基于貝茲曲線的壓氣機特性圖生成方法

李書明，王澤芃，孫 爽,2，孫小鵬

(1.中國民航大學航空工程學院，天津 300300；2.中國民航大學天津民航維修和適航重點實驗室，天津 300300)

發動機部件特性圖(engine component maps，Map)包含了各部件的詳細性能信息[1]，在非設計點工況，部件Map對發動機物理模型精度有較大影響。但這些信息屬于原始設備制造商(original equipment manufacturer，OEM)廠商的商業機密，OEM以黑箱形式編譯封存部件Map與物理模型，并將其以通用性能計算平臺的方式提供給用戶。即便OEM廠商提供了發動機的部件Map，也只是某型發動機的平均性能數據，而無法反映制造工藝、裝配公差等因素對機隊同型發動機帶來的個體偏差，這會使發動機性能模型產生較大誤差，進而干擾后續的發動機性能分析和故障診斷[2]。

發動機在中高轉速工作時，渦輪基本處于臨界或超臨界狀態,壓氣機與渦輪的共同工作對渦輪Map敏感度較低，因此壓氣機Map成為中外學者主要的研究對象。其中，縮放因子法是一種常見的壓氣機Map生成方法[3]。Kong等[4]與潘鵬飛等[5]使用遺傳算法對壓氣機Map進行縮放。董楨等[6]運用粒子群算法針對渦軸發動機的壓氣機Map進行了縮放。王永華等[7]運用融入熵判別的粒子群算法來優化對縮放因子的搜索。朱正琛等[8]使用改進的微分進化算法對壓氣機Map進行縮放。金鵬等[9]使用自適應濾波來縮放了渦扇發動機的壓氣機Map。以上研究使發動機模型得到了很高的精度，但只是針對發動機設計狀態進行處理,對于非設計工況上的精度難以保證。Li等[10]致力于捕捉發動機Map非設計轉速上的非線性效應，用以提高非設計轉速工況下發動機模型的精度。趙洪利等[11]利用牛頓迭代法對發動機部件Map進行多工況點匹配修正。Li等[12]提出了Map分量縮放校正方法，將縮放因子的求解過程與發動機的變工況點計算過程相結合，并應用于自適應循環發動機(adaptive cycle engine,ACE)。Kim等[13]提出了發動機模型整體和局部性能與縮放發動機Map結合的自適應方法，用于發動機在線故障診斷。但這些方法都需要已知發動機部件Map作為縮放的原型，無法考慮到不同發動機之間的性能差異而引起部件Map特性線的形狀差異。Kong 等[14]提出使用多項式函數來表示壓氣機Map中壓比、效率、流量和轉速之間的關系。Tsoutsanis 等[15]提出利用橢圓曲線來表示發動機Map的轉速線，通過優化算法優化調整曲線形狀的最佳系數，更好地反映真實部件特性的壓氣機Map。上述方法證明了利用高階曲線表示壓氣機Map中的轉速線是可行的，但如何更好地表示壓氣機Map中的轉速線簇依然是尚待解決的問題。

為此，現提出一種新的壓氣機Map生成方法，該方法將壓氣機Map中的轉速特性線以貝茲曲線簇的通用公式表示，將貝茲曲線控制點參數表示為壓氣機Map中無量綱轉速的多項式函數來控制特性曲線的形狀，利用遺傳算法(genetic algorithm，GA)進行迭代以完成該適配流程。利用發動機試車數據，使用不同的控制點參數在建立的渦扇發動機模型上進行測試和比較。

1 方法

1.1 貝茲曲線

1962年，法國人皮埃爾·貝塞爾(Pierre Bézier)提出了貝茲曲線和曲面繪制方法，該方法通過一系列控制點來確定曲線的形狀，曲線隨控制點移動而發生變形，因此在圖形設計和路徑規劃中應用較為廣泛[16]，其具有以下特點。

(1)曲線形狀由兩端控制點與中間控制點確定，但曲線并不一定穿過所使用的控制點。

(2)凸包性。生成的曲線在其控制點組成的凸包內。

(3)移動貝茲曲線的第i個控制點，會對曲線整體形狀產生影響，且對該控制點附近的曲線影響更大。

貝茲曲線本身易于控制，同時在高階曲線插值逼近時不會產生Runge現象，因此在曲線逼近時具有良好的性能。貝茲曲線的控制方程為

(1)

