解三角形中的范圍或最值問題

■北京市海淀區(qū)法華寺甲5號中央民族大學(xué)附屬中學(xué) 張露梅

解三角形一直是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，在解三角形的背景下，設(shè)置與邊長、角度、周長、面積等相關(guān)的取值范圍或最值問題，成為十分常見的命題角度，受到命題者的青睞。三角形中的范圍或最值問題大致涉及三類：邊、角、面積的范圍或最值問題。這類問題注重與函數(shù)、不等式和幾何等知識的交匯融合，其解法主要有兩種：一種是化邊為角轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解；另一種是利用基本不等式求解。下面就這類常考問題加以歸類解析，切實(shí)幫助同學(xué)們進(jìn)一步理解、解決解三角形中的范圍或最值問題，提升同學(xué)的解題能力。

一、與邊有關(guān)的范圍問題

例1（安徽省合肥一六八中學(xué)2021屆高三下學(xué)期最后一卷）在鈍角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝4，sinA＝2sinB－2sinC，則邊b的取值范圍為____。

解析：已知sinA＝2sinB－2sinC，由正弦定理可得a＝2b－2c。

由a＝4，得c＝b－2，則b＞c。

△ABC為鈍角三角形，則可能角A為鈍角，也可能角B為鈍角。

點(diǎn)評：本題利用正弦定理進(jìn)行邊角的互化和利用余弦定理結(jié)合角的范圍求解三角形的邊長范圍，解答本題的關(guān)鍵是先分析出c＝b－2，從而得出角A可能為鈍角，也可能角B為鈍角，再由余弦定理結(jié)合能構(gòu)成三角形的條件得到不等式組，屬于中檔題。利用正弦定理建立邊角關(guān)系，把邊的范圍問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的區(qū)間范圍問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在三角形中找一個(gè)角（或一條邊）作為自變量，確定其范圍（利用消元法），轉(zhuǎn)化成解三角形問題，通過三角函數(shù)求邊長的范圍，是通性通法。

二、與角有關(guān)的范圍問題

例2在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，并且2bsinA－＝0。

（1）求角B的大小；

（2）求cosA＋cosB＋cosC的取值范圍。

點(diǎn)評：處理解三角形中與角有關(guān)的范圍問題，一般用余弦定理、正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，然后結(jié)合題中條件，求出角的某個(gè)三角函數(shù)值的范圍，進(jìn)而求解角的范圍。

三、與面積有關(guān)的范圍問題

例3（安徽省六安市舒城中學(xué)2021屆高三下學(xué)期仿真模擬）如圖1，某湖有一半徑為1km 的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個(gè)水文監(jiān)測中心（大小忽略不計(jì)），在其正東方向相距2km 的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測設(shè)備。為了監(jiān)測數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)B以及湖中的點(diǎn)C處，再分別安裝一套監(jiān)測設(shè)備，且∠BAC＝90°，AB＝AC。定義：四邊形OACB及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測覆蓋區(qū)域”。設(shè)∠AOB＝θ。則“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值為___。

圖1

點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是將四邊形OACB的面積表示為S四邊形OACB＝S△OAB＋S△ABC，代入面積公式后化簡得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值。面積問題通常是邊長與角問題的綜合，解題中既要考慮邊的變化，又要考慮相關(guān)角的變化，通常是利用面積公式，將其轉(zhuǎn)化為同一類元素，然后利用三角函數(shù)的取值范圍或者實(shí)數(shù)的不等關(guān)系求解。此類題主要考查正弦、余弦定理和面積公式在解三角形中的應(yīng)用，但是也會(huì)遇到一些借助二次函數(shù)求解三角形面積的取值范圍問題。