基于頻域時延-多普勒二維聚焦的欠采樣雷達信號參數估方法

尉志良 付 寧 喬立巖

(哈爾濱工業大學電子與信息工程學院自動化測試與控制研究所 哈爾濱 150001)

1 引言

脈沖多普勒(Pulse Doppler, PD)雷達既有良好的測距和測速性能，又有著突出的雜波抑制能力，是一種應用廣泛的全相參體制雷達[1-3]。在現有的雷達接收機中，回波信號的采樣大多以Nyquist采樣定理為依據。隨著現代雷達技術的發展，雷達信號的帶寬急速增大，這種采樣方式將產生巨量的采樣數據，給后端的數據處理和存儲帶來巨大壓力。因此，基于欠采樣的PD雷達信號參數估計方法成為近幾年雷達信號處理領域的一個研究熱點。

利用信號的稀疏性，以壓縮感知(Compressed Sensing, CS)采樣理論[4-6]為基礎的雷達信號欠采樣技術受到廣泛關注。例如，Herman等人[7]提出一種用CS方法替代匹配濾波過程的方法，該方法能夠提高參數估計精度，但仍然需要按照Nyquist定理采樣。文獻[8,9]利用CS采樣來同時估計時延-多普勒參數，達到了降低采樣率的目的，然而這些方法中高維優化問題帶來了巨大計算量。

雖然基于CS的方法能夠有效地減低雷達信號采樣率，然而PD雷達信號中有用的只是時延-多普勒參數，而CS采樣的目標仍是恢復信號的完整波形，采樣過程仍然存在信息冗余。為進一步降低時延-多普勒參數估計所需的采樣點數，針對參數化信號的有限新息率(Finite Rate of Innovation, FRI)采樣理論[10-12]被提出并廣泛研究。Bajwa等人[13]針對低度擴散系統提出了一種基于FRI采樣理論的時延-多普勒參數估計方法，然而該方法對噪聲十分敏感。Bar-Ilan等人[14]基于FRI采樣提出了一種多普勒聚焦(Doppler Focusing, DF)方法用于時延-多普勒參數的估計，該方法有效地提高了算法的抗噪性，然而由于時延參數估計是在多普勒聚焦步驟之后進行的，多普勒聚焦的效果嚴重影響了時延參數的估計。Chen等人[15]提出了一種通用時延-多普勒參數順序估計(General Sequential Delay-Doppler estimation scheme, GeSeDD)方法，并在文獻[16]中對算法進行了改進以降低算法計算量，然而該方法同樣存在抗噪性差、估計誤差累計等問題。

綜上，為了降低PD信號采樣率，同時避免時延-多普勒參數估計中分步計算給后續參數估計帶來的影響和誤差累計，提高算法在噪聲下的表現，本文基于FRI采樣理論，提出了一種頻域時延-多普勒2維聚焦(Frequency-domain Delay-Doppler Two-dimensional Focusing, FD2TF)方法。該方法能夠利用少量傅里葉系數完成時延-多普勒參數的2維聯合估計，避免估計誤差的累計。通過2維聚焦過程，該方法還能有效增加采樣數據的信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)，提高算法的抗噪性。在此基礎上，將逆傅里葉變換方法引入2維聚焦計算過程，不僅提升了參數估計的網格密度，還大大降低了2維聚焦過程的計算量。

2 信號模型與采樣結構

PD雷達首先發射一系列脈沖信號，然后接收目標反射的回波。根據文獻[14]和文獻[17]中的假設，L個非起伏點目標的基帶回波信號可以簡化表示為

其中，h(t) 為已知的脈沖基函數，P為發射脈沖數，T為雷達信號的脈沖發射周期(Pulse Repetition Interval, PRI)，{al,τl,vl}分 別對應第l個目標回波的幅值、時延和多普勒頻移。非起伏目標是指目標的幅值在處理時間內不隨時間發生變化，也就是假設式(1)給出的約束。為了避免參數模糊，對目標回波的時延和多普勒頻移分別限定為τl ∈[0,T),v ∈[?π/T,π/T)。

