半波帶法研究夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的局限性分析*

董 鵬 張立紅

[中國石油大學(xué)(華東)理學(xué)院基礎(chǔ)物理系 山東 青島 266580]

1 引言

在大學(xué)物理課程中，對(duì)于夫瑯禾費(fèi)單縫衍射這一內(nèi)容，一般采用兩種方法展開研究，一是積分法，即利用菲涅耳衍射積分公式嚴(yán)格求解衍射光強(qiáng)，從而全面了解單縫衍射的光強(qiáng)分布規(guī)律；二是半波帶法，即通過半波帶法定性分析明暗條紋出現(xiàn)的衍射角條件，從而獲取衍射圖樣的主要特征．積分法由于計(jì)算復(fù)雜一般作為選學(xué)內(nèi)容，或者僅對(duì)方法作簡(jiǎn)單介紹并直接給出計(jì)算結(jié)果，而對(duì)計(jì)算過程不作詳細(xì)研究．半波帶法因構(gòu)思巧妙、物理圖像直觀而被作為討論分析的重點(diǎn)．然而，作為一種粗視化分析方法，半波帶法存在局限性，首先，通過與積分法嚴(yán)格求解得到的結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，半波帶法在確定明紋出現(xiàn)的衍射角條件時(shí)存在誤差，即僅能給出明條紋出現(xiàn)的近似條件；其次，半波帶法無法給出衍射光強(qiáng)表達(dá)式，即通過半波帶法不能確定觀察屏上任意點(diǎn)的光強(qiáng)分布；再次，半波帶法不能充分體現(xiàn)衍射現(xiàn)象與干涉現(xiàn)象之間的區(qū)別．

趙凱華先生在其編寫的面向物理專業(yè)本科生的光學(xué)教材[1]中，在菲涅耳圓孔衍射部分，對(duì)半波帶法進(jìn)行了補(bǔ)充：對(duì)于圓孔內(nèi)包含非整數(shù)個(gè)半波帶的情形，采用振幅矢量圖解法對(duì)半波帶進(jìn)行了細(xì)致處理，由此求解了衍射場(chǎng)的振幅；在夫瑯禾費(fèi)單縫衍射部分，沒有采用半波帶法進(jìn)行定性分析，直接采用振幅矢量圖解法和積分法嚴(yán)格求解了衍射光強(qiáng)分布公式．在面向非物理專業(yè)的大學(xué)物理教材中，由于夫瑯禾費(fèi)衍射計(jì)算簡(jiǎn)單且應(yīng)用廣泛，一般僅講授夫瑯禾費(fèi)衍射，而且把直觀的半波帶法作為討論分析夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的重點(diǎn)方法，然而并不指出半波帶法存在的誤差[2～5]，或者僅對(duì)這一誤差做一標(biāo)注，不進(jìn)行說明或展開解釋[6]．

本文將在半波帶法的基礎(chǔ)上對(duì)單縫波陣面進(jìn)行了更精細(xì)的分割，采用振幅矢量圖解法討論明暗條紋條件，修正半波帶法所給出的明紋條件公式．同時(shí)，利用該方法定量求解單縫夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)表達(dá)式．由于該方法將單縫波陣面從有限個(gè)半波帶進(jìn)一步細(xì)分成無限個(gè)窄波帶，這一處理充分體現(xiàn)了衍射現(xiàn)象和干涉現(xiàn)象之間的區(qū)別和所采取的計(jì)算方法的不同．

2 半波帶法局限性分析

圖1 半波帶法分析單縫夫瑯禾費(fèi)衍射示意圖

若單縫處的波陣面恰好被分成偶數(shù)個(gè)半波帶，則P點(diǎn)的合振幅為零，P點(diǎn)處為衍射暗紋，因此暗紋出現(xiàn)的衍射角條件為

(1)

若單縫處的波陣面恰好被分成奇數(shù)個(gè)半波帶，因相鄰兩半波帶在P點(diǎn)的振動(dòng)相互抵消，剩下的一個(gè)半波帶發(fā)出的光未被抵消，會(huì)聚于P點(diǎn)，形成亮點(diǎn)，故P點(diǎn)處為明紋，因此明紋出現(xiàn)的衍射角條件為

(2)

將半波帶法給出的明暗條紋條件與積分法嚴(yán)格求解得到明暗條紋條件對(duì)比，發(fā)現(xiàn)半波帶法給出的暗條紋條件是精確的，而明條紋條件則不然．

下面我們將式(2)給出的明紋條件與積分法嚴(yán)格求解得到的明紋條件[2]分別列出，如表1所示.

