數(ni,mi)能夠較好地擬合原廣義屈服函數 f(ni,mi)，且有：

表1 待定系數及均方根誤差Table1 Undetermined coefficients and mean-square error

據此，可以定義單元 e 的單元承載比[12-13]：

式中，rie稱為單元承載比。rie在單元 e 不同截面上通常有不同的值，這里取其中的最大值。

1.4 塑性鉸與荷載增量的確定

對于理想彈塑性剛架結構，外荷載可以用向量表示：

式中：α為基準荷載向量；F0為荷載乘子的初始值；荷載分量 Pk=F0αk(k=1,2,···,n)，n為結構承受的荷載數；為了便于表述，通常用荷載乘子F0代表外荷載P。

2 平衡向量與荷載增量的修正

2.1 塑性鉸新增內力

根據式(17)容易求得當前加載步的荷載增量FL,i及其在前序加載階段形成的塑性鉸(簡稱為前序塑性鉸)上產生的軸力增量，但塑性鉸上的彎矩增量為0。此時需要判別每個前序塑性鉸上的新增軸力是否滿足式(5)、式(6)定義的廣義屈服條件：

式中，ε為收斂容差，取值范圍為0.001～0.01，本文取0.007。

如果全部前序塑性鉸上的新增內力相對較小，都能夠滿足式(18)，則將新增內力加入累積內力中，并進入下一個加載步。否則，如果某一前序塑性鉸上較大，不滿足式(18)，表明當前加載步的內力分布尚不滿足屈服條件，則需要在全部前序塑性鉸上增添附加彎矩，使得：

據此可得：

圖2 梁-柱單元Fig.2 Beam-column element

單元 e 兩端截面上的新增內力和相應的位移如圖2(a)所示，應滿足轉角位移方程：式中：上標A、B分別表示單元e 的左、右端截面；下標 i 表示第 i 加載步。若已知單元 e的左端新增彎矩,A，根據式(21)的前兩式可確定單元右端的新增彎矩

,B：

由此，可將式(21)的轉角位移方程修改為：

2.2 平衡向量

根據圖2所示的兩類自由度之間的對應關系，可將式(23)轉換表達為有限元法符號約定下的單元剛度方程[10]：

將結構中全部單元剛度方程集成為結構總體剛度方程：

式中，Ki、、和為第 i 加載步末的結構總體剛度矩陣、結點位移向量、等效結點荷載向量和平衡向量，其中的可根據第 i加載步末的外荷載 FL,iα得到。

通過引入平衡向量并開展有限元法再分析，可以消除軸力增量導致的結構內力失衡現象，從而滿足式(18)。進而，將ax所在截面(結點)改為塑性鉸，并進入下一加載步分析。

3 結構失效路徑和極限承載力

根據當前加載步出現的塑性鉸位置，修改與該塑性鉸相連接的單元剛度矩陣，集成新的結構總體剛度矩陣，并判斷其是否奇異。如果非奇異，則進入下一加載步，并重復上述計算步驟，形成新的塑性鉸。反之，如果奇異，表明結構達到極限狀態，并成為失效機構，結束加載。

在結構加載過程中依次出現的塑性鉸構成剛架結構的失效路徑。累加各個加載步的荷載增量FL,i可得剛架結構的極限承載力FL：

式中，NL為總的加載步。

上述方法首先利用強度折減因子和廣義屈服準則確定塑性鉸位置和相應的荷載增量，進而形成平衡向量，據此修正塑性鉸位置和荷載增量，最終確定剛架結構失效模式和極限承載力，具體的計算流程見圖3。

圖3 修正的GPHM流程圖Fig.3 Flow chart of modified GPHM

上述計算步驟稱為修正的GPHM，是對文獻[11]建立方法的改進。

4 算例分析

這里利用不同方法計算圓管截面剛架結構的極限承載力，并以彈塑性增量分析方法(EPIA)的計算結果為基準，將本文基于平衡向量的修正GPHM(以下簡稱為本文方法)計算結果同傳統PHM和文獻[11]的GPHM(以下簡記為文獻[11]方法)進行對比分析。其中EPIA采用ANSYS編程，并利用BEAM189建立彈塑性有限元模型；而PHM、文獻[11]方法和本文方法都采用MATLAB編制線彈性有限元法計算程序。電腦配置CPU@3.00 GHz，內存8.0 G。

4.1 算例1.單層雙跨剛架結構

某單層雙跨剛架計算簡圖如圖4所示，緊鄰黑色圓點的數字表示桿端截面的編號，承受豎向荷載 P1=16F0和水平荷載 P2=αF0，用向量表示為P=(P1,P2)=F0(16,α) ，其中，α為與水平荷載和豎向荷載的比例有關的常數。剛架梁柱等構件采用規格為 φ140mm×10mm的圓管截面，材料屈服應力為 σs=235MPa ，彈性模量E=2.1×105MPa。分別采用本文方法、EPIA、PHM和文獻[11]方法計算剛架結構的失效路徑和極限承載力。當取 α=1時，上述四種方法的計算結果見表2。