FRI采樣的目的是獲得信號的頻譜信息，并從中直接估計所需參數。根據文獻[18]所述，采用多組離散分布的傅里葉系數有助于提高參數估計精度。為此，本文采用文獻[19,20]中提出的基于濾波器組的多通道FRI采樣結構對PD信號進行采樣。如圖1所示，每個采樣通道主要由2個乘法器、1個帶通濾波器(Band-Pass Filter, BPF)和1個低通濾波器(Low-Pass Filter, LPF)組成，其中x(t)表示被采樣信號，pi(t),t=0,1,...,I表示特定頻率的調制信號，t=nTs表示采樣時刻，Ts表示采樣間隔，n表示采樣值索引，yni,i=0,1,...,I ?1表示相應的采樣值。通過兩次調制以及濾波，每個通道可以通過低速采樣獲得一組特定位置的傅里葉系數[19,20]。

實際上，圖1所示采樣過程是一個頻率選擇過程，假設脈沖信號已被調制到基帶(中心頻率為0)，調制信號pi(t)為理想單頻信號，BPF和LPF是理想濾波器。假設第1次調制信號pi(t)=ej2πfit,i=1,2,...,I的頻率是fi。第2次調制信號p0(t)的頻率是?f0， 也就是p0(t)=e?j2πf0t。假設BPF的通帶寬度為BBPF，中心頻率為fBPF，增益為1。LPF的截止頻率為fcut，增益為1。那么采樣結構的頻域特性G(f)表現為

圖1 基于濾波器組的多通道FRI采樣結構[19,20]

為保證采樣不發生頻率混疊，且保證獲得正確頻率范圍內的傅里葉系數，調制頻率與通帶寬度應滿足

通過基于濾波器組的多通道FRI采樣結構，就能從采樣值中獲得PD信號特定位置的傅里葉系數。當通道個數I= 1時，上述采樣結構就可以完成信號的FRI采樣和參數估計。然而，根據文獻[18-20]，通道個數I越大，就能獲得越多組傅里葉系數，參數估計精度越高，但是增加通道個數會造成硬件成本的增加。參考[19,20]中的實現方案，本文也選取通道個數I=4，以尋求參數估計精度與硬件成本之間的平衡。

3 時延-多普勒參數聯合估計方法

3.1 頻域時延-多普勒2維聚焦算

式(1)中PD雷達信號模型可以看出，PD雷達在每個PRI內的回波信號在時域是容易分開的，即

其中，H(k)是 已知基函數h(t)的傅里葉系數。獲得傅里葉系數后，利用Yp[k]進行頻域時延-多普勒2維聚焦，即

與 文 獻[1 4]中 的 結 論 類 似，當τ=τl且v=vl時，式(8)中的時延參數聚焦函數和多普勒參數聚焦函數嚴格滿足s(τ|τl) =K,g(v|vl) =P，此時式(8)是嚴格成立的。當時延和多普勒參數滿足|τ-τl| =T/K, |v-vl| = 2π/PT時，時延和多普勒參數的聚焦函數分別相當于單位圓上剛好一個周期 2π 內均勻分布點的求和，此時，s(τ|τl) = 0,g(v|vl) = 0。當時延τ和多普勒參數v介于這兩個值之間時，函數|s(τ|τl)g(v|vl)|的值也介于二者之間。可以看出在時延τ和多普勒參數v一個很小的鄰域內，函數|s(τ|τl)g(v|vl)|是快速衰減的，因此我們可以得到式(8)中的近似。對于不在聚焦區內的目標，即 滿 足 |τ-τl|>T/2K或|v-vl|>π/PT的 目標，兩個聚焦函數仍然可以看成單位圓上均勻分布點的求和，因此可以得到|s(τ|τl)g(v|vl)|～=0。

