近幾年高考不等式熱門題型分析

■四川省巴中中學(xué) 肖 斌（正高級教師、特級教師）

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要解題工具，是高考必考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一。不等式問題在近幾年高考全國卷中一般為中等難度，小題主要考查不等式的性質(zhì)、不等關(guān)系、二次不等式的解法、基本不等式的應(yīng)用及線性規(guī)劃等，解答題主要考查絕對值不等式的解法或證明。有時，不等式還會與集合、邏輯、函數(shù)、三角、向量、數(shù)列、解析幾何等主干知識結(jié)合，命制成植根基礎(chǔ)、能力立意的創(chuàng)新題甚至難題，對不等式的知識、方法與技巧要求較高。下面以最近幾年的高考題及最新的模擬題為例分析其命題特點(diǎn)。

熱門題型一 不等式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用問題

不等式的基本性質(zhì)主要有八個，應(yīng)注意分清“單向性”和“雙向性”。“雙向性”是解不等式的基礎(chǔ)。證明不等式時，既可用“單向性”，也可用“雙向性”。

（1）對稱性：a＞b?b＜a。

（2）傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c。

（3）可加性：a＞b?a＋c＞b＋c。

（4）同向不等式相加法則：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d。

（5）可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc。

（6）同向正值不等式相乘法則：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd。

（7）正值不等式乘方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，n≥1）。

（8）正值不等式開方法則：a＞b＞0?

此外，還應(yīng)知曉一些使用頻率較高的“二級結(jié)論”，以簡化思維過程，快速獲得解法。

（1）倒數(shù)性質(zhì)：①同號兩數(shù)倒數(shù)法則，a＞；②異號兩數(shù)倒數(shù)法則，a＞

（2）異向不等式性質(zhì)：①異向不等式相減法則，a＞b，c＜d?a－c＞b－d，即大數(shù)減小數(shù)，大于小數(shù)減大數(shù)；②異向正值不等式相除法則，a＞b＞0，0＜c＜d?，即若四個數(shù)都是正數(shù)，則大數(shù)除以小數(shù)，大于小數(shù)除以大數(shù)。

（3）分?jǐn)?shù)性質(zhì)：若a＞b＞0，m＞0，則①真分?jǐn)?shù)性質(zhì)，（b－m＞0），即一個真分?jǐn)?shù)的分子、分母同時加上同一個正數(shù)，值越來越大，減去同一個正數(shù)，值越來越小；②假分?jǐn)?shù)性質(zhì)，（b－m＞0），即一個假分?jǐn)?shù)的分子、分母同時加上同一個正數(shù)，值越來越小，減去同一個正數(shù)，值越來越大。但請注意，使用真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)性質(zhì)時，需保證變化前、后分?jǐn)?shù)的分子、分母均為正數(shù)。

例1（2021 年四省八校質(zhì)檢試題）若logab＜logac，則下列不等式一定成立的是（ ）。

解析：（解法一，排除法）由對數(shù)的意義知，a＞0且a≠1，b＞0，c＞0。

①當(dāng)0＜a＜1時，有b＞c＞0，所以ab＞ac，且，從而，排除A，B。

②當(dāng)a＞1時，0＜b＜c，此時冪函數(shù)y＝xa在（0，＋∞）上增函數(shù)，所以ba＜ca，排除D。

故選C。

（解法二，直接法）當(dāng)0＜a＜1時，則b＞c＞0。因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax（0＜a＜1）在（－∞，＋∞）上為減函數(shù)，所以ab＜ac。

當(dāng)a＞1時，則0＜b＜c。因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax（a＞1）在（－∞，＋∞）上為增函數(shù)，所以ab＜ac。

綜上，選C。

高考類題：（2018 年全國Ⅲ卷理數(shù)第12題）設(shè)a＝log0.20.3，b＝log20.3，則（ ）。

A.a＋b＜ab＜0 B.ab＜a＋b＜0

C.a＋b＜0＜abD.ab＜0＜a＋b

解析：（解法一，排除法）因?yàn)閍＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，所以ab＜0，排除C。