(2)

式中：X(t)為貝茲曲線上的橫坐標點；Y(t)為貝茲曲線上的縱坐標點；i為控制點序號；n為曲線的階數；Pix為第i個控制點的橫坐標；Piy為第i個控制點的縱坐標；t為相關參數，取值范圍為0～1。

圖1展示了不同控制點的貝茲曲線，結合該圖和控制方程可以看出貝茲曲線的形狀和趨勢完全由控制點決定。得益于此，貝茲曲線有著較大的調整區間。理論上，控制點的個數越多，曲線越容易進行更細微的變化。因此提出將壓氣機Map中的轉速特性線以貝茲曲線的形式表示。

圖1 不同控制點的貝茲曲線Fig.1 Bézier curves of different control points

實際工程中，保存發動機性能信息的部件特性圖由等轉速線和效率線組成，如果已知發動機工作點的位置，就可以獲得此時發動機的流量、壓比和效率等性能參數，而壓氣機Map又由流量-壓比圖和流量-效率圖組成，其中包含了流量-壓比線和流量-效率線，圖2展示了某高壓壓氣機的部件特性圖。

圖2 壓氣機部件特性圖Fig.2 Compressor component map

由于貝茲曲線完全由控制點決定，而實際工程中能獲得的發動機實際數據多為不同轉速工況的試車數據，為了能根據實際數據逆向壓氣機特性曲線，即能通過控制點調整曲線，將控制點坐標設定為壓氣機Map中無量綱換算轉速的高階多項式函數，對于流量-壓比圖，控制點橫、縱坐標表達式為

Pix(N)=aj(PR)Nj-1+aj-1(PR)Nj-2+…+a(PR)

(3)

Piy(N)=bj(PR)Nj-1+bj-1(PR)Nj-2+…+b(PR)

(4)

式中：a(PR)、b(PR)分別為流量-壓比圖中控制點的相關系數；N為無量綱換算轉速；j為函數的階數。

對于流量-效率圖，控制點橫、縱坐標表達式為

Pix(N)=aj(ηc)Nj-1+aj-1(ηc)Nj-2+…+a(ηc)(5)

Piy(N)=bj(ηc)Nj-1+bj-1(ηc)Nj-2+…+b(ηc)

(6)

式中：a(ηc)、b(ηc)分別為流量-效率圖中控制點的相關系數；N為無量綱換算轉速；j為函數的階數。

圖3展示了壓氣機特性曲線的調整過程。這種方法通過控制點控制壓氣機特性曲線的形狀，控制點不斷調整使初始曲線逼近目標曲線，而控制點使用無量綱轉速的非線性數學表達式表達，以捕捉不同轉速線的變化規律。將這種方法集成到發動機性能模型中，以逆向完整的特性曲線，來完成發動機模型的性能預測。

圖3 壓氣機特性曲線調整過程Fig.3 Adjustment process of compressor curves

1.2 發動機性能模型

研究的發動機類型為分排雙軸渦扇發動機，建立的模型包括進氣道、風扇、低壓壓氣機、高壓壓氣機、燃燒室、高壓渦輪、低壓渦輪、外涵道、尾噴管和引氣等模塊，該模型建立在MATLAB的軟件環境下，如圖4所示。圖4中發動機的站位截面數字的表示含義如表1所示。

表1 發動機站位說明Table 1 Description of engine station

研究中的發動機性能模型依據同一機隊下同型的CFM56-7B發動機建立。在海平面標準條件下(288.15 K,101.325 kPa,60%相對濕度)，該機隊發動機的平均設計點性能參數如表2所示。該性能模型通過輸入發動機工作條件參數和工作狀態參數等，從風扇、低壓壓氣機、高壓壓氣機、高壓渦輪和低壓渦輪部件特性圖上讀取對應工作點的流量、壓比和效率等性能參數，利用熱力學概念和迭代方法，判斷此時的工作點是否合適。模型內部的迭代目標為風扇進出口流量平衡、低壓壓氣機進出口流量平衡、高壓壓氣機進出口流量平衡、高壓渦輪進出口流量平衡、低壓渦輪進出口流量平衡、內涵道噴管喉部截面流量平衡、外涵道噴管喉部截面流量平衡、低壓軸功率平衡、高壓軸功率平衡9組平衡條件，迭代變量為發動機的涵道比、低壓軸轉速、高壓軸轉速、燃燒室出口溫度、風扇特性圖函數、低壓壓氣機特性圖函數、低壓壓氣機特性圖函數、高壓渦輪特性圖函數和低壓渦輪特性圖函數。