圖2給出了聚焦函數|s(τ|τl)g(v|vl)| 在vl=0且τl=0.5T情況下的一個例子。其中，P=30, K=30，紅色線條以上為聚焦區域。根據式(8)，當多個目標不落在同一聚焦區內，也就是滿足下文中式(12)時，對于滿足式(7)的聚焦區內的目標信號l，我們可以獲得聚焦區內信號聚焦函數的近似值，與此同時聚焦區域外的目標信號能量近似等于0，也就是|s(τ|τm)g(v|vm)|～=0,m ?=l。根據這一結論，式(6)中的聚焦函數可以近似表示為

圖2 聚焦函數|s(τ|τl)g(v|vl)|

此時，幅值參數即為聚焦后函數Ψ(τ,v)的最大值除以PK，即

其中， ?al代 表目標幅值al的估計值。目標時延-多普勒參數為聚焦函數取最大值時對應的聚焦參數v和τ，即

其中，(τ?l,v?l)分 別是時延參數τl和 多普勒參數vl的估計值。

按照瑞利極限的定義，FD2TF算法的時延和多普勒參數分辨率分別為T/K和2 π/PT。但在時延-多普勒2維平面上，當兩個或多個目標的時延參數落在同一聚焦區時，只要它們的多普勒參數沒有落在同一聚焦區，我們仍然能夠將它們分辨出來，反之亦然。因此，FD2TF算法能夠分辨出相近參數目標的條件為

其中， ?τ和?v分別代表兩個目標時延和多普勒參數的差值。

進行估計時，為消除已估計參數對其它目標聚焦過程的影響，將已估計目標從聚焦函數中減去，即

這樣，我們就可以更加準確地估計出目標回波的時延、多普勒和幅值參數。

3.2 基于逆傅里葉變換的快速簡化2維聚焦計算

3.3 信噪比分析

在無噪聲的情況下FD2TF方法能夠有效地估計雷達回波參數。然而在實際工程中，噪聲是廣泛存在的。為方便分析，脈沖波形h(t)簡化為狄拉克脈沖，其傅里葉系數為H(k)=1。在噪聲環境，回波信號表示為

表1 直接多普勒聚焦與逆FFT方法計算量對比

表2 脈沖-多普勒2維聚焦算法雷達信號參數估計過程(算法1)

可以看出，通過頻域的時延-多普勒2維聚焦過程，理論上聚焦后傅里葉系數比聚焦前有大約KP倍的SNR提升，這大大提高了算法的抗噪性。

4 仿真結果及分析

理論分析證明了所提FD2TF方法估計PD信號參數的可行性和有效性，本節通過仿真實驗來對其進行驗證。本節首先在不同噪聲情況下分別探究了不同目標回波個數L、不同發射脈沖個數P以及不同采樣傅里葉系數個數K對所提FD2TF方法性能的影響，然后用仿真證明了所提方法降低計算復雜度以及提高信噪比的有效性，最后將FD2TF方法與多普勒聚焦(DF)方法[14]以及通用序列時延多普勒估計(GeSeDD)方法[15]在不同參數設置下分別進行了對比，證明了所提方法的有效性。

仿真實驗1：本仿真探究不同目標回波個數L對算法性能的影響。發射脈沖為sinc脈沖，帶寬10 MHz，PRI為1 ms，每個PRI內目標回波個數分別設置為L=2,3,4,5個。參照文獻[19]，采用4個采樣通道，調制信號p1(t)至p4(t)的頻率分別設置為[28.37,28.27,27.645,27.386] MHz，調制信號p0(t)的頻率為28.915 MHz。BPF的中心頻率為29 MHz，通帶寬度為80 kHz，LPF的截止頻率為125 kHz，采樣率為250 kHz。此時采樣系統的總體采樣率為1 MHz，低于信號奈奎斯特頻率20 MHz。采用P=100 個 發射脈沖，每個PRI內獲取K=320個傅里葉系數。聚焦網格密度參數分別為M=10000以及Q= 9600。仿真實驗在SNR為-40～0 dB下進行，每個信噪比下進行1000次隨機參數實驗，參數估計誤差用歸一化均方誤差[13](NMSE)衡量，仿真實驗結果如圖3所示，因為在時延-多普勒信號參數估計的主要任務時估計時延和多普勒參數，因此本節中主要分析對比了時延和多普勒參數的估計精度。

