數列通項公式的16種求法

■貴州省遵義地區仁懷市周林高中 尹偉云

數列是高中數學的重要內容之一，也是高考的重點和熱點。數列中蘊含豐富的數學思想，具有很強的邏輯性，是考查邏輯推理和轉化與化歸能力的好素材，因此深受高考命題專家的青睞。本文對數列通項公式的求法作一個比較全面的歸納，希望對同學們的學習有所幫助。

一、觀察法

例1將全體正整數排成如下“三角形數陣”：

圖1

記數陣中第n行從左至右的第2個數為an（n≥2），則an＝____。

點評：當給出一個數列中的連續幾項時，可以觀察這幾項之間的差異，找到規律，或發現項與項之間的等量關系，通過研究這個關系尋求該數列的通項公式。

二、公式法

例2如圖2，64個正數排成8行8列：

圖2

點評：利用公式法求通項公式時，首先要找到等差數列或等比數列的位置，其次是分清等差或等比數列的首項與對應的公差或公比。

三、周期法

點評：本題中，an＝an＋4類似于函數關系式f（x＋4）＝f（x），關于數列周期的常見結論有：

①若an＋T＝an，則數列｛an｝的周期是T；

②若an＋T＝，則數列｛an｝的周期是2T；

③若an＋T＝－an，則數列｛an｝的周期是2T；

④若an＋T＝－，則數列｛an｝的周期是2T。

四、累加法

點評：形如an＋1－an＝f（n），且f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（n－1）易于化簡，可以考慮使用累加法。其原理是：an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝f（n－1）＋f（n－2）＋…＋f（2）＋f（1）＋a1。

五、累乘法

六、迭代法

點評：迭代法也叫遞推法，如果知道連續兩項的遞推關系求數列的通項公式，可嘗試反復利用遞推關系迭代求出解。

七、作差法

點評：給出Sn與an或Sn與n的等量關系，可以考慮用已知等量關系得到另一個等量關系，兩式作差，利用公式an＝Sn－Sn－1（n≥2）消去Sn，再從項與項的等量關系中探求通項公式，必要時需構造新數列。需要注意的是，應該檢測a1是否滿足公式。

八、作商法

例8在數列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋3×2n－1，求數列{an}的通項公式。

九、取倒數法

十、取對數法

十一、待定系數法

例11已知數列{an}滿足a1＝0，an＋1＋an＝3n＋2，則數列{an}的通項公式為_____。

點評：若遞推式為an＋1＝pan＋qn＋r（p，q均為非零常數，且p≠1），可設an＋1＋A（n＋1）＋B＝p（an＋An＋B），構造新數列｛an＋An＋B｝，進而解得｛an｝的通項公式。

十二、特征根法

例12求斐波那契數列{an}：1，1，2，3，5，8，13，21，…的通項公式。

十三、解方程組法

點評：本題是根據兩個數列通項之間的兩個等量關系式，通過解方程組的方式求得其中一個數列的通項公式。有時在同一個數列的遞推式中，也可以構造另一個遞推方程，通過解方程組的方式，求得該數列的通項公式。如已知a1＝1，an＋1＝3an＋4n，則由an＋1＝3an＋4n?an＋1－3an＝4n＝4·4n－1＝4（an－3an－1），即an＋1－4an＝3（an－4an－1），所以an＋1－4an＝（a2－4a1）·3n－1＝3n，即an＋1－4an＝3n。與an＋1＝3an＋4n聯立，消去an＋1，得an＝4n－3n（n＝1時也成立）。

十四、奇偶分析法

點評：數列中與奇偶有關的問題常見四種形式：

①直接型，即已知條件明確奇偶問題；

②an＋1＋an＝f（n）或an＋1·an＝f（n）型；

③含有（－1）n；

④含有a2n－1或a2n。

求解奇偶數列的實質是把原數列分成兩個新數列分別進行研究，是分類討論思想方法的有效運用。

十五、特值法

例15已知數列{an}滿足a1＝3，且對任意正整數m，n，均有am＋n＝am＋an＋2mn，求數列{an}的通項公式。

解析：令m＝1，則an＋1＝an＋2n＋3。從而a2＝a1＋2×1＋3，a3＝a2＋2×2＋3，a4＝a3＋2×3＋3，…，an＝an－1＋2×（n－1）＋3（n≥2），整理得an＝a1＋2×3（n－1），即an＝n2＋2n（n＝1時也成立）。

點評：在本題的雙變量遞推數列問題中，可以給定其中一個變量的值，得到單變量遞推關系，從而化為常規遞推數列問題求解。

十六、數學歸納法

例16已知數列{an}滿足a1＝3，且2（an＋1－1）＝an（an－n），則數列{an}的通項公式是_____。

解析：由題意知，2（an＋1－1）＝an（an－n）。

將n＝1代入，得a2＝4；

將n＝2代入，得a3＝5；

將n＝3代入，得a4＝6；

……

猜想an＝n＋2。

下面用數列歸納法證明。

（1）當n＝1時，a1＝3滿足公式an＝n＋2。

（2）假設n＝k時，an＝n＋2成立，即ak＝k＋2。那么當n＝k＋1時，由2（ak＋1－1）＝（k＋1）＋2，即n＝k＋1時也成立。

綜合（1）、（2），an＝n＋2 對一切n∈N*都成立。

點評：當遞推關系比較復雜或不易發現其規律時，可以考慮使用數學歸納法，即根據遞推公式寫出數列的前幾項，猜想其通項公式，再用數學歸納法進行證明，逐步形成“觀察—歸納—猜想—證明”的思維模式。

科技信息

2021年諾貝爾獎得主及成就

一、諾貝爾生理學或醫學獎獲獎者：美國戴維·朱利葉斯和美國阿登·帕塔普蒂安。獲獎原因：發現溫度和觸覺感受器。

二、諾貝爾物理學獎獲獎者：美國真鍋淑郎、德國克勞斯·哈塞爾曼和意大利喬治·帕里西。獲獎原因：表彰他們對地球氣候的物理建模、量化變化和可靠地預測全球變暖的研究。

三、諾貝爾化學獎獲獎者：德國本亞明·利斯特和美國戴維·麥克米倫。獲獎原因：表彰他們在不對稱有機催化研究方面的進展。

四、諾貝爾文學獎獲獎者：坦桑尼亞阿布拉扎克·古爾納。獲獎原因：表彰其對殖民主義影響，以及文化和大陸鴻溝中難民命運的毫不妥協和具有同情心的關注。

五、諾貝爾經濟學獎獲獎者：美國戴維·卡德、美國喬舒亞·D.安格里斯特和美國吉多·W.因本斯。獲獎原因：表彰他們在勞動經濟學與實證方法研究領域作出的突出貢獻。