解析新舊高考交匯時期高考數學全國卷的命題導向

黑龍江省哈爾濱市第五十八中學 高 楊

2021年，第三批“新高考”試點的8個省份的高三考生參加新高考，如今共有12個省份的考生已經進入新高考。雖然目前全國多數省份還沒有進入新高考，但新高考的腳步已經日益臨近，如今很多省份的高考處于新舊高考的過渡時期。通過近年的高考試題，不難看出試題命制在逐步向新教材和新高考過渡。筆者從舊高考、舊教材向新高考、新教材過渡的角度，分析試題命制的意圖和高考數學全國卷命題趨勢。

一、高考命題向新教材新增加的知識點過渡

人教A版的新教材與舊教材相比，新增加了一些知識內容，尤其是在“概率統計”部分。現代科學技術特別是計算機科學、人工智能的迅猛發展，對未來社會人才的概率統計思想方法和數據分析能力的培養提出了更高要求，選擇性必修的“概率統計”部分知識中加入了全概率公式和貝葉斯公式，利用先驗概率校正后驗概率的思想方法也是人工智能領域機器學習的基本思想方法。

如2020年高考全國二卷的理科試題第3題：

在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓。為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作。已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）。

A.10名 B.18名 C.24名 D.32名

由題意可知，第二天新增訂單不超過1600份的概率為0.95，所以第二天需要至少完成1600份訂單以及之前積壓的500份訂單，即可保證第二天完成積壓訂單及當日訂單的概率不小于0.95，但為什么“使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95”志愿者就一定要最少完成900份訂單？這個問題的本質究竟是什么，它和概率部分的知識又有怎樣的聯系？

我們不妨從全概率公式的角度來看一下這個問題。第二天的新增訂單數量有兩種情況：“超過1600份”和“不超過1600份”，它們發生的概率分別為0.05和0.95。設需要志愿者x人，設事件A1為“第二天新增訂單數超過1600”，事件A2為“第二天新增訂單數不超過1600”，事件B為“有志愿者x人時完成積壓訂單及當日新增訂單”，則根據全概率公式：P(B)=P(A1)P(B丨A1)+P(A2)P(B丨A2)，現需使P(B)≥0.95，即P(A1)P(B丨A1)+P(A2)P(B丨A2)≥0.95，將已知代入可得0.05P(B丨A1)+0.95P(B丨A2)≥0.95，若此不等式成立，則必須使P(B丨A2)=1，即必須保證新增訂單不超過1600份的條件下一定能夠完成（因為若P(B丨A2)＜1，P(B丨A1)必然為0，即新增訂單不超過1600份的條件不一定能夠完成，則新增訂單超過1600的條件下x名志愿者完成的概率必然為0），故志愿者至少要完成的訂單數為500+1600-1200=900。

2020年全國二卷的省份尚未進入新高考。從本題的命制中不難看出，在新舊高考交匯時期，向新教材的新增只是過渡會是今后兩年高考題命制的重要方向，一些試題會以學習舊教材的考生都可以讀懂的方式給出，但其中蘊含的深層的思想和方法與新增知識點有密切的關系，把握新舊教材知識方面的變化，才能更好地把握未來兩年高考的命題方向。

二、高考試題與新教材中的知識情境的結合

新版教材中，無論是每章引言還是每節新知識的引入，內容都更加豐富也更有時代特色，舊教材的知識引入更注重引導學生加深對知識的理解和掌握，以及數學文化的滲透；新教材的知識引入更加注重引導學生運用數學知識解決實際問題，除了數學文化外，也加入了更多中華民族優秀傳統文化的滲透。每節的“導入語”從現實世界、數學理論發展、數學發展史等方面的背景出發，以問題形式引出本節所學主要內容。

2020年全國高考二卷中，天壇圜丘壇的圓形石板塊數的計算問題被師生廣泛討論，此題主要考查了等差數列的概念和前n項和。此題從知識方面的角度來看，考查的難度不大，如果沒有這個背景材料，直接將條件給出，此題的得分率必然會比較高。但對于很多同學來說，讀懂題目是一個困難的地方，學生需從材料中提取出這個等差數列的相關條件。此題的背景是北京天壇的圜丘壇的圓形石板塊數的計算問題，這個背景材料實則出現在新教材選擇性必修第二冊等差數列的概念引入部分。2020年考全國二卷數學的省份尚未開始實施新教材。該試題的命制旨在引導廣大教師關注新教材中新增設的知識情境，了解中華民族優秀傳統文化中蘊含的數學智慧。舊教材中等差數列的概念引入中是以奧運會舉重級別、管理水庫的水位、銀行存款利息為例，而新版教材以天壇圜丘壇的圓形石板塊數、衣服尺碼、大氣溫度、貸款月供為例。新教材的知識引入更加貼近當代的生活，也具有更豐富的知識性和文化特色。