圖3 不同目標回波個數下參數估計性能

在信噪比較低時(SNR為-36 dB左右)大部分情況下的參數NMSE值很高，實際上這種情況下的估計是錯誤的，這是因為較強的噪聲使得參數估計方法失效了。在信噪比相對較高的情況下(SNR小于-20 dB)，參數估計精度均隨著信噪比的提升而提高。在信噪比較高時，不再是噪聲而是聚焦網格密度成為影響時延參數估計的主要因素，因此時延參數的估計精度不再提高。多普勒參數則因仍存在一定誤差而繼續保持估計精度的提升。對比多條曲線，時延數和多普勒參數的估計精度均隨著目標回波個數的增加而降低。這是因為聚焦函數在聚焦區外仍有一定的能量，這就造成了不同目標參數的聚焦函數的相互干擾，目標回波數越多，對每個目標而言其聚焦區內混入的干擾就越多，因此參數估計精度隨著目標回波個數的增多而下降。

仿真實驗2：本仿真探究不同發射脈沖數P對參數估計性能的影響。實驗所用脈沖數分別設置為P=50,75,100,125個，每個PRI內目標回波個數為L=4，其它參數設置與仿真實驗1相同。仿真實驗在SNR為-40～0 dB下進行，每個信噪比下進行1000次隨機參數實驗，仿真實驗結果如圖4所示。

圖4 不同發射脈沖數下參數估計NMSE誤差曲線

在信噪比較低時，較強的噪聲導致參數估計方法失效。當信噪比提升后(SNR為-30～-20 dB)，參數的估計效果隨著脈沖發射個數的增加而增加，但當脈沖發射個數從100增加到125時，參數估計精度的提升要小于脈沖發射個數從50提升到75時的參數估計性能提升。在較高信噪比時，因為聚焦網格的影響，時延參數估計精度不再提升，而多普勒參數仍存在一定誤差且估計精度繼續提升。從實驗結果可以看出，提高脈沖發射個數可以提高方法參數估計精度，但是當脈沖發射個數達到一定數值后，提升發射脈沖數所帶來的參數估計精度提升變小，在應用時可以根據參數估計精度要求及噪聲情況合理選擇所需的發射脈沖數。

仿真實驗3：本仿真探究不同采樣傅里葉系數個數K對參數估計性能的影響。設置每個PRI內分別取K=200,240,280,320個傅里葉系數，每個PRI內目標回波個數為L=4，其它參數設置與實驗1相同。仿真實驗在SNR為-40～0 dB下進行，每個信噪比下進行1000次隨機參數實驗，仿真實驗結果如圖5所示。

圖5 不同傅里葉系數個數下參數估計NMSE誤差曲線

在信噪比較低時，較強的噪聲導致了參數估計方法的失效。當信噪比提升后(SNR為-30～-24 dB)，對比不同曲線可以看出，隨著傅里葉系數個數的增加，參數的估計效果也在逐步增加，但是當傅里葉系數個數從280增加到320時，參數估計精度的提升要遠小于傅里葉系數個數從200提升到240時的參數估計性能提升效果。因此，提高脈沖發射個數可以提高該方法參數估計精度，但是當脈沖發射個數達到一定數值后，再提升發射脈沖數所帶來的參數估計精度提升幅度降低，在實際使用時可以根據參數估計精度要求及噪聲情況合理選擇所需的發射脈沖數。

仿真實驗4：本仿真驗證了所提FD2TF方法降低計算復雜度的有效性。為使結果更加直觀，將目標回波個數設置為L=1，信號信噪比設置為0 dB，時延和多普勒參數的聚焦網格數Q和M設置為相同且分別從1000點變化至10000點，其它參數設置與實驗1相同。實驗計算機采用3.2 GHz主頻i7-8700處理器和16 GB內存，每個網格數下進行1000次隨機實驗，取平均運算時間作為運算復雜度的度量，實驗結果如圖6所示。

