聚焦乘法分配律策略的研究

周絲雅

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。其中，運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算定律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題。

乘法分配律是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，是單元的教學(xué)重點(diǎn)，也是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。乘法分配律是小學(xué)數(shù)學(xué)階段一個(gè)非常重要的運(yùn)算定律，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的作用和地位。本文結(jié)合學(xué)生的年齡特點(diǎn)、思維特征以及認(rèn)知發(fā)展水平，從建模、思辨、數(shù)感、創(chuàng)編四方面探討乘法分配律的教學(xué)策略。

一、建模——建模定法

人教版教材以學(xué)生的植樹圖引出乘法分配律的計(jì)算公式，但由于植樹圖中蘊(yùn)含的信息較多，加上是以應(yīng)用題的方式提出問題，部分學(xué)生并不能較好地理解題意，更別說明確乘法分配律的意義了，知其然而不知其所以然，以至于后面的學(xué)習(xí)只能靠死記硬背，達(dá)“形”而忽“質(zhì)”。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，能具體生動(dòng)地理解問題，符合學(xué)生的思維特點(diǎn)。為了讓各層次的學(xué)生都能理解其意義，可以嘗試用電子圖的方法進(jìn)行教學(xué)建模。

1. 初建模型

如下圖，算一算一共有幾個(gè)黑點(diǎn)圓？學(xué)生在低年級(jí)時(shí)已接觸了看圖列式計(jì)算，能很快地進(jìn)行分類和計(jì)算。

同一幅圖，兩種不同的解題方式，學(xué)生很容易就明白：3×2+3×4=3×（2+4）。方法一中，把左邊的黑點(diǎn)圓平均分成2份，表示2個(gè)3，右邊的黑點(diǎn)圓平均分成4份，表示4個(gè)3;方法二中，把所有黑點(diǎn)圓按照行數(shù)平均分成3份，每行2+4個(gè)黑點(diǎn)圓，因此是3個(gè)（2+4）。從中，學(xué)生便能更好地理解3×2+3×4=3×（2+4），從而推斷出乘法分配律的公式（a+b）×c=a×c+b×c。借助電子圖，利用數(shù)形結(jié)合的直觀方法，讓學(xué)生構(gòu)建模型，發(fā)展模型思想，初步感知乘法分配律并理解其意義。

2. 擴(kuò)建模型

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，要讓學(xué)生親身經(jīng)歷將數(shù)學(xué)實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。這就是要求學(xué)生利用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)深刻體驗(yàn)構(gòu)建模型的過程。學(xué)生回顧舊知，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)技能對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分類，歸納和總結(jié)，在腦海里構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)，利用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問題。乘法分配律的運(yùn)用變化多端，其公式只有一條，如果硬把公式（a+b）×c=a×c+b×c運(yùn)用到每一道練習(xí)題中是不現(xiàn)實(shí)的。因此，我們可以讓學(xué)生在已有模型的基礎(chǔ)上再建模型。

如：102×3-2×3

=（102-2）×3

=300

建模：a×c-b×c=（a-b）×c

3×99+3

=3×（99+1）

=300

建模：a×b+a=a×（b+1）

學(xué)生利用已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行反思，舉一反三，發(fā)展模型思想。根據(jù)不同的練習(xí)靈活推斷出a×c-b×c=（a-b）×c和a×b+a=a×（b+1）兩種模型，在建構(gòu)的基礎(chǔ)上，根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，以解決問題的策略形式再建構(gòu)模型，予以深化。

二、思辨——尋異辨法

乘法分配律是學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)掌握了乘法交換律、結(jié)合律，并能初步應(yīng)用這些定律進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。乘法交換律、結(jié)合律只有乘法的一級(jí)運(yùn)算，而乘法分配律是乘、加（減）這兩種運(yùn)算之間的一種規(guī)律，溝通了乘法與加法（減法）之間的聯(lián)系，具有特殊的重要意義。

學(xué)生在用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)（a+b）×c=a×c+b、a×c+b×c=（a+c）×b等錯(cuò)誤。問題關(guān)鍵在于學(xué)生并沒有清晰地區(qū)分乘法結(jié)合律和乘法分配律，不知道什么情況下用什么方法。有的學(xué)生只是靠表面的形式進(jìn)行判斷，認(rèn)為結(jié)合律就是乘法，分配律就是乘加，對(duì)兩者的意義卻一知半解。我們可以讓學(xué)生通過練習(xí)進(jìn)行觀察、對(duì)比，找出兩者的異同。

通過觀察對(duì)比，利用數(shù)據(jù)分析并完成表格，學(xué)生自主找出兩種規(guī)律的異同之處，從中分辨總結(jié)出：1. 乘法分配律是一個(gè)因數(shù)乘兩個(gè)數(shù)的和（差），乘法結(jié)合律是三個(gè)因數(shù)相乘;2. 乘法分配律中，括號(hào)里面是加法或者減法，而乘法結(jié)合律括號(hào)里面是乘法。有了清晰的對(duì)比，學(xué)生做練習(xí)時(shí)便能事半功倍。