Nl為發動機轉子低壓軸；Nh為發動機轉子高壓軸；PCl為低壓軸壓氣機功率；PCh為高壓軸壓氣機功率；PTl為低壓軸渦輪功率；PTh為高壓軸渦輪功率圖4 發動機性能模型結構圖Fig.4 Structure diagram of engine performance model

表2 發動機設計點性能Table 2 Engine design point performance

1.3 壓氣機Map適配流程

使用遺傳算法(GA)完善壓氣機Map的適配生成。遺傳算法是模擬達爾文生物進化論的自然選擇和遺傳學機理的生物進化過程計算模型，是一種通過模擬自然進化過程搜索最優解的方法。其計算過程主要分為三部分：交叉、變異、選擇[17]。該方法需要定義合適的適應度函數，使用數值描述個體的“適應度”，即最優解對該問題的符合程度。計算種群的適應度后進行選擇，對選擇后的種群進行交叉和變異生成下一代種群，此過程不斷迭代。直到達到預定的最大迭代次數或生成滿意的解停止。其中目標函數的定義為

(7)

式(7)中：σi為測量值的權重系數；m為使用的氣路測量參數的個數；n為參與構造Map的非設計轉速的個數；P(act)為實際的氣路測量參數；P(pre)為發動機性能模型預測的氣路測量參數。適應度函數的定義為

(8)

利用GA完成壓氣機Map的適配過程如圖5所示。第一步先根據發動機的初始信息對每個控制點系數進行合理的搜索范圍設置，縮小最優解的搜索范圍。使用從GA算法得到的控制點參數計算出式(3)～式(6)中的控制點坐標，從而形成本次計算構建的壓氣機Map，將壓氣機Map帶入自行開發的發動機性能，得到發動機各站位參數，并與測量到的發動機站位參數進行對比，形成目標函數，即式(8)。沒有一個解決方案可以達到目標函數預期的設定值，則迭代過程將循環進行，直到找到最合適的解決方案或達到設定的最大迭代次數。

圖5 壓氣機Map適配流程Fig.5 Adaptation process of compressor Map generation

設定的GA參數如表3所示。其中交叉概率為0.3，變異概率為0.2，使用80個種群規模?？梢允褂媚繕撕瘮档淖顑炛祦砼袛噙\算結束，但為了能搜索到更優的結果，通常規定達到最大迭代次數再結束運算，這里使用的最大迭代次數設定為500。在GA算法搜索過程中，適配生成的壓氣機Map在發動機性能模型中需要多次調用。

表3 GA參數Table 3 GA parameters

2 驗證與分析

因為發動機在中高轉速工作時，渦輪基本處于臨界或超臨界狀態,渦輪的性能變化差異很小[15]，故本文進行生成的壓氣機Map為風扇Map、低壓壓氣機Map和高壓壓氣機Map。本文使用了該機隊下某臺CFM56-7B發動機在大氣溫度18.5 ℃、大氣壓力101.6 kPa下進行試車后獲得的包括設計轉速的7個穩態性能數據點進行了壓氣機Map的生成。表4列舉了用來逆向進行壓氣機Map生成的發動機氣路測量參數，它們可以反映新生成的壓氣機Map后發動機性能模型的精度。

表4 發動機氣路測量參數Table 4 Gas path measurement parameters of engine

同時，由于控制點對貝茲曲線的形狀曲率影響較大，理論上控制點越多對曲線的細微調整越容易，但過多的控制點參數又會增加計算的復雜程度。為此，分別選擇了3、5、7作為控制點的個數來驗證這種生成壓氣機Map方法的有效性，并分析控制點參數的選取對結果精度的影響。3種方法的控制點多項式函數設定為2，它們的控制點參數如表5所示。在迭代計算時，這些方法均使用之前介紹的GA算法進行優化，使用的算法參數相同，以確保它們之間的比較更為準確，避免因算法而對結果精度產生不確定的影響。