圖6 不同網格數下計算量對比

從實驗結果可以看出，當網格數設置較低時，直接計算聚焦過程與逆FFT方法計算聚焦過程均用時較短，但是逆FFT方法用時更短。隨著網格數的增加，直接計算方法的運算時間呈指數方式快速增加，而逆FFT方法用時增加相對平緩，在網格數達到10000點時仍然能夠保持相對較低的計算時間。這與前文中的理論分析相吻合，驗證了所提方法降低計算復雜度的有效性。

仿真實驗5：本仿真驗證了所提FD2TF方法在提高信噪比方面的有效性。為了使實驗結果的展示更加直觀，在仿真中被采樣信號的信噪比設置為-30 dB，目標數設置為L=1 ， 發射脈沖數P和每個脈沖周期內采樣的傅里葉系數個數K設置為相等，其數值從100到1000變化。每組發射脈沖數和采樣傅里葉系數個數下進行1000次隨機實驗，實驗結果如圖7所示。從實驗結果可以看出，實際仿真計算得到的聚焦函數Ψ(τ,v)中的信噪比與根據式(29)計算的信噪比提升幅度十分接近，驗證了所提方法在提高信噪比方面的有效性。

圖7 不同P ,K個數下信噪比提升對比

仿真實驗6：本仿真在不同信噪比以及不同實驗參數設置下將所提FD2TF方法與DF和GeSeDD方法進行了對比分析。在對照組實驗中，對于FD2TF方法，設置目標回波個數為L=4，其它參數設置與仿真實驗1相同。對于DF方法，采用與本文相同的采樣結構和采樣參數進行采樣，多普勒網格密度也設置相同。對于GeSeDD方法原文采用了基于CS的結構，該采樣結構采樣率相對FRI方法較高，且對噪聲敏感。由于GeSeDD是一種通用方法且適用于FRI采樣結構，為保證實驗數據的可比性，與基于FRI采樣結構的GeSeDD方法進行對比，但是GeSeDD方法的輸入為連續的傅里葉系數。此外，為探究不同參數設置情況下本文方法與其它方法的對比，分別在目標回波個數L=2，發射脈沖個數P=50， 以及每個脈沖周期內采樣傅里葉系數K= 200的參數設置下進行了3組實驗。在這3組仿真實驗中，除了標回波個數、發射脈沖個數、每個脈沖周期內采樣傅里葉系數這3個參數之一與對照組實驗不同外，其他實驗參數設置均相同。仿真實驗在SNR為-40～0 dB下進行，每個信噪比下進行1000次隨機參數實驗，仿真實驗結果如圖8所示。

圖8 不同信噪比下方法對比NMSE曲線

從仿真結果可以看出，在較低信噪比時，較強噪聲的存在導致所有參數估計方法都失效。隨著信噪比的提高，算法的估計精度逐漸提高，可以看出所提FD2TF算法相比于DF和GeSeDD算法具有更好的估計性能，GeSeDD算法估計性能始終較差。特別是在較低的信噪比時(SNR為-30 dB左右)，FD2TF算法優勢更加明顯。例如，在對照組實驗信噪比為-26 dB左右時，其它算法均已失效，而FD2TF算法仍然可以保持較高的估計精度，這充分說明了所提算法具有較好的抗噪性。當信噪比較高時，FD2TF算法和DF算法具有相當的時延參數估計精度，這是因為此時噪聲已經不是影響估計精度的主要因素，參數網格密度決定了參數估計的性能表現。

5 結論

本文基于有限新息率采樣理論，提出了一種用于脈沖多普勒雷達參數估計的頻域時延-多普勒2維聚焦算法。該方法在有效降低寬帶脈沖信號采樣率的同時，避免了參數順序估計中誤差累積的問題。在2維聚焦過程中，該方法能夠有效提高接收信號信噪比，具有很好的抗噪性能。同時，逆傅里葉變換方法的引入大大降低了2維聚焦算法的計算量。理論分析和仿真結果充分證明了該方法的有效性。