三、數(shù)感——湊整馭法

簡(jiǎn)算意識(shí)，是簡(jiǎn)便運(yùn)算的核心，學(xué)生面對(duì)一個(gè)運(yùn)算問題時(shí)，必須擁有較強(qiáng)的簡(jiǎn)算意識(shí)，懂得運(yùn)用規(guī)律和方法解決問題。不少學(xué)生簡(jiǎn)算意識(shí)薄弱，是因?yàn)閷?duì)數(shù)不敏感，在他們的頭腦中數(shù)是孤立、靜止存在的，而對(duì)數(shù)敏感的學(xué)生會(huì)馬上產(chǎn)生聯(lián)想，找到與其他數(shù)的聯(lián)系，使數(shù)發(fā)生動(dòng)態(tài)變化。所以我們?cè)谟?xùn)練學(xué)生簡(jiǎn)算時(shí)，可以從發(fā)展學(xué)生的數(shù)感開始。

如對(duì)于101×26、99×26這類練習(xí)題，算式中并沒有出現(xiàn)加法，因此不少學(xué)生就不會(huì)運(yùn)用乘法分配律去解決問題。但數(shù)感強(qiáng)的學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)101和99都接近100，因此，可以把101拆分成100+1，把99轉(zhuǎn)換成100-1。

101×26? ? ? ? ? ? ? ? ?99×26

=（100+1）×26? ? ? ? ?=（100-1）×26

=2600+26? ? ? ? ? ? ? =2600-26

=2626? ? ? ? ? ? ? ? ? =2574

同理，在計(jì)算5×7+5×7時(shí)，因?yàn)轭}目的特殊，學(xué)生選取的方法也多樣，如：

①5×7+5×7? ? ?②5×7+5×7? ? ③5×7+5×7

=（5+5）×7? ? ? =（7+7）×5? ? ? =5×7×2

=10×7? ? ? ? ? ?=14×5? ? ? ? ? ?=35×2

=70? ? ? ? ? ? ? =70? ? ? ? ? ? ? =70

同一道題有3種簡(jiǎn)便方法，但通過調(diào)查，數(shù)感強(qiáng)的學(xué)生都喜歡用第一種方法，因?yàn)?+5剛好可以湊十，方便計(jì)算。通過對(duì)比分析，在簡(jiǎn)便運(yùn)算中，很多簡(jiǎn)便方法都蘊(yùn)含著湊整的思想。湊整，特別是湊十、湊百、湊千等，是簡(jiǎn)便運(yùn)算的重要方法。數(shù)感強(qiáng)的學(xué)生往往能輕易地根據(jù)算式運(yùn)算結(jié)構(gòu)和數(shù)的特征選擇湊整的優(yōu)化計(jì)算。因此，教師在日常教學(xué)中可多進(jìn)行湊整的訓(xùn)練，讓學(xué)生對(duì)大量簡(jiǎn)算方法進(jìn)行概括，優(yōu)化乘法分配律的解題策略，從而有效提升學(xué)生的數(shù)感。

四、創(chuàng)編——?jiǎng)?chuàng)編練法

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生編題訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生編題能力，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的需要。這對(duì)于促進(jìn)學(xué)生優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，探索知識(shí)規(guī)律，增強(qiáng)知識(shí)應(yīng)用，發(fā)展邏輯思維，提高數(shù)學(xué)思考能力有著重要的作用。在簡(jiǎn)便運(yùn)算的復(fù)習(xí)中，教師可以讓學(xué)生有針對(duì)性地對(duì)乘法分配律的練習(xí)進(jìn)行創(chuàng)編，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，更有效地內(nèi)化知識(shí)點(diǎn)。如“100×23=___，你能寫出一道與它相等的算式嗎？”學(xué)生通過回顧、思考和知識(shí)遷移寫出了多種多樣的算式。如（72+28）×23、（50+50）×23、（101-1）×23、（10+5+85）×23、（80+30-10）×23，等等。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，以整數(shù)100為基點(diǎn)，依據(jù)運(yùn)算律，逆向發(fā)散思維，自編簡(jiǎn)便運(yùn)算題。學(xué)生通過編題升華了對(duì)運(yùn)算定律的理解。

創(chuàng)編練習(xí)還可以讓學(xué)生在感悟“算理”中培養(yǎng)“事理”。如讓學(xué)生根據(jù)“25×5+25×3”編寫一道數(shù)學(xué)問題并用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算。

學(xué)生思維活躍，創(chuàng)編了各種各樣的題目：①作文本5塊錢一本，計(jì)算本3塊一本，各買25本，一共多少錢？②同學(xué)們排隊(duì)，男生排5行，每行25人，女生排3行，每行25人，一共多少人？③小梅和小明一起看書，都看了25天，小梅每天看5頁，小明每天看3頁，兩人一共看了幾頁？……

學(xué)生利用已有的經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)乘法分配律左右兩個(gè)不同結(jié)構(gòu)的算式創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題。在解決問題的時(shí)候，學(xué)生要不停地內(nèi)化舊知，回顧乘法分配律的不同結(jié)構(gòu)和模型，理清它們之間的聯(lián)系。這樣的設(shè)計(jì)，能夠讓學(xué)生根據(jù)知識(shí)點(diǎn)自主創(chuàng)編題目，開發(fā)創(chuàng)造性思維，內(nèi)化簡(jiǎn)算的知識(shí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)模型的印象，提升了學(xué)生的創(chuàng)新能力和思考能力。

聚焦乘法分配律，利用數(shù)形結(jié)合、符號(hào)意識(shí)、幾何直觀以及模型思想等多種方法培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、算理和事理，能讓學(xué)生在乘法分配律的學(xué)習(xí)中更有效率。