表1 半波帶法與積分法給出的明紋衍射角條件對(duì)比

將表1中的數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，半波帶法給出的明紋條件與精確值存在偏差．具體來講，由半波帶法分析得出的明紋衍射角總是略大于積分法求得的明紋衍射角，在k值較小時(shí)差別較明顯，隨著k值的增大逐漸趨近精確值，這說明半波帶法僅能給出明紋出現(xiàn)的近似條件．

3 振幅矢量圖解法剖析半波帶法明紋條件的近似性

由此給出了明暗條紋出現(xiàn)的條件

暗紋N=2k；

明紋N=2k+1,(k=1,2,3,…)．

然而由于衍射角φ是連續(xù)變化的，因此N也會(huì)隨之連續(xù)變化，即N不應(yīng)局限于整數(shù)．半波帶法僅考慮了N是整數(shù)的情況，即僅對(duì)某些特定衍射角(使得單縫波面恰好被分成整數(shù)個(gè)半波帶)做了分析，而沒有針對(duì)任意衍射角作一般分析．半波帶法對(duì)單縫波面的這一粗視化分割使得對(duì)明紋條件的判斷不夠精確，下面在半波帶法的基礎(chǔ)上對(duì)單縫波面進(jìn)行更精細(xì)化的分割，并采用振幅矢量圖解法來分析明暗條紋條件．

這與半波帶法得到的結(jié)果一致．

圖2 振幅矢量圖解法分析單縫夫瑯禾費(fèi)衍射示意圖

(3)

可見P點(diǎn)的振幅A為ε的函數(shù)．下面我們將上式兩邊對(duì)ε求導(dǎo)，得

上式為超越方程，可以采用作圖法來定解．下面列出部分解.

表2 超越方程的解

當(dāng)ε取上述值時(shí)，P點(diǎn)的振幅A取極值(極大值或極小值)．根據(jù)圖2(d)容易判斷A的最小值發(fā)生在ε=0處，為Amin=0，因此ε取表中的數(shù)值時(shí)，P點(diǎn)的振幅A取極大值，P點(diǎn)為明紋．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可判斷，ε的取值范圍為0<ε<1，且隨著k值的增大，ε愈加趨向于1．由此，我們得到明紋條件為

(0<ε<1,k=1,2,3,…)(k增大，ε→1)

(4)

將表2中的ε值代入上式，并與表1中積分法給出的結(jié)果比較發(fā)現(xiàn)，兩者非常一致，這說明上述方法由于在半波帶法的基礎(chǔ)上對(duì)單縫波陣面進(jìn)行了更加精細(xì)的分割，從而克服了半波帶法的局限性，精確地確定了明紋條件．

圖3 單縫波面分成(2k+ε)個(gè)半波帶和(2k+1)個(gè)半波帶兩種情況下的衍射場(chǎng)振幅大小定性分析

4 振幅矢量圖解法求解衍射光強(qiáng)

由

得

將之代入式(3)，并考慮光強(qiáng)I=A2得

(5)

上面采用振幅矢量圖解法推導(dǎo)出了單縫夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)表達(dá)式，與積分法推導(dǎo)衍射光強(qiáng)表達(dá)式相比，這一方法避免了復(fù)雜的積分運(yùn)算，物理思路簡(jiǎn)單，易于學(xué)生接受．

5 結(jié)論

本文首先通過對(duì)比半波帶法與積分法所給出的明暗條紋出現(xiàn)的衍射角條件，指出了半波帶法在判斷明紋條件時(shí)存在方法誤差．通過將粗視化的半波帶法精細(xì)化，即對(duì)單縫波陣面進(jìn)行更精細(xì)化分割，采用振幅矢量圖解法討論了明紋條件，修正了半波帶法所給出的明紋條件公式．修正后的明紋條件表明決定單縫衍射明紋振幅的不足一個(gè)半波帶，而并非恰好一個(gè)半波帶．同時(shí)，利用該方法還求得了與積分法一致的衍射光強(qiáng)表達(dá)式．此外，由于該方法將單縫波陣面從有限個(gè)半波帶進(jìn)一步細(xì)分成無限個(gè)窄波帶，接收屏P點(diǎn)的衍射光強(qiáng)即為從無限個(gè)窄波帶發(fā)出的子波的相干疊加，因此這一方法體現(xiàn)出了衍射現(xiàn)象與干涉現(xiàn)象的區(qū)別，有利于學(xué)生加深對(duì)衍射現(xiàn)象本質(zhì)的理解．

振幅矢量圖解法已在大學(xué)物理的先修內(nèi)容——簡(jiǎn)諧振動(dòng)部分學(xué)習(xí)到，在此再次使用這一方法來分析單縫夫瑯禾費(fèi)衍射，有利于學(xué)生通過關(guān)聯(lián)和對(duì)比加深對(duì)兩部分內(nèi)容的理解，也更突顯了物理方法在大學(xué)物理教學(xué)中的重要性．