因?yàn)?＜log0.20.3＜log0.20.2＝1，log20.3＜log20.5＝－1，所以0＜a＜1，b＜－1，a＋b＜0，排除D。

熱門題型二 比較大小問題

兩個實(shí)數(shù)比較大小的方法主要有：比差法、比商法、中介法。其理論依據(jù)分別如下：

（1）比差法，a－b＞0?a＞b，a－b＝0?a＝b，a－b＜0?a＜b；

（2）比商法，不妨設(shè)b＞0，則＞1?a＞＜1?a＜b；

（3）中介法，a＞b，b＞c?a＞c。

例2（2020 年全國Ⅲ卷理數(shù)第12題）已知55＜84，134＜85，設(shè)a＝log53，b＝log85，c＝log138，則（ ）。

A.a＜b＜cB.b＜a＜c

C.b＜c＜aD.c＜a＜b

解析：用比商法判斷a與b的大小，用中介法判斷b與c的大小。

高考類題：（2017 年全國Ⅰ卷理數(shù)第11題）設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則（ ）。

A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z

解析：（比商法）令2x＝3y＝5z＝k（k＞1），則x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k。

點(diǎn)評：請同學(xué)們用比差法做一做。

熱門題型三 利用基本不等式求最值問題

利用基本不等式求最值，應(yīng)具備四個條件：“一正、二定、三等、四同”，并注意“和定積有最大值”、“積定和有最小值”的一般規(guī)律。當(dāng)條件不滿足時，常通過適當(dāng)?shù)淖冃芜M(jìn)行轉(zhuǎn)化，近年來高考試題中涉及的相關(guān)變形技巧主要有以下幾種。

1.數(shù)字字母化的技巧

點(diǎn)評：將數(shù)字字母化，即將目標(biāo)表達(dá)式中前兩個分式的分子“1”均代換成字母乘積“ab”，可促成問題的轉(zhuǎn)化和解決。

2.拆項的技巧

例4（2019 年高考天津卷理數(shù)第13題）設(shè)x＞0，y＞0，x＋2y＝5，則的最小值為_____。

3.添項的技巧

由函數(shù)f（x）的最小值為5，得2－1＝5，解得a＝9，此時3x＝2滿足題意。

點(diǎn)評：“拆項”是將已有的式子“一分為二”，“添項”是把沒有的式子改寫成“兩個互相反數(shù)的和”，即“無中生有”。

4.消元的技巧

5.配湊的技巧

熱門題型四 以函數(shù)為背景的不等式問題

例8（2021年全國乙卷文數(shù)第8題）下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）。

解析：選項A，f（x）＝（x＋1）2＋3，所以f（x）min＝f（－1）＝3，故A 不正確。

點(diǎn)評：本題巧妙將二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、“對勾函數(shù)”的性質(zhì)與基本不等式求最值時必須滿足的四個條件：“正、定、等、同”等易錯點(diǎn)有機(jī)整合，較好地體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的高考數(shù)學(xué)學(xué)科“四翼”考查要求。

熱門題型五 不等式恰成立、恒成立、能成立（即有解）問題

不等式恰成立、恒成立、能成立（即有解）問題是不等式中最精彩、最能體現(xiàn)核心素養(yǎng)的能力題，其基本思維方法有：判別式法、圖像法、最值原理法、分離參數(shù)法、反客為主法、補(bǔ)集思想法等。

例9（2021 年四川省巴中市高二質(zhì)檢試題）已知關(guān)于x的不等式ax2＋4ax－3＜0。

（1）若不等式的解集為{x｜x＜－3 或x＞－1}，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：（1）（圖像法）因?yàn)殛P(guān)于x的二次不等式ax2＋4ax－3＜0的解集為{x｜x＜－3或x＞－1}，所以由圖像知－3，－1是相應(yīng)方程ax2＋4ax－3＝0的兩個根，且a＜0。

綜上，a＝－1。

（2）（判別式法，分類討論法）當(dāng)a＝0時，不等式化為－3＜0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，符合題意。

當(dāng)a≠0時，要使關(guān)于x的不等式ax2＋4ax－3＜0 對任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需－4×a×（－3）＜0，解得－＜a＜0。

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

點(diǎn)評：第一問是已知二次不等式的解集逆向求參問題，即通常所說的不等式“恰成立問題”，其基本解法是利用三個“二次”之間的聯(lián)系，通過圖像法將二次不等式的“恰成立問題”轉(zhuǎn)化為二次方程的兩個實(shí)根問題；第二問是二次不等式在R 上的恒成立問題，通常有以下等價轉(zhuǎn)化關(guān)系，習(xí)慣稱之為“判別式法”。

例10（2021年四川省巴中中學(xué)高二月考試題）若不等式x2＋ax－2＞0 在x∈[1，5]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____。