所以，無論在舊高考的復習備考還是新教材的實施過程中，注重新教材中的知識情境，拓寬學生的視野和知識面。教學中教師可以多結合新教材中的章“導入語”和節“導入語”中所提到的背景材料和知識情境，進行考試題或練習題的命制，以培養和提升學生將實際問題轉化為抽象的數學模型的能力，提升學生的閱讀能力、數學建模素養以及知識的遷移與應用能力。

三、適應新教材中習題的變化即能力要求的變化

教材中的練習和習題是學生課內學習活動的一個組成部分，是學生鞏固所學知識、評價學生對知識掌握情況的重要工具。舊教材的習題分為A組和B組，A組習題更為基礎，B組習題的綜合性和對思維能力的要求更高。新教材的習題按功能分為“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三個層次，習題具有鞏固知識、拓展知識、深化數學理解和應用、培養數學能力、培養學生創新意識和實踐能力上的重要作用。因此，習題的設置也直接體現教材編寫者對學生對每部分知識能力水平的要求。

2019年全國二卷理科數學的第16題，一改以往立體小題更注重點線面之間位置關系的、三視圖及空間幾何體的表面積和體積，而是考查了計算幾何體的面數以及棱長的計算，這種考查方式更加注重學生的直觀想象核心素養，而不僅是公式和定理，考查方式更加靈活。此題學生通過空間想象得到多面體的面的個數，將該多面體補成正方體后，根據對稱性列方程求解。

結合新教材的變化，我們能夠發現此類型題的出現是有章可循的，新教材必修第二冊8.3.1中的課后練習題中的第3題中的幾何體模型得到的方法和此題類似。新教材必修第二冊第八章章末復習題的第1題，探究了多面體的頂點、棱數和面數的數量及這些數量之間的關系，這里V+F-E的值為2，這個結論也是空間中多面體同胚于球的情況下的“歐拉公式”，在代數拓撲中，“歐拉示性數”是一個重要的拓撲不變量，“歐拉公式”在拓撲學中有著舉足輕重的地位，題目的設置旨在培養學生的空間想象能力，也引導學生更深層次地探究幾何學中的不變量問題，為學生進入高校后更深入地學習幾何學在思想方法上做一定的鋪墊。新教材對學生立體幾何部分的學習提出了更高的要求，加強直觀想象素養培養的同時，還需要有探索發現規律和總結歸納的能力。2021年1月，2021年首次參加新高考的8個省份進行的適應性考試中的21題考查了一個以“歐拉公式”為知識背景的題目，此次考試由教育部考試中心為這8個即將參加新高考的考生提前適應新高考的命題難度、命題風格和試卷結構而命制的，對于研究高考的命題趨勢也是非常有價值的。此題作為一道立體幾何的解答題，與以往考查線面關系證明和所成角問題不同，不僅考查學生的直觀想象能力和邏輯推理的能力，還考查了學生的閱讀能力、探究發現規律和總結歸納能力。

高考的真題和全國統考的適應性考試試題都在釋放一個信號，今后高考的立體幾何部分必將更注重對直觀想象能力以及探究發現能力的考查，綜合性會比以往常規的立體幾何問題更強。在日常教學中，教師需要更加深入研究新教材中習題設置的變化，體會新教材、新課程對學生的素養提升提出的更高要求，這樣才能更好地把握教學重難點以及高考的命題趨勢。

對于高考命題的研究和對教材的研究是廣大一線教師的重要課題。處在新舊高考交匯的時期，教師應更加注重研究新舊教材知識內容變化、知識情境的變化、能力要求的變化，才能在教學中將新教材、新課程的理念滲透給學生，使學生能夠適應高考中的變化，培養學生的數學思維能力和數學學科核心素養，達到立德樹人的目的。