表5 控制點參數Table 5 Control points parameters

3點貝茲曲線的控制點參數個數為54,而5點和7點貝茲曲線的控制點參數個數分別為90和126。在構造Map的過程中，貝茲曲線控制點參數會不斷迭代更新，以調整生成的壓氣機特性曲線，使發動機性能模型的計算結果能匹配到實際發動機氣路測量參數。表6列舉了7個穩態性能數據點的發動機低壓軸轉速工況，其中DP表示設計轉速工況，OD表示其他非設計轉速工況。

表6 不同的發動機轉速工況Table 6 Different engine speed conditions

圖6展示了分別使用3點、5點、7點貝茲曲線在7個穩態性能數據點上的氣路參數誤差。由于本文的主要研究為壓氣機Map，故風扇、低壓氣機、高壓壓氣機出口站位的氣路參數更為重要。

從圖6可以看出，3種方法的結果均相對滿意，它們的總體計算誤差都小于1%，說明這種生成壓氣機Map的方法是有效的。其中3點貝茲曲線法的總體誤差最大，而5點和7點貝茲曲線法的總體誤差明顯降低，且兩者誤差差別不大。這是因為增加控制點個數可以有效提高曲線的形狀變化能力，而3點貝茲曲線因為控制點個數較少，導致精度的提升有一定的限制。同時由于發動機性能模型本身高度非線性和強耦合性的影響，7點貝茲曲線相較于5點貝茲曲線并沒有明顯的精度提升。

從圖6可以看出，3種方法的結果均相對滿意，它們的總體計算誤差都小于1%，說明這種生成壓氣機Map的方法是有效的。其中3點貝茲曲線法的總體誤差最大，而5點和7點貝茲曲線法的總體誤差明顯降低，且兩者誤差差別不大。這是因為增加控制點個數可以有效提高曲線的形狀變化能力，而3點貝茲曲線因為控制點個數較少，導致精度的提升有一定的限制。同時由于發動機性能模型本身高度非線性和強耦合性的影響，7點貝茲曲線相較于5點貝茲曲線并沒有明顯的精度提升。

圖6 不同方法下的氣路參數誤差Fig.6 Gas path parameters error under different methods

上述計算均在CPU為AMD Ryzen 9 3900X，內存為金士頓3 200 MHz，32 G的PC上運行。每種方法的算法設置完全相同，它們的平均計算時間如表7所示。

從表7可以看出，由于貝茲曲線控制點個數增加，控制點參數的個數增加，導致GA算法包含的變量增加，計算所需時間也相應增加。由于5點與7點貝茲曲線所能達到的精度誤差比較接近，且5點貝茲曲線的計算時間更短，出于節約計算時間并兼顧計算精度的考慮，在實際使用中，更推薦使用5點貝茲曲線進行壓氣機Map的生成。

表7 不同方法的計算時間Table 7 Calculation time of different methods

3 結論

為了提高發動機性能模型對同型號個體發動機性能評估和故障診斷的準確性，提出了一種基于貝茲曲線的壓氣機Map適配生成方法。主要工作和結論如下。

(1)提出將壓氣機Map中的特性曲線表示為貝茲曲線簇，利用該曲線的特性即通過控制點調整曲線，將控制點坐標設定為壓氣機Map中無量綱換算轉速的高階多項式函數，利用發動機不同轉速工況的試車數據，通過GA算法在建立的發動機性能模型上進行了測試。

(2)對比使用不同控制點對生成新壓氣機Map后發動機性能模型精度的影響。其中，3點貝茲曲線的最大誤差約為0.55%，5點貝茲曲線的最大誤差約為0.23%，7點貝茲曲線的最大誤差約為0.21%，其精度滿足實際工程的應用。出于精度和計算時間的考慮，更推薦使用5點貝茲曲線。

(3)在擁有機隊同型號發動機的平均性能數據后，該方法可以針對不同的個體發動機進行性能模型的適配，為后續性能分析和故障診斷提供合理依據。理論上該方法可以用于任意其他類型的發動機。