圖4 單層雙跨剛架計算簡圖 /mFig.4 Calculation diagram of one-story-two-bay rigid frame

由表2可知，本文方法得到的失效路徑與EPIA完全相同。而文獻[11]得到的失效路徑中，截面4先于截面5發生失效，因而與本文方法和EPIA的結果稍有不同，但三者的失效模式完全相同。而PHM得到的失效路徑、失效模式都與EPIA的結果存在顯著差異。由此表明，本文方法能夠正確反映結構加載過程中塑性發展和內力再分布，而PHM的結果有誤。進一步地，可以看出傳統PHM與EPIA的相對誤差高達99.87%，表明PHM由于僅考慮彎矩對塑性鉸的影響，忽略了其余內力的作用，導致嚴重高估剛架結構極限承載力，且得到錯誤的失效路徑。文獻[11]建立的GPHM能夠考慮軸力對塑性鉸的影響，從而有效降低了誤差。本文方法在此基礎上進一步通過平衡向量消除了塑性鉸上新增軸力對結構平衡狀態的影響，能夠正確反映加載中結構塑性發展，從而有效提高了計算精度，將GPHM與EPIA之間的相對誤差從文獻[11]的4.57%降低到現在的0.68%。

表2 不同方法計算結果Table2 Results from different methods

同時從表2可以看出，本文方法計算耗時僅為EPIA的1/11左右，表明本文方法具有很高的計算效率。進一步地，分析α取不同值時PHM、文獻[11]方法和本文方法的計算精度，詳見圖5。從中可以看出，傳統PHM與EPIA的計算結果差距較大，且隨著α的減小，兩者的相對誤差逐漸增大。其原因在于傳統PHM不能考慮軸力對塑性鉸的貢獻，從而高估結構極限承載力，導致較大的計算誤差。文獻[11]方法盡管能夠利用廣義屈服準則綜合考慮軸力和彎矩的影響，提升了計算精度，但由于沒有充分考慮前序塑性鉸上新增軸力對結構平衡狀態的影響，導致其與EPIA之間存在一定的誤差。本文方法在文獻[11]基礎上，通過引入平衡向量消除前序塑性鉸上新增軸力導致結構內力失衡現象，計算結果始終與EPIA吻合較好，驗證了本文方法具有較高的計算精度和廣泛適用性。

圖5 不同α取值下的剛架極限承載力Fig.5 Ultimate bearing capacity of the frame with different α

4.2 算例2.五層三跨剛架結構

如圖6所示的五層三跨剛架分別承受水平集中荷載 P1=αF0，豎向集中荷載 P2=8F0，豎向均布荷載 q =F0，構件截面采用薄壁圓管截面，構件截面尺寸及材料參數如表3所示。分別采用本文方法、EPIA、PHM和文獻[11]方法計算結構極限承載力并相互對比分析。

表3 截面尺寸及材料參數Table3 Sectional dimension and material parameters

圖6 五層三跨剛架計算簡圖Fig.6 Sketch of five-story-three-bay rigid frame

當 α=1時，四種方法的計算結果詳見表4。由表可知，傳統PHM與EPIA的相對誤差高達86.3%。再次表明PHM忽略彎矩之外的其余內力對塑性鉸的影響，從而嚴重高估剛架結構極限承載力。文獻[11]方法盡管利用廣義屈服準則解決了傳統PHM難以考慮多內力組合作用影響的問題，在一定程度上提升了計算精度，但由于沒有充分考慮塑性鉸上新增軸力對塑性鉸乃至結構平衡狀態的影響，導致其與EPIA之間的相對誤差達到14.60%，精度不高。而本文方法在文獻[11]的基礎上，通過引入平衡向量消除新增軸力對已有塑性鉸平衡狀態的影響，進一步提升了計算精度，計算結果與EPIA基本吻合，具有較高的計算精度。同時，本文方法計算耗時僅為EPIA的1/58左右，具有很高的計算效率。

表4 運算結果與計算耗時Table4 Computed results and time consuming

進一步地，分別利用EPIA、PHM、文獻[11]方法和本文方法計算α取不同值的剛架結構極限承載力，結果如圖7所示。從中可以看出，α取值較小時，PHM與文獻[11]方法和EPIA的計算結果差距較大，且隨著α的增大，兩者的計算誤差都逐漸縮小。當 α＞4時PHM的計算誤差不超過7%；當 α＞2時文獻[11]的計算誤差不超過7%。而本文方法計算結果始終與EPIA吻合較好，具有較高的計算精度。

圖7 不同α取值下的剛架極限承載力Fig.7 Ultimate bearing capacity of the frame with different α

綜上所述，本文方法不僅保持了傳統PHM的比例特性，而且克服了傳統PHM和文獻[11]方法的缺陷，能夠取得較高的計算效率和計算精度，且具有較為廣泛的適用性。

5 結論

本文利用廣義屈服準則和有限元方法建立平衡向量，據此修正了廣義塑性鉸法的計算格式，并得到如下結論：

(1)彈塑性增量分析法(EPIA)作為結構極限承載力分析的基準方法，具有精度高的優勢，但由于采用非線性迭代方法，導致計算效率明顯低于各類塑性鉸法。

(2)傳統塑性鉸法(PHM)忽略了軸力對塑性鉸的影響，導致過高估算結構極限承載力，影響了計算精度和適用范圍。

(3)文獻[11]的廣義塑性鉸法(GPHM)沒有考慮加載步荷載增量對前序塑性鉸平衡狀態的影響，因而應用于承受較大豎向荷載的部分剛架結構時將產生顯著誤差，不滿足工程要求。

(4)本文方法通過引入平衡向量消除了前序塑性鉸上新增內力對結構平衡狀態的不利影響，從而有效提高了GPHM的計算精度和適用范圍。