解析：令f（x）＝x2＋ax－2，則Δ＝a2＋8＞0，所以方程f（x）＝0有兩個不等實(shí)根。

又兩個根之積為負(fù)，所以方程有一個正根和一個負(fù)根。

（解法一，圖像法）不等式x2＋ax－2＞0在x∈[1，5]上有解，只需：

（解法二，補(bǔ)集思想法）原問題的否定形式是：若不等式x2＋ax－2≤0在x∈[1，5]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。此時只需f（1）＝a－1≤0，且f（5）＝5a＋23≤0，解得a≤－。

故不等式x2＋ax－2＞0在x∈[1，5]上有解時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（解法三，分離參數(shù)法）x2＋ax－2＞0在x∈[1，5]上有解?a＞－x在x∈[1，5]上有解。

記f（x）＝－x，x∈[1，5]，只需a＞f（x）min。

易知f（x）為減函數(shù)，所以f（x）min＝f（5）＝－，a＞－。

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是

點(diǎn)評：解法一是圖像法，利用二次不等式與二次函數(shù)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化獲解。解法二采用補(bǔ)集思想法，即解決“存在性”能成立問題時，可先考慮其否定形式，即先轉(zhuǎn)化為“任意性”的恒成立問題。解法三采用分離參數(shù)法，一般地，有以下等價轉(zhuǎn)化策略：

若存在x∈[m，n]，a＞f（x）有解（即能成立）?a＞f（x）min；

若存在x∈[m，n]，a＜f（x）有解（即能成立）?a＜f（x）max；

若存在x∈[m，n]，a＞f（x）無解（即不成立）?a≤f（x）min；

若存在x∈[m，n]，a＜f（x）無解（即不成立）?a≥f（x）max；

若存在x0∈[m，n]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立?f（x）－g（x）＞0在[m，n]上有解?[f（x）－g（x）]max＞0。

熱門題型六 不等式中的數(shù)學(xué)文化類問題

例11《幾何原本》第二卷的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明。現(xiàn)有如圖1所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為（ ）。

圖1

點(diǎn)評：對于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種變形形式，比如≥2（a，b同號），a2＋b2≥（a，b∈R），ab≤（a，b∈R）等。事實(shí)上，若追根溯源，這幾個變形形式都蘊(yùn)含在如下重要的不等式鏈中：已知0＜a≤b，則≤b（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號）。該不等式鏈從第二個式子開始，分別被稱作正數(shù)a、b的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)。本題考查的數(shù)學(xué)文化背景是“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不大于它們的平方平均數(shù)”這一重要不等式結(jié)論。本題“無字證明”，透析圖形玄妙，展示幾何解釋，洞見數(shù)學(xué)之美。

高考類題：（2020 年江蘇省邗江中學(xué)高考模擬試題）中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式S＝求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式。現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足a＋b＝6，c＝4，則此三角形面積的最大值為____。

熱門題型七 不等式與其他數(shù)學(xué)主體知識的交匯性問題

將不等式相關(guān)知識與集合、邏輯命題、函數(shù)、三角、向量、數(shù)列、解析幾何等眾多主體知識進(jìn)行適當(dāng)交匯、滲透與整合可形成外延拓展型試題，此類綜合題在高考數(shù)學(xué)試卷中常考常新。

例12（2021年四川省巴中市高二質(zhì)檢試題）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知∠ABC＝120°，∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D，且BD＝1。

其中所有正確結(jié)論的編號為（ ）。

A.①③④ B.②④

C.①③ D.①④

解析：∠ABC＝120°，∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D，則∠ABD＝∠CBD＝60°。由三角形的面積公式得acsin 120。＝csin60°，化簡得ac＝a＋c。

又a＞0，c＞0，則＝1，故①正確。

由ac＝a＋c≥24，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時取等號，故ac的最小值為4。故②錯誤。

點(diǎn)評：本題由2018年江蘇高考題改編而得，綜合考查了三角形的面積公式、內(nèi)角平分線的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，耐人回味的是對基本不等式求解最值的多個技巧、易錯點(diǎn)進(jìn)行了全面、深透地考查。

高考類題：（2021年高考浙江卷理數(shù)第8題）已知α，β，γ是互不相同的銳角，則在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三個值中，大于的個數(shù)的最大值為（ ）。

A.0 B.1 C.2 D.3

點(diǎn)評：本題以基本不等式ab≤為突破口，先將題設(shè)中的三個正弦、余弦的乘積式進(jìn)行放大變形，得到三個關(guān)鍵不等式；然后通過整體相加思想及反證法，得到三個乘積式不可能均大于；最后列舉特例分析，得到三式中大于的個數(shù)的最大值為2。本題是一道植根基礎(chǔ)、能力立意、清新脫俗、銳意創(chuàng